9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1


第十二编
§12.1

概率与统计

随机事件的概率

基础自测
1.下列说法不正确的有 .

①某事件发生的频率为 P(A)=1.1 ②不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1 ③小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然发生的事件 ④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 ①③④ 个. 2.给出下列三个命题,其中正确命题有

①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是次品;②做 7 次抛硬币的试验,结 果 3 次出现正面,因此正面出现的概率是 答案 0 , .
3 ;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 7

3.已知某台纺纱机在 1 小时内发生 0 次、1 次、2 次断头的概率分别是 0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在 1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 答案 0.97 0.03
1 1 ,乙获胜的概率是 ,则乙不输的概率是 2 3

4.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 答案
5 6

.

5.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)= =
1 ,则出现奇数点或 2 点的概率之和为 6 2 3

1 ,P(B) 2

.

答案

例1

盒中仅有 4 只白球 5 只黑球,从中任意取出一只球.

(1) “取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少? (2) “取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少? (3) “取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少? 解 (1) “取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生,因此它是不可能事件,其概率为 0.
4 . 9

(2) “取出的球是白球”是随机事件,它的概率是

(3) “取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生,因此它是必然事件,它的概率是 1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表所示:

射击次数 n 击中 10 环次数 m 击中 10 环频率
m n

10 8

20 19

50 44

100 93

200 178

500 453

(1)计算表中击中 10 环的各个频率; (2)这位射击运动员射击一次,击中 10 环的概率为多少? 解 例3 (1)击中 10 环的频率依次为 0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906. (14 分)国家射击队的某队员射击一次,命中 7~10 环的概率如下表所示: (2)这位射击运动员射击一次,击中 10 环的概率约是 0.9.

命中环数 概率 求该射击队员射击一次

10 环 0.32

9环 0.28

8环 0.18

7环 0.12

(1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)至少命中 8 环的概率; (3)命中不足 8 环的概率. 解 记事件“射击一次,命中 k 环”为 Ak(k∈N,k≤10) ,则事件 Ak 彼此互斥. 2分 (1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件 A,那么当 A9,A10 之一发生时,事件 A 发生,由互斥事 件的加法公式得 P(A)=P(A9)+P(A10)=0.32+0.28=0.60. 件概率的加法公式得 P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10) =0.18+0.28+0.32=0.78. 分 (3)由于事件“射击一次,命中不足 8 环”是事件 B: “射击一次,至少命中 8 环”的对立事件:即 B 表 示事件“射击一次,命中不足 8 环” ,根据对立事件的概率公式得 P( B )=1-P(B)=1-0.78=0.22. 分 14 10 5分 (2)设“射击一次,至少命中 8 环”的事件为 B,那么当 A8,A9,A10 之一发生时,事件 B 发生.由互斥事

1.在 12 件瓷器中,有 10 件一级品,2 件二级品,从中任取 3 件. (1)“3 件都是二级品”是什么事件? (2) 件都是一级品”是什么事件? “3 (3) “至少有一件是一级品”是什么事件? 解 (1)因为 12 件瓷器中,只有 2 件二级品,取出 3 件都是二级品是不可能发生的,故是不可能事件. (2) 件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的,故是随机事件. “3 (3) “至少有一件是一级品”是必然事件,因为 12 件瓷器中只有 2 件二级品,取三件必有一级品.

2.某企业生产的乒乓球被 08 年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样 检测,检查结果如下表所示: 抽取球数 n 优等品数 m 优等品频率
m n

50 45

100 92

200 194

500 470

1 000 954

2 000 1 902

(1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位) 解 (1)依据公式 p= 0.954,0.951. (2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值虽然不同,但随着抽取球数的增多,却都在常 数 0.950 的附近摆动,所以抽取一个乒乓球检测时,质量检查为优等品的概率为 0.950. 3.玻璃球盒中装有各色球 12 只,其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿,从中取 1 球,求: (1)红或黑的概率; (2)红或黑或白的概率. 解 方法一 记事件 A1:从 12 只球中任取 1 球得红球; A2:从 12 只球中任取 1 球得黑球; A3:从 12 只球中任取 1 球得白球; A4:从 12 只球中任取 1 球得绿球,则 P(A1)=
5 4 2 1 ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= . 12 12 12 12 m ,可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 0.900,0.920,0.970,0.940, n

根据题意,A1、A2、A3、A4 彼此互斥, 由互斥事件概率加法公式得 (1)取出红球或黑球的概率为 P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=
5 4 3 + = . 12 12 4

(2)取出红或黑或白球的概率为 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =
5 4 2 11 + + = . 12 12 12 12

方法二

(1)取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球,即 A1+A2 的对立事件为 A3+A4,

∴取出红球或黑球的概率为 P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4) =12 1 9 3 = = . 12 12 12 4

(2)A1+A2+A3 的对立事件为 A4. P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=11 11 = . 12 12

一、填空题 1.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中 随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 答案
3 10

.

