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高中数学一轮复习随堂训练 第7讲 《空间向量的应用》人教版必修4_图文

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第 7 讲 空间向量的应用

随堂演练巩固

1.设平面? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为(-2,-4,k),若? // ?

则 k 等于( )

A.2

B.-4

C.4 D.-2

【答案】C

【解析】∵? ∥ ? ?

∴(-2, ?4? k) ? ?(1? 2? ?2)?

∴ ?2 ? ?? k ? ?2??

∴k=4.

2.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a=(0,2,1),

b ? ( 2? 5? 5)? 那么这条斜线与平面的夹角是( )

A.90 ?

B.60 ?

C.45 ?

D.30 ?

【答案】D

【解析】cos?

?

?

a

a ??

b

?

?

3 2

?

因此

a



b

的夹角为

30

?

.

3.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,3,1) 、B(4?1? ?2)、C(6?3?7)?则?ABC 的

重心坐标为( )

A.

(6?

7 2

?

3)

C.

(8?

14 3

?

4)

【答案】B

B.

(4?

7 3

?

2)

D.

(2?

7 6

? 1)

【解析】△ABC 的重心坐标为 x ?

2?4?6 3

? 4? y

?

3?1?3 3

?

7 3

?

z

?

1? ( ?2 ) ? 7 3

?2.

4.如图 ? PA ? 平面 ABC? AC ? BC? PA ? AC=1? BC ? 2? 则二面角 APBC 的余弦值大小



.

【答案】 3 3
【解析】 以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴建立空间直角坐标系 Cxyz,
因为 A(1,0,0 )? B(0? 2? 0)? C(0? 0,0),P(1,0,1),

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uuur

uuur

∴ AP =(0,0,1), PB ? (?1? 2? ?1)? CB ? (0? 2? 0)?

设平面 APB 的法向量为 n 1? (x1? y1? z1)? 平面 PBC 的法向量为 n 2 ? (x2? y2? z2 )?



?? ?

z1 ? 0?

?? ?

2 y2 ? 0?

???x1 ? 2 y1 ? z1 ? 0? ???x2 ? 2 y2 ? z2 ? 0?

∴n 1? (2? 2? 0)? n 2 ? (?1? 0?1) .

∴cos < n 1? n 2>?

?2 6? 2

??

3 3

.

∴二面角 APBC 的余弦值为 3 . 3

5.(2012 安徽怀宁检测)在空间直角坐标系中,定义:平面? 的一般方程

为:Ax+By+Cz+D=0 ( A? B?C? D ?R,且 A,B,C 不同时为零),点 P(x0? y0? z0 ) 到平面? 的距

离为: d ? ?Ax0 ?By0 ?Cz0 ?D? ? 则在底面边长与高都为 2 的正四棱锥中,底面中心 O 到侧面的距离 A2 ? B2 ?C2

等于

.

【答案】 2 5 5
【解析】如图,以底面中心 O 为原点建立空间直角坐标系 O—xyz,则 A(1,1,0),B(-

1,1,0),P(0,0,2),设平面 PAB 的方程为 Ax+By+Cz+D=0,将以上 3 个坐标代入计算得

A=0,B=

? D? C

?

?

1 2

D?



?Dy

?

1 2

Dz

?

D

?

0?



2y+z-2=0,∴

d

?

?

2?

0? 22

0? ?1

2

?

?

25 5

课后作业夯基

基础巩固

1.(2012 北京西城检测)下列命题中,正确命题的个数为…( )



若n 1?

n

2

分别是平面 ? ?

?

的法向量,则n 1

∥n

2

?

?



?

;

②若 n 1? n 2 分别是平面?? ? 的法向量,则? ? ? ? n 1? n 2 ? 0 ;③若 n 是平面? 的法

向量,a 与? 共面,则 n ? a=0;

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④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.

A.1

B.2

C.3 D.4

【答案】:C

【解析】①中平面?? ? 可能平行,也可能重合,结合平面法向量的概念,易知②③

④正确,故选 C.

