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高一数学必修4课件[湖南师大附中内部资料]:1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质2(新人教A版)


高一数学必修4第一章

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
(第二课时)

复习巩固

正弦函数的性质:1
-6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O

π
?
2

3? 2

3π 2π 4π

5π 6π

x

正弦函数的定义域为R. 正弦函数的值域为[-1,1].

复习巩固

正弦函数的性质:1
-6π -4π -2π -π
O

π
?
2

-5π

-3π
-1

3? 2

3π 2π 4π

5π 6π

x

? 当且仅当 x ? 2k ? ? , k ? Z ymax ? 1 ? ?? , k ? Z ymin ? ?1 当且仅当x ? 2k ? ? ?

正弦函数是奇函数.

复习巩固
1

y x

-2?

-?

o

?

2?

3?

4?

-1

sin( x ? 2k? ) ? sin x (k ? Z )
则称正弦函数为周期函数,它的周 期是2kπ 。

正弦函数具有“周而复始”的变化规律

探究新知

对于函数f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的每一 个值时,都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数T就 叫做这个函数的周期.

探究新知

如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期. 1、正弦函数的最小正周期是多少?

2、是否所有的周期函数都具有最小 正周期? 3、如果不加特殊说明,教科书说到的 周期,一般都是指函数的最小正周 期?

探究新知

例1 求下列函数的周期:
(1) y ? sin(2 x) x?R
x?R

1 ? (2) y ? 2sin( x ? ) 2 6

探究新知

一般地,函数y = A sin( wx + j )
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?

(1) y ? sin(2 x)

1 ? (2) y ? 2sin( x ? ) 2 6

T?

2?

x?R
x?R

?

探究新知

例2、

(1) y ? 2sin(?2 x ? )的最小正周期为______ 6
(2) y ? sin x x ? R的最小正周期为______

?

(3)已知函数y ? 4sin(3wx ? )(w ? 0)的最小 4 正周期为1.则w ? __

?

探究新知
1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O

y π

y=sinx

2π 4π 5π 6π x

? ?? 在每一个闭区间 [ ? 2k ???? ? 2k ????? ? ?? 2 ?

上都是减函数

? ? 正弦函数在每一个闭区间 [? ? 2k ???? ? 2k ??? 2 ?

上都是增函数;

思考:正弦函数在每一个开区间
? (2k ???? ? 2k ??? ? ? ?上都是增函数, ?

能否认为正弦函数在第一象限 是增函数?

正弦曲线除了关于原点对称外, 是否还关于其它的点和直线对称?
1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O

y

π





5π 6π

x

正弦曲线关于点(kπ ,0)对称.
p 正弦曲线关于直线 x = k p + (k 2

Z ) 对称.

新知探究

根据余弦函数的图象,你能说出它们具有 哪些性质?
?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

余弦函数的定义域为R. 余弦函数的值域为[-1,1].
当且仅当

x ? 2k ?, k ? Z

ymax ? 1

当且仅当 x ? 2k ? ? ? , k ? Z ymin ? ?1

余弦函数是偶函数. 余弦函数是周期函数.

?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

余弦函数在每一个闭区间 [?? ? 2k ????2k ???
上都是增函数; 在每一个闭区间 [2k ????? ? 2k ????? ? ?? 上都是减函数.

?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

余弦曲线关于点

p (k p + , 0) 2

对称.

余弦曲线关于直线x=kπ 对称.

理论迁移

例1 求下列函数的最大值和最小值,并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 (1) y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R.

理论迁移

例2 比较下列各组数的大小: ? ? (1) sin(? )与 sin( ? ); 18 10
23? 17 ? (2) cos(? )与 cos( ? ); 5 ? 3 1 7 (3) cos , sin , ? cos . 2 10 4

理论迁移

例3 求下列函数的单调递增区间.
1 ? (1) y ? sin( x ? ); 2 3 2? (2) y ? 2 sin( ? 3 x); 3

例5

(3) y ? log 1 2 cos(2 x ? ). 4 2 1 ? 求函数 y ? sin( x ? ), 2 3

?

x∈[-2π ,2π ]的单调递增区间.

拓展延伸

例4 求下列函数的值域.
(1) y ? cos x ? 2 sin x ? 2; 2 ? cos x (2) y ? . 2 ? cos x
2

拓展延伸

例5 定义在R上的函数f(x)既是 偶函数,又是周期,函数,若f(x) 的最小正周期为? , 当x ? [0, 5? f(x)=sinx,求f( )的值. 3

?
2

]时,

课后作业

《学海》第8-9课时


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