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山东省济南市济钢高中第二学期高三开学考试(理科)数学试卷有答案

山东省济南市济钢高中 2017 届第二学期高三开学考试(理科)数学试卷

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1.复数 ?1? i?2 ( )
2i

A.1

B. ?1

C. i

D. ?i

? ? ? ? 2.设全集U ? R, 集合 M ? x | y ? lg x2 ?1 , N ? ?x | 0 ? x ? 2?,则 N ??U M ? ? ( )

A.?x | ?2 ? x ?1?

B.?x | 0 ? x ? 1?

C.?x | ?1 ? x ? 1? D.?x | x ? 1?

3. a ? 2 是“函数 f ? x? ? x2 ? 2ax ? 2 在区间 ???, ?2? 内单调递减”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能

是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为( )

A.232

B.252

C.472

D.484

5.已知 m, n 是两条不同直线,?, ? 是两个不同平面,给出四个命题:

①若? ? ? m,n ? ?,n ? m, 则? ? ?

②若 m ??,m ? ?, 则?∥?

③若 m ? ?,n ? ?,m ? n, 则? ? ?

④若 m∥?,n∥?,m∥n, 则?∥?

其中正确的命题是( )

A.①②

B.②③

C.①④

D.②④

6.函数 f ? x? ? Asin ??x ? ? ?? A ? 0,? ? 0? 的图像关于直线 x ? π 对称,它的最小正周期为 π ,则函数 f ? x?
3 图像的一个对称中心是( )

A.

? ??

π 12

,

0

? ??

B.

? ??

π 3

,1???

C.

? ??

5π 12

,

0

? ??

D.

? ??

?

π 12

,

0

? ??

7.已知

sin2?

?

2 3

,



cos2

????

?

π 4

? ??

?





A. 1

B. 1

C. 1

D. 2

6

3

2

3

8.已知数列?an?,?bn? 满足 a1

?

b1

?

3, an?1

?

an

?

bn?1 bn

?

3, n ? N? , 若数列?cn?

满足 cn

?

ban

,

则 c2013

?





- 1 -/10

A. 92012

B. 272012

C. 92013

D. 272013

9.若两个非零向量 a,b 满足 a ? b ? a ? b ? 2 a , 则向量 a ? b 与 b ? a 的夹角为( )

A. π 6

B. π 3

C. 2π 3

D. 5π 6

10.已知抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F, 准线为 l, 点 P 为抛物线上一点,且在第一象限, PA ? l, 垂足为

A, PF ? 4, 则直线 AF 的倾斜角等于(

A. 7π 12

B. 2π 3

) C. 3π 4

D. 5π 6

第Ⅱ卷(选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.若

? ??

x

?

1 ?n x ??

的展开式中第

3

项与第

7

项的二项式系数相等,则该展开式中

1 x2

的系数为________.

12.已知函数 y ? loga ? x ? 3? ?1?a ? 0, a ? 1? 的图象恒过定点 A, 若点 A在直线 mx ? ny ?1 ? 0 上,其中
mn ? 0, 则 1 ? 2 的最小值为________. mn
13.设函数 f ?? x? 是 f ? x? ? x ? R ? 的导函数, f ?0? ? 1 ,且 3 f ? x? ? f ?? x? ? 3 ,则 4 f ? x? ? f ?? x? 的解集是
_________ 14.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是__________.

15.给出以下命题: ①双曲线 y2 ? x2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2x ;
2
- 2 -/10

②函数 f ? x? ? lg x ? 1 的零点所在的区间是 ?1,10? ;
x ③已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2x, 当变量 x 增加 2 个单位,

其预报值平均增加 4 个单位;

④已知随机变量 X 服从正态分布 N ?0,1? ,且 P??1 ? X ? 1? ? m, 则 P ? X ? ?1? ? 1? m

则正确命题的序号为_________.(写出所有正确题的序号).

16.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x? ? 3sin?x ? cos?x ? 1 ?? ? 0?, 其最小正周期为 π

2

2

(Ⅰ)求 f ? x? 的表达式;

(Ⅱ)将函数 f ? x? 的图象向右平移 π 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
8

得到函数

y

?

g

?

x?

的图象,若关于

x

的方程

g

?

x?

?

k

?

0,

在区间

???0,

π 2

? ??

上有且只有一个实数解,求实数

k



取值范围. 17.(本小题满分 12 分)

已知数列?an? 前 n 项和 Sn 满足: 2Sn ? an ?1

(Ⅰ)求数列?an? 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn

?

?1 ?

2an?1
an ??1 ?

? an?1

,数列 ?bn ?

的前

n

项和为 Tn

,求证: Tn

?