2.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为( )

A.75 ?

B.60 ? C.45 ?

D.30 ?

【答案】C

【解析】如图,四棱锥 P—ABCD 中,过 P 作 PO ? 平面 ABCD 于 O,连结 AO,则 AO

是 AP 在底面 ABCD 上的射影,

∴ ?PAO 即为所求线面角,

∵ AO ?

2 2

?

PA

?

1?

∴cos ?PAO

?

AO PA

?

2.
2

∴ ?PAO ? 45 ? ,即所求线面角为 45 ? .

3.在空间直角坐标系 O—xyz 中,平面 OAB 的法向量为 n=(2,-2,1),已知 P(-1,

3,2),则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( )

A.4 B.2 C.3 D.1

【答案】B

【解析】 d

?

?OP?n? ?n?

?

? ? 2 ??2?6?2?

6.

22 ? (?2)2 ?12

3

4.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是( )

A. (

3 3

?

3 3

?

?

3 3

)

C. (?

3 3

?

3 3

?

3 3

)

【答案】D

B. (

3 3

?

?

3 3

?

3 3

)

D. (?

3 3

?

?

3 3

?

?

3 3

)

【解析】:设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n ? AB ,n ? AC ,

于是 n ?AB =0,n ?AC =0,

∵ AB =(-1,1,0), AC =(-1,0,1),



??x ? y ? 0? ???x ? z ? 0?

取 z=1,则 x=y=z=1.

∴n=(1,1,1),故所求平面

ABC

的一个单位法向量为

?

n ?n?

? ? (1?1?1) 3

? ?(

3 3

?

3 3

?

3 3

)

.

5.已知向量

m,n

分别是直线

l

和平面?

的方向向量和法向量,若

cos

<

m,n

>?

?

1 2

?



l

与?

所成的角? 为 …( )

A.30 【答案】 A

B.60 C.120 D.150

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【解析】

∵cos < m ,n >

?

?

1 2

?

∴sin?

? | cos <

m

,n > | ?

1 2

.

又∵直线与平面所成角? 满足 0 ? ? ? 90 ,∴? ? 30 .

6.已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 中 ? AB ? BC ? 1? AA1 ? 2? E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE

与平面 A1ED1 所成角的大小为( )

A.60

B.90

C.45

D.以上都不正确

【答案】 B

【解析】 ∵E 是 BB1 的中点且 AA1 ? 2? AB ? BC ? 1,

∴ ?AEA1 ? 90 . 又在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中 ? AD ? 平面 ABB1A1? ∴ A1D1 ? AE .

∴ AE ? 平面 A1ED1 .故所求角为 90 .

7.已知在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截面

AB1D1 的距离是 ……( )

A. 8

B. 3 C. 4 D. 3

3

8

34

【答案】 C

【解析】 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz,

则 A1(2? 0? 4)? A(2 ? 0? 0)? B1(2? 2? 4)? D1(0? 0? 4)? AD1 ? (?2? 0? 4)? AB1 ? (0? 2? 4)? AA1 ? (0? 0? 4)?

设平面 AB1D1 的法向量为 n=(x,y,z),



? ? ?

n n

? ?

AD1 AB1

? ?

0? 0?



??2x ? 4z ? 0?

? ?

2

y

?

4z

?

0?

解得 x=2z 且 y=-2z,不妨设 n=(2,-2,1),

设点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 d,

则d

?

? AA1 ?n? ?n?

?

4 3

.

8.(2012 海南海口检测)正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,二面角 A BD1 B1 的大小为( )

A.60

B.30 C.120 D.150

【答案】 C

【解析】 以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图.

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设 A (1? 0? 0)? D1(0? 0?1)? 的一个法向量.

uuur ? B1(1?1?1)? C(0,1,0),则 AC =(-1,1,0)为平面 BB1D1



n=(x,y,z)为平面 uuur

ABD1

的一个法向量.

则 n ?AD1 ? 0? n

AB =0, uuur

又 AD1 ? (?1? 0?1)? AB =(0,1,0),



??x ? z ? 0?

