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2014·全国新课标卷2(理科数学)精品完美解析版

2014·新课标全国卷Ⅱ(理科数学) 1. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设集合 M={0, 1, 2}, N={x|x2-3x+2≤0}, 则 M∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 1.D [解析] 集合 N=[1,2],故 M∩N={1,2}. 2. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设复数 z1, z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1=2+i, 则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 2.A [解析] 由题知 z2=-2+i,所以 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5. 3.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3.A [解析] 由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得 4a· b=4,所以 a· b=1. 1 4. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形 ABC 的面积是 , AB=1, BC= 2, 则 AC=( ) 2 A.5 B. 5 C.2 D.1 1 1 1 1 4.B [解析] 根据三角形面积公式,得 BA·BC·sin B= ,即 ×1× 2×sin B= , 2 2 2 2 π 2 2 得 sin B= ,其中 C<A.若 B 为锐角,则 B= ,所以 AC= 1+2-2×1× 2× =1= 2 4 2 3π AB,易知 A 为直角,此时△ABC 为直角三角形,所以 B 为钝角,即 B= ,所以 AC= 4 2? = 5. 2? 5.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概 率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气 质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 5.A [解析] 设“第一天空气质量为优良”为事件 A,“第二天空气质量为优良”为 事件 B,则 P(A)=0.75,P(AB)=0.6,由题知要求的是在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的 P(AB) 0.6 概率,根据条件概率公式得 P(B|A)= = =0.8. P(A) 0.75 6.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 11,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图 中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯 切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 1+2-2×1× 2×?- ? 图 11 17 5 10 1 A. B. C. D. 27 9 27 3 6. C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体, 其体积为π ×32×2+π ×22×4 =34π (cm3), 原毛坯的体积为π ×32×6=54π (cm3), 切削掉部分的体积为 54π -34π =20 20 π 10 π (cm3),故所求的比值为 = . 54π 27 7.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 执行如图 12 所示的程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则 第 1 页 共 8 页 输出的 S=( ) 图 12 A.4 B.5 C.6 D.7 7.D [解析] 逐次计算,可得 M=2,S=5,k=2;M=2,S=7,k=3,此时输出 S =7. 8.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 8.D [解析] y′=a- ,根据已知得,当 x=0 时,y′=2,代入解得 a=3. x+1 ?x+y-7≤0, 9.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0,则 z=2x-y 的最大值 ? ? ?3x-y-5≥0, 为( ) A.10 B.8 C.3 D.2 9.B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的 几何意义可知,目标函数在点 A(5,2)处取得最大值,故目标函数的最大值为 2×5-2=8. 10. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) 3 3 9 3 63 9 A. B. C. D. 4 8 32 4 3 ? 10.D [解析] 抛物线的焦点为 F? ?4,0?,则过点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y= 3? 3? 3 9 x- ,即 x= 3y+ ,代入抛物线方程得 y2-3 3y- =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 3 ? 4? 4 4 第 2 页 共 8 页 9 9 9 1 1 3 - ?= . 3,y1y2=- ,则 S△OAB= |OF||y1-y2|= × × (3 3)2-4×? 4? 4 ? 4 2 2 4 11. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱 ABCA1B1C1 中, ∠BCA=90°, M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) 1 2 30 2 A. B. C. D. 10 5 10 2 11. C [解析] 如图, E 为 BC 的中点. 由于 M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, 故 MN∥B1C1 1 且 MN= B1C1,故 MN 綊 BE,所以四边形 MNEB 为平行四边形,所以 EN 綊 BM,所以直 2 1 2 线 AN,NE 所成的角即为直线 BM,AN 所成的角.设 BC=1,则 B1M= B1A1= ,所以 2 2 1 6 5 MB= 1+ = =NE,AN=AE= , 2 2 2 6 5 5 + - 4 4 4 30 在


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