1 4



18.(本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD ? 2, AB ?1, PA ? 平面 ABCD, E, F 分别是线段 AB、BC 的中点.

(1)证明: PF ? FD ; (2)判断并说明 PA上是否存在点 G, 使得 EG∥平面 PFD ;
(3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 , 求二面角 A? PD ? F 的平面角的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)2011 年,国际数学协会正式宣布,将每年的 3 月 14 日设为国际数学节,来源是中
- 3 -/10

国古代数学家祖冲之的圆周率,为庆祝该节日,某校举办的数学嘉年华活动中,设计了如下有奖闯关游戏:

参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得 5 个学豆、10 个学豆、20 个

学豆的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯

下一关,若有任何一贯没有闯关成功,则全部学都归零,游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的

概率分别为 3 , 2 , 1 ,选手选择继续闯关的概率均为 1 ,且各关之间闯关成功互不影响

432

2

(Ⅰ)求选手甲第一关闯关成功且所的学豆为零的概率;

(Ⅱ)设该学生所的学豆总数为 X , 求 X 的分布列与数学期望. 20.(本小题满分 13 分)

已知函数 f ? x? ? x ? 1 ax2 ? ln ? x ?1? ,其中 a ?R .
2

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f ? x? 的极值点,求 a 的值;

(Ⅱ)求 f ? x? 的单调区间;

(Ⅲ)若 f ? x? 在 ?0, ??? 上的最大值是 0, 求 a 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)

已知椭圆 E :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

?b

? 0? 的左、右焦点分别为 F1, F2 , 点 P ? x1, y1 ? 是椭圆上任意一点,且

PF1

?

PF2

? 4, 椭圆的离心率 e ? 1 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程;

(Ⅱ)直线 PF1 交椭圆 E 于另一点 Q ? x1, y1 ?, 椭圆右顶点为 A, 若 AP ? AQ ? 3, 求直线 PF1 的方程;

(Ⅲ)过点

M

? ??

1 4

x1

,

0

? ??

作直线

PF1

的垂线,垂足为

N

,



x1

变化时,线段

PN

的长度是否为值?

若是,请写出这个定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.

- 4 -/10

山东省济南市济钢高中 2017 届第二学期高三开学考试(理科)数学试卷

答案

1~5.BBACB 11.56 12. ?6

6~10.AADBB

13.

? ???

e 3

,

??

? ???

14.5 15.①②③
16.(I) f ? x? ? 3sin?x ? cos?x ? cos2?x ? 1
2

?

3 2

sin2?

x

?

cos2? 2

x

?

1 2

?

sin

? ??

2? x

?

π 6

? ??

由题意知

f

?x?

的最小正周期 T

?

π 2

,T

?

2π 2?

?

π ?

?

π 2

,

所以 ?

?

2

,所以

f

?

x?

?

sin

? ??

4x

?

π 6

? ??

(Ⅱ)将

f

?x?

的图象向右平移个

π 8

个单位后,得到

y

?

sin

? ??

4x

?

π 3

? ??

的图象,再将所得图象所有点的横坐标

伸长到原来的

2

倍,纵坐标不变,得到

y

?

sin

? ??

2x

?

π 3

? ??

的图象.所以

g

?

x

?

?

sin

? ??

2x

?

π 3

? ??

因为 0 ? x ? π , 所以 ? π ? 2x ? π ? 2π .

2

3

33

因为

g

?

x

?

?

k

?

0

在区间

???0,

π 2

? ??

上有且只有一个实数解,即函数

y

?

g

?

x

?



y

?

?k

在区间

???0,

π 2

? ??

上有且只有

一个交点,由正弦函数的图象可知: ? 3 ? ?k ? 3 或 ?k ?1

2

2

所以 ? 3 ? k ? 3 或 k ? ?1.

2

2

17.(Ⅰ) 2Sn ? an ?1,

?当

n

?

2

时 , 2Sn?1

?

an?1

? 1,?2an

?

an

?

an?1

?

0,

化为

an

?

1 3

an

?1.



n

?1时

,

2a1

?

a1

? 1,? a1

?

1 3



- 5 -/10

? 数列 ?an ?

是等比数列,首项与公比都为

1 3

.?

an

?

? ??

1 3

?n ? ?



? ?? ? (Ⅱ)证明: bn

?

?1 ?

2an?1
an ??1?

? an?1

?

???1 ?

2

? ??

1 3

n
? ??

?1

1 3n

? ??

???1

?

1 3n?1

? ??

?

2 ? 3n 1 ? 3n 1 ? 3n?1

?

1 3n ?

1

?

1 3n?1 ?

1

,

? 数列 ?bn ?

的前 n

项和为 Tn

?

?1 ?? 1? 3

?