? ?

y ? 0?



? z ? x?

? ?

y

?

0?

∴n=(1,0,1).

令 x=1,则uuurz=1.

∴cos < uuur

AC

,n

>?

?

1 2

.

∴ < AC ,n >? 120? ,即二面角 A BD1 B1的大小为 120 .

9.与 A(-1,2,3),B(0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为

.

【答案】2x-4y+4z-11=0

【解析】设到 A 、B 两点距离相等的点位 P(x? y? z)?

由|PA|=|PB|,即 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? (z ? 3)2 ? x2 ? y2 ? (z ? 5)2? 整理得:2x-4y+4z-11=0.

10.长方体 ABCD - A1B1C1D1 中 ? AB ? AA1 ? 2? AD ? 1? E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与
AE 所成角的余弦值为 .

【答案】 30 10
【解析】 以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图,



A(1,0,0),E(0,2,1),B(1 uuur

?

2?

0)?

C1

(0?

2?

2)

.

BC1

? (?1? 0? 2)? uuuur uuur

AE =(-1,2,1),

cos < BC1, AE

>? BC1?AE ? ?BC1?? AE?

30 .
10

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11.如图,正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2,M,N 分别是 C1D1? CC1 的中点,则直线 B1N 与

平面 BDM 所成角的正弦值为

.

【答案】 5

3

uuur uuur

【解析】 以 D 为坐标原点,分别以 DA , DC ? DD1 的方向为 x 轴 、y 轴、z 轴的正方向建

立空间直角坐标系,

如图,则 B1(2? 2? 2)? N(0 ? 2?1)? NB1 ? (2? 0?1)?

uuur

uuuur

又 M(0,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),则 DB =(2,2,0), DM =(0,1,2),

可得平面 BDM 的一个法向量 n=(2,-2,1),因为

< n ? NB1 >?

?

n? n ??

NB1 NB1

?

?

5 3

?

故直线 B1N

与平面 BDM 所成角的正弦值是

5.
3

12.如图,正△ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,
E、F分别是AC和BC的中点?现将?ABC沿CD翻折成直二面角A ? CD ? B?

(1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值; (3)求二面角 BACD 的余弦值. 【解】(1)以 D 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系,
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则 D(0,0,0),A(0,0,a),B(a,0,0 )?C(0?

3a? 0)? E(0?

3 2

a?

a 2

)?

F

(

a 2

?

3 2

a?

0)

.

∴ AB =(a,0,-a), EF

?

(

a 2

?

0?

?

a 2

)?

从而 EF

?

1 2

AB ,

∴ AB ∥ EF ,又 AB 平面 DEF? EF ? 平面 DEF,

故 AB∥平面 DEF.

(2)∵ AB ∥ EF ,∴ ?DEF 即为异面直线 AB 与 DE 所成的角.

∵ ED

? (0? ?

3 2

a?

?

a 2

)?

EF

?

(

a 2

?

0?

?

a 2

)?

∴cos EF, ED

? ? EF ?ED

2.

?EF ??ED? 4

∴异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为 2 . 4
(3)∵ DB =(a,0,0)为平面 ACD 的一个法向量, 设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的一个法向量,

则 AB ? n=ax-az=0, AC ? n ? 3ay ? az ? 0?

取 z=1,则 x ? 1? y ?

3.
3

∴n ? (1?

3 3

?1)?

从而 cos

n, DB

? n?DB ? ? n?? DB ?

21 .
7

所以二面角 BACD 的余弦值为 21 . 7
13.如图甲,在直角梯形 ABCD 中,AB∥ CD? ?BAD ? 90 ? ,AB=2,AD=3,CD=1,点 E 、F 分别在

AD、BC 上,且 AE= 1 AD,BF=. 1 BC.现将此梯形沿 EF 折至使 AD ? 3 的位置(如图乙).