2.某入伍新兵的打靶练习中,连续射击 2 次,则事件“至少有 1 次中靶”的互斥事件是 出一个即可). 答案 答案 2 次都不中靶 条件. 必要不充分 . 3.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么甲是乙的

(写

4.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具)先后抛掷 3 次, 至少出现一次 6 点向上的概率是 答案

91 216
.

5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是 0.3, 摸出白球的概率是 0.5,则摸出黑球的概率是 答案 0.2

6.在第 3、6、16 路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车) ,有一位乘客需在 5 分 钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里,已知 3 路车、6 路车在 5 分钟之内 到此车站的概率分别为 0.20 和 0.60,则该乘客在 5 分钟内能乘上所需要的车的概率为 答案 0.80
3 ,乙夺得冠军的 7

.

7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为 概率为 答案
1 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 4

.

19 28
. 50%

8.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是 40%,甲不输的概率是 90%,则甲、乙二人下成和棋的概率为 答案 二、解答题

9.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21、0.23、0.25、0.28,计算 这个射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)不够 7 环的概率. 解 (1)设“射中 10 环”为事件 A, “射中 9 环”为事件 B,由于 A,B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.21+0.23=0.44. (2)设“少于 7 环”为事件 C,则 P(C)=1-P( C ) =1-(0.21+0.23+0.25+0.28)=0.03. 10.某医院一天派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下: 医生人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.2 4 0.2 5 人及以上 0.04

求: (1)派出医生至多 2 人的概率;

(2)派出医生至少 2 人的概率. 解 记事件 A: “不派出医生” , 事件 B: “派出 1 名医生” , 事件 C: “派出 2 名医生” , 事件 D: “派出 3 名医生” , 事件 E: “派出 4 名医生” , 事件 F: “派出不少于 5 名医生”. ∵事件 A,B,C,D,E,F 彼此互斥, 且 P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3, P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04. (1) “派出医生至多 2 人”的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0.56. (2) “派出医生至少 2 人”的概率为 P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F) =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或 1-P(A+B)=1-0.1-0.16=0.74. 11.抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字 1、2、3、4、5、6) ,事件 A 表示“朝上一面的数是奇 数” ,事件 B 表示“朝上一面的数不超过 3” ,求 P(A+B). 解 方法一 因为 A+B 的意义是事件 A 发生或事件 B 发生,所以一次试验中只要出现 1、2、3、5 四个可
4 2 = . 6 3

能结果之一时,A+B 就发生,而一次试验的所有可能结果为 6 个,所以 P(A+B)= 方法二 记事件 C 为“朝上一面的数为 2” ,

则 A+B=A+C,且 A 与 C 互斥. 又因为 P(C)=
1 1 ,P(A)= , 6 2

所以 P(A+B)=P(A+C)=P(A)+P(C) =
1 1 2 + = . 2 6 3

方法三 件.

记事件 D 为 “朝上一面的数为 4 或 6” 则事件 D 发生时, , 事件 A 和事件 B 都不发生, 即事件 A+B

不发生.又事件 A+B 发生即事件 A 发生或事件 B 发生时,事件 D 不发生,所以事件 A+B 与事件 D 为对立事

因为 P(D)=

2 1 = , 6 3 1 2 = . 3 3 1 ,得到黑球 4

所以 P(A+B)=1-P(D)=1-

12.袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为 或黄球的概率是 解 到

5 1 ,得到黄球或绿球的概率是 ,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少? 12 2

分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件 A、B、C、D.由于 A、B、C、D 为互斥事件,根据已知得

1 ?1 ? ? 4 ? P( B) ? P(C ) ? P( D) ? 1 ?P( B) ? 4 ? ? 5 1 ? ? 解得 ? P (C ) ? . ?P( B) ? P(C ) ? 12 6 ? ? ? 1 ? 1 ?P(C ) ? P( D) ? 2 ?P( D) ? 3 ? ?

∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是

1 1 1 , , . 4 6 3

§12.2

古典概型

基础自测
1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为 答案
2 3

.

2.掷一枚骰子,观察掷出的点数,则掷出奇数点的概率为 答案
1 2

.

3.袋中有 2 个白球,2 个黑球,从中任意摸出 2 个,则至少摸出 1 个黑球的概率是 答案
5 6

.

4.一袋中装有大小相同,编号为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取 2 次,则取得两个球的编号之和不小于 15 的概率为 答案 .

3 64
,P(N)=
3 4

5.掷一枚均匀的硬币两次,事件 M: “一次正面朝上,一次反面朝上” ;事件 N: “至少一次正面朝上” . 则 P(M)= 答案
1 2

.