1? 32 ?1 ??

?

? ??

1 32 ?1

?

1? 33 ?1??

? ... ?

? ??

1 3n ?1

?

1? 3n?1 ? 1 ??

所以: Tn

?

1 4

?

1 4

?

1 3n?1 ?1

?

1 4



18.方法一:(1) PA ? 平面 ABCD,?BAD ? 90 ,

AB ?1, AD ? 2, 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,

则 A?0,0,0?, B?1,0,0?, F(1,1,0), D?0,2,0? .

不妨令 P ?0,0,t ?, PF ? ?1,1, ?t ?, DF ? ?1, ?1,0?,

? PF ? DF ? 1?1?1? ??1? ? ??t ? ? 0 ? 0,
即 PF ? FD .
(2)存在.设平面 PFD 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ?, 结合(1),



??n ? ??n

? ?

PF DF

? ?

0 ,
0



? ? ?

x x

? ?

y y

? ?

tz 0

?

0

,



z

?1,

解得:

x

?

y

?

t 2

.? n

?

? ??

t 2

,

t 2

,1??? .



G

点坐标为

?0,

0,

m?,

E

?

?, 0, 0 ? ,



EG

?

? ??

?

1 2

,

0,

m

? ??

,

要使

EG∥平面

PFD

只需

EG

?

n

?

0,



? ??

?

1 2

? ??

?

t 2

?

0

?

t 2

?

m

?1

?

m

?

t =0 4



得 m ? 1 t, 从而满足 AG ? AP 的点 G 即为所求点. 4

- 6 -/10

(3) AB ? 平面 PAD,? AB 是平面 PAD 的法向量,易得 AB ? ?1,0,0?,

又 PA ? 平面 ABCD,??PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,



?PBA

?

45

,

PA

?

1,

结合(2)得平面

PFD

的法向量为

n

?

? ??

1 2

,

1 2

,1???

?cos AB,n ? AB ? n = AB ? n

1 2 ? 6, 1 ? 1 ?1 6 44

由题意知二面角 A? PD ? F 为锐二面角.

故所求二面角 A? PD ? F 的平面角的余弦值为 6 . 6

19.(Ⅰ)设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件 A,“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件 A1,

“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件 A2 , 则 A1, A2 互斥,

P

?

A1

?

?

3 4

?

1 2

?

???1 ?

2 3

? ??

?

1 8



P?

A2

?

?

3 4

?

1 2

?

2 3

?

1 2

? ???1?

1 2

? ??

?

1 16



P

?

A?

?

P

?

A1

?

?

P

?

A2

?

?

1 8

?

1 16

?

3 16



(Ⅱ) X 所有可能的取值为 0,5,15,35 ,

P?X

?

0?

?

???1 ?

3 4

? ??

+P

?

A?

?

7 16



P? X ? 5? ? 3 ? 1 ? 3 ,
42 8

P? X ?15? ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,
4232 8

P? X ? 35? ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ,
4 2 3 2 2 16

所以,的分布列为:

X 0 5 15 35

7 31 1 P
16 8 8 16

EX ? 0? 7 +5? 3 +15? 1 +35? 1 ? 95 . 16 8 8 16 16

- 7 -/10

20.(Ⅰ) f ?? x? ? x?1? a ? ax? , x ???1,??? .依题意,令 f ??2? ? 0, 解得 a ? 1 .

x ?1

3

经检验, a ? 1 时,符合题意 3

(Ⅱ)解:①当 a ? 0 时, f ?? x? ? x .故 f ? x? 的单调增区间是 ?0, ??? ;单调减区间是 ??1,0? .
x ?1

②当

a

?

0

时,令

f

??x?

?

0,



x1

?

0,



x2

?

1 a

?1.

当 0 ? a ?1时, f ? x? 与 f ?? x? 的情况如下:

x
f ??x?

??1, x1 ?
?

x1

? x1, x2 ?

0

?

x2

? x2 , ???

0

?

f ?x?

f ? x1 ?

f ? x2 ?

所以,

f

?

x?

的单调增区间是

? ??

0,

1 a

? 1???

;单调减区间是 ??1,0?



? ??

1 a

?1, ??

? ??



当 a ?1时, f ? x? 的单调减区间是 ??1,??? .

当 a ?1时, ?1 ? x2 ? 0, f ? x? 与 f ?? x? 的情况如下:

x
f ??x?

??1, x2 ?
?

x2

? x2 , x1 ?

0

?

f ?x?

f ? x2 ?

x1 0
f ? x1 ?

? x1, ???
?

所以,

f

?

x?

的单调增区间是

? ??

1 a

? 1,

0

? ??

;单调减区间是

? ??

?1,

1 a

?1???

和 ?0,???