3

3

(1)求证: AE ? 平面 ABCD; (2)求点 B 到平面 CDEF 的距离; (3)求直线 CE 与平面 BCF 所成角的正弦值.
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【解】 (1)证明:由题意知:AE=1? DE ? 2? AD ? 3?
∴ AE2 ? AD2 ? DE2 . ∴ ?EAD ? 90 ? ,即 EA ? AD . 又 EA ? AB? AB ? AD ? A? ∴ AE ? 平面 ABCD.

(2)作 AK ? DE 于点 K.



AE

?

1 3

AD?

BF

?

1 3

BC

∴AB∥EF.

又 AB 平面 CDEF? EF ? 平面 CDEF,∴AB∥平面 CDEF.

∴点 B 到平面 CDEF 的距离即为点 A 到平面 CDEF 的距离.∵

EF ? AE? EF ? ED? ED ? EA ? E?
∴ EF ? 平面 AED,∵ AK ? 平面 AED, ∴ AK ? EF . 又 AK ? DE? DE ? EF ? E? ∴ AK ? 平面 CDEF. ∴AK 的长即为点 B 到平面 CDEF 的距离.

在 Rt△ADE 中 ? AK

?

3 2

?

∴点 B 到平面 CDEF 的距离为 3 . 2
(3)以点 A 为坐标原点,AD

、AB、AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴?建立空间直角坐标系?如图?则B(0? 2? 0)?

C( 3?1? 0) uuur

F

(0?

5 3

?1)?

BF

?

(0?

?

1 3

?1)?

BC

?(

3? ?1? 0)?CE ? (?

3?

-

设平面 BCF 的法向量 n=(x,y,z),



??BF ? n ? 0?

? ??

BC

?

n

?

0?

得 n ? (1?

3?

3 3

)

.

设直线 CE 与平面 BCF 所成的角为??

? ? ? ? 则 sin

?CE?n? ?CE??n?

5 3

3

5? 13

65 .
13

3

所以直线 CE 与平面 BCF 所成角的正弦值为 65 . 13

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14.(2012 福建厦门月考)如图,矩形

和梯形 BEFC 所在平面互相垂直 ∥



BE

?

CF? ?BCF

?

? 2

?

(1)求证:AE∥平面 DCF;

3? EF ? 2 .

(2)设

AB BE

?

??



?

取何值时,二面角

的大小为 ? ? 3

【解】 (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB∥DC. 又 BE∥ CF? AB ? BE ? B? DC ? CF ? C?
∴平面 ABE∥平面 DCF. 又 AE ? 平面 ABE,∴AE∥平面 DCF.
(2)过点 E 作 GE ? CF 交 CF 于点 G,
由已知可得:EG∥BC∥AD,且 EG=BC=AD,

∴ EG ? AD ? 3 .又 EF=2,∴GF=1.

∵四边形 ABCD 是矩形,∴ DC ? BC .

∵ ?BCF

?

? 2

?∴

FC

?

BC

.

又平面 ABCD ? 平面 BEFC,平面 ABCD ? 平面

∴ FC ? 平面 ABCD.∴

FC ? CD .

∴以 C 为原点,CB

、CD、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系?



BE=m,由

AB BE

?

?? 得

AB

?

?m

.

∴ A( 3? ?m? 0)? E( 3? 0? m)? uuur
∴ AE ? (0? ??m? m)? uuur EF ? (? 3? 0?1) .

设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z),

uuur 由 AE ? n=0,

uuur EF ? n=0,得

????my ? mz ? 0? ?

?? ? 3x ? z ? 0?



?? ?? y ? z ? 0? ?

??? 3x ? z ? 0?

令 y ? 3? 可得平面 AEF 的一个法向量 n ? (?? 3? 3?) . uuur
又 CD ? (0? ?m? 0) 是平面 CEF 的一个法向量,

? ? ? ∴cos ? ?CD?n? 即 3?m

1.

3 ?CD??n?

4?2 ?3??m 2

解得 ?

?

3 2

?

∴当 ?

?

3 2

时,二面角

AEFC

的大小为

? 3

.

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