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高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.3幂函数课堂探究新人教B版必修

3.3 幂函数 课堂探究 探究一 幂函数的概念 1.幂函数的判断方法 (1)幂函数同指数函数、 对数函数一样, 也是基本初等函数, 同样也是一种“形式定义” 的函数,也就是说必须完全具备形如 y=x (α ∈R)的函数才是幂函数. (2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义 进行判断. 2.待定系数法求幂函数解析式的方法 若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为 f(x)=x ,根据条件求出 α . 【典型例题 1】 (1)已知点 M ? ( ) 1 α α ? 3 ? ? 3 , 3? ? 在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的解析式为 ? ? A.f(x)=x 2 B.f(x)=x -2 C.f(x)= x 2 D.f(x)= x ? 1 2 (2)下列函数中是幂函数的为__________. 1 2 2 ①y= x 3 ;②y=2x ;③y= x 3 ; ④y=x +x;⑤y=-x . 2 3 ? 3? 解析:(1)设幂函数的解析式为 y=x ,则 3= ? ? 3 ? ? , ? ? α a ∴α =-2.∴y=x . (2)①③的底数是变量,指数是常数,且系数为 1,因此①③是幂函数;②中 x 的系数 为 2,因此不是幂函数;④是由幂函数复合而成的函数,因此不是幂函数;⑤不符合幂函数 中 x 前的系数为 1,因此不是幂函数. 答案:(1)B (2)①③ 探究二 比较大小 比较幂形式的两个数大小的常用方法: 1.若能化为同指数,则用幂函数的单调性. 2.若能化为同底数,则用指数函数的单调性. 3.若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为中间值来比 较大小. 【典型例题 2】 比较下列各组数的大小: 1 α 2 -2 (1) 1.5 , 1.7 .. (3)5.25 -1, 1 2 1 2 (2)(-1.2) ,(-1.25) . -2 3, 0.5 3 3 5.26 -1, 5.26 . (4)0.5 3 ,log30.5. 1 2 3 思路分析:(1)借助函数 y= x ;(2)借助函数 y=x ;(3)借助函数 y=5.26 和 y=x ; -1 x (4)利用中间值法. 1 解:(1)∵y= x 2 在[0,+∞)上是增函数,1.5<1.7, 1 1 ∴ 1.5 2 < 1.7 2 . (2)∵y=x 在 R 上是增函数,-1.2>-1.25, ∴(-1.2) >(-1.25) . (3)∵y=x 在(0,+∞)上是减函数,5.25<5.26, ∴5.25 >5.26 . ∵y=5.26 在 R 上是增函数,-1>-2. ∴5.26 >5.26 . 综上,5.25 >5.26 >5.26 . (4)∵0<0.5 <1,3 >1,log30.5<0, ∴log30.5<0.5 <3 . 探究三 幂函数的图象 画图象时,一般先画第一象限内的图象,再结合函数性质补全图象,幂函数的图象与幂 指数间有如下规律: 1.指数大于 1,在第一象限的图象,类似于 y=x 的图象; 2.指数等于 1,在第一象限为上升的射线; 3.指数大于 0 小于 1,在第一象限的图象,类似于 y= x 的图象; 4.指数等于 0,在第一象限为水平的射线; 5.指数小于 0,在第一象限类似于 y=x 的图象. 【典型例题 3】 如图是幂函数 y=x 与 y=x 在第一象限内的图象,则( m n -1 2 3 0.5 3 0.5 -1 -1 -2 -1 -2 -1 -1 -1 3 3 3 x ) A.n<0,m>1 B.n<0<m<1 C.m>n>1 D.n>m>1 解析: 由幂函数的图象及性质可知, 在第一象限内, 若幂指数大于零, 则函数为增函数; 2 若幂指数小于零,则函数为减函数,故 m>0,n<0.又由 y=x 的图象与直线 y=x 比较,得 0<m<1. 答案:B 探究四 幂函数性质的综合应用 对于与幂函数有关的综合性问题, 一般涉及奇偶性与单调性问题, 解决此类问题可分两 步走:一是利用单调性来弄清指数的正负,二是利用奇偶性来确定幂函数的图象. 【典型例题 4】 已知幂函数 f(x)=xm -m-2(m∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是减 函数,求函数 f(x)的解析式. 思路分析:先利用 f(x)在(0,+∞)上为减函数求出 m 的范围,再用代入检验的方法来 验证是否为偶函数. 解:∵f(x)=xm -m-2(m∈Z)是偶函数, ∴m -m-2 为偶数. 又∵f(x)=xm -m-2(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数, ∴m -m-2<0,即-1<m<2. ∵m∈Z,∴m=0 或 m=1. 当 m=0 时,m -m-2=-2,-2 为偶数, 当 m=1 时,m -m-2=-2,-2 为偶数. ∴f(x)的解析式为 f(x)=x . 点评 本题要先充分利用函数为减函数的性质, 这正是此问题的切入点, 如果先选用偶 -2 2 2 2 2 2 2 2 m 函数这一性质,将不能准确快速地得出 m 的值. 探究五 易错辨析 易错点 因把函数看成定义域上的减函数而致误 ? 1 3 【典型例题 5】 若 ? a ? 1? 错解:∵函数 y= x ∴a+1>3-2a.∴a> ? 1 3 < (3 ? 2a) ? 1 3 ,试求 a 的取值范围. 是减函数, 2 , 3 即 a 的取值范围是 ? ?2 ? , ?? ? . ?3 ? ? 1 3 错因分析:误认为 y= x 是 R 上的减函数,实质是 y= x ? 1 3 在(-∞,0)和(0,+∞) 内均是减函数,而没有整体定义域上为减函数的性质. 正解:对于 ? a ? 1? ? 1 3 < (3 ? 2a) ? 1 3 ,可分三种情况讨论. 3 ? a ? 1 ? 3 ? 2a


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