③当 a ? 0 时, f ? x? 的单调增区间是 ?0, ??? ;单调减区间是 ??1,0? .

综上,当 a ? 0 时, f ? x? 的增区间是 ?0, ??? ,减区间是 ??1,0? ;



0

?

a

? 1 时,

f

?x?

的增区间是

? ??

0,

1 a

? 1???

,减区间是 ??1,0?



? ??

1 a

?1, ??

? ??



当 a ?1时, f ? x? 的减区间是 ??1,??? ;



a

? 1 时,

f

?

x?

的增区间是

? ??

1 a

?

1,

0

? ??

;减区间是

? ??

?1,

1 a

?1???

和 ?0,???



(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a ? 0 时, f ? x? 在 ?0, ??? 上单调递增,由 f ?0? ? 0 ,知不合题意.

- 8 -/10

当0?

a

? 1 时,

f

?x?

在 ?0, ??? 的最大值是

f

? ??

1 a

? 1???

,由

f

? ??

1 a

? 1???

?

f

?0?

?

0 ,知不合题意

当 a ?1时, f ? x? 在 ?0,??? 单调递减,可得 f ? x? 在 ?0,??? 上的最大值是 f ?0? ? 0 ,符合题意.

所以, f ? x? 在?0, ??? 上的最大值是 0 时, a 的取值范围是?1, ???

21.解:(1) PF1 ? PF2 ? 4

?2a ? 4 即 a ? 2 e? c ?c ?1
a22

?c ? 1?b ? 3

?椭圆 E 的标准方程为: x2 ? y2 ? 1 43

(2)当直线

PF1

斜率不存在时,不妨设

P



? ??

?1,

3 2

? ??



Q



? ??

?1,

?

3 2

? ??



A?

2, 0 ?

?

AP

?

? ??

?3,

3 2

? ??

,

AQ

?

? ??

?3,

?

3 2

? ??

从而?

AP

?

AQ

?

9

?

9 4

?

27 4

?

3,

不符合要求

当直线 PF1 方程为带入椭圆方程,

? ? 整理得: 3 ? 4k2 x2 ? 8k2x ? 4k2 ?12 ? 0

? x1

?

x2

?

?

8k 2 3 ? 4k 2

,

x1

?

x2

?

4k 2 3?

?12 4k 2

? AP ? AQ ? ? x1 ? 2, y1 ? ? ? x2 ? 2, y2 ?

? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 ? y2

? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? k 2 ? x1 ?1?? x2 ?1?

? x1x2 ? 2? x1 ? x2 ? ? 4 ? k 2 x1x2 ? k 2 ? x1 ? x2 ? ? k 2

? ? ? ? ?

1? k2

?

4k 2 3?

?12 4k 2

?

k2 ?2

?

?

3

8k 2 ? 4k

2

?

4?

k2

? ? ? ? ? 4 ? ?k 4 ? 2k 2 ? 3 ? 3 ? 4k 2 ? 4 ? k 2

3 ? 4k2

3 ? 4k2

?

27k 2 3 ? 4k 2

?3

即: 9k2 ? 3 ? 4k2

- 9 -/10

?k ? ? 15 5

?直线 PF1 方程为: y ? ?

15 ? x ?1?
5

(3)当直线 PF1 得斜率不存在即 x1 ? ?1 时, F1 与 N 重合,此时

PN

? 3 , 符合题意. 2

当直线

PF1

的斜率存在,即时

x1

?

?1 ,斜率 k

?

y1 x1 ? 1

故直线

PF1

的方程为:

y

?

y1 ? x
x1 ? 1

? 1? ,

即:

y1x

? ? x1

? 1?

y

?

y1

?

0





M

? ??

1 4

x1

,

0

? ??

? MN ?

x1 y1 4

?

y1

y12 ? x1 ?1?2



x12 4

?

y12 3

? 1,? y12

?3?

3 4

x12

从而

MN

2

?

? ??

3

?

3 4

x12

? ??

? ??

x1 4

? 1???2

?

? ??

3

?

3 4

x12

? ??

? ??

x1 4

? 1???2

3

?

3 4

x12

?

?

x1

? 1?2

1 4

x12

?

2x1

?

4

?

? ??

3

?

3 4

x12

?? ?? ??

x1 4

? 1??2 ?

4

? ??

1 4

x1

?

1??? 2

?

3 4

?3 16

x12



PM

2

?

9 16

x12

?

y12

?

9 16

x12

?3?

3 4

x12

?

3? 3 16

x12

PN 2 ? PM 2 ? MN 2 ? 3 ? 3 ? 9 44

? PN ? 2 . 3

故 PN 为定值,且 PN ? 2 . 3

- 10 -/10



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