例1

有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字 1,2,3,4,下面做投掷这两颗正四面体玩

具的试验:用(x,y)表示结果,其中 x 表示第 1 颗正四面体玩具出现的点数,y 表示第 2 颗正四面体 玩具出现的点数.试写出: (1)试验的基本事件; (2)事件“出现点数之和大于 3” ; (3)事件“出现点数相等”. 解 (1)这个试验的基本事件为: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4) , , , , (2,1)(2,2)(2,3)(2,4) , , , , (3,1)(3,2)(3,3)(3,4) , , , , (4,1)(4,2)(4,3)(4,4). , , , (2)事件“出现点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件: (1,3)(1,4)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3) , , , , , , , , (3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4). , , , , (3)事件“出现点数相等”包含以下 4 个基本事件: (1,1)(2,2)(3,3)(4,4). , , , 例2 甲、乙两人参加法律知识竞答,共有 10 道不同的题目,其中选择题 6 道,判断题 4 道,甲、乙 两人依次各抽一题. (1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解 甲、乙两人从 10 道题中不放回地各抽一道题,先抽的有 10 种抽法,后抽的有 9 种抽法,故所有可 能的抽法是 10?9=90 种,即基本事件总数是 90. (1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件 A,下面求事件 A 包含的基本事件数: 甲抽选择题有 6 种抽法,乙抽判断题有 4 种抽法,所以事件 A 的基本事件数为 6?4=24. ∴P(A)=
m 24 4 = = . n 90 15

(2)先考虑问题的对立面: “甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽 到选择题” ,即都抽到判断题. 记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B, “至少一人抽到选择题”为事件 C,则 B 含基本事件数为 4? 3=12. ∴由古典概型概率公式,得 P(B)= 由对立事件的性质可得 P(C)=1-P(B)=1例3
2 13 = . 15 15

12 2 = , 90 15

(14 分)同时抛掷两枚骰子.

(1)求“点数之和为 6”的概率; (2)求“至少有一个 5 点或 6 点”的概率. 解 同时抛掷两枚骰子,可能的结果如下表:

共有 36 个不同的结果. (1)点数之和为 6 的共有 5 个结果,所以点数之和为 6 的概率 P= (2)方法一 概率 P=

7分

5 . 36

10 分

从表中可以得其中至少有一个 5 点或 6 点的结果有 20 个,所以至少有一个 5 点或 6 点的

20 5 = . 36 9

14 分

方法二

至少有一个 5 点或 6 点的对立事件是既没有 5 点又没有 6 点,如上表既没有 5 点又没有 6 点的

结果共有 16 个,则既没有 5 点又没有 6 点的概率 P= 所以至少有一个 5 点或 6 点的概率为 14 5 = . 9 9

16 4 = , 36 9
14 分

1.某口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黑球,从中一次摸出 2 只球. (1)共有多少个基本事件? (2)摸出的 2 只球都是白球的概率是多少? 解 (1)分别记白球为 1,2,3 号,黑球为 4,5 号,从中摸出 2 只球,有如下基本事件(摸到 1,2 号 球用(1,2)表示) : (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5). 因此,共有 10 个基本事件. (2)如下图所示,上述 10 个基本事件的可能性相同,且只有 3 个基本事件是摸到 2 只白球(记为事件 A) , 即(1,2)(1,3)(2,3) , , ,故 P(A)=
3 . 10

故共有 10 个基本事件,摸出 2 只球都是白球的概率为

3 . 10

2.(2008?山东文,18)现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语,B1、B2、B3 通晓俄语, C1、C2 通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件空间

Ω ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,
B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1), (A3,B3,C2)}由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是 等 可能的. 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)} 事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P(M)=
6 1 = . 18 3

(2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选中”这一事件,由 于 N ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件 N 有 3 个基本事件组成, 所以 P( N )=
3 1 = ,由对立事件的概率公式得 18 6 1 5 = . 6 6

P(N)=1-P( N )=1-

3.袋中有 6 个球,其中 4 个白球,2 个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率: (1)A:取出的两球都是白球; (2)B:取出的两球 1 个是白球,另 1 个是红球. 解 设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6. 从袋中的 6 个小球中任取两个的方法为(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4) , , , , , , , (2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)共 15 个. , , , , , , , (1) 从袋中的 6 个球中任取两个, 所取的两球全是白球的总数, 即是从 4 个白球中任取两个的方法总数, 共有 6 个,即为(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4). , , , , , ∴取出的两个球全是白球的概率为 P(A)=
6 2 = . 15 5

(2)从袋中的 6 个球中任取两个,其中 1 个为红球,而另 1 个为白球,其取法包括(1,5)(1,6) , , (2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)共 8 个. , , , , , ∴取出的两个球 1 个是白球,另 1 个是红球的概率 P(B)=
8 . 15

一、填空题 1.盒中有 1 个黑球和 9 个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别.现由 10 人依次摸出 1 个球. 设第 1 个人摸出的 1 个球是黑球的概率为 P1,第 10 个人摸出黑球的概率是 P10,则 P10 “<”或“=” ). 答案 = 2. 采用简单随机抽样从含有 n 个个体的总体中抽取一个容量为 3 的样本,若个体 a 前 2 次未被抽到,第 3 P1(填“>”

次被抽到的概率等于个体 a 未被抽到的概率的 答案
1 2

1 倍,则个体 a 被抽到的概率为 3

.?

3.有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组,第一组有 1 个数为 1,第二组有 2 个数为 3、5, 第三组有 3 个数为 7、9、11,?,依此类推,则从第十组中随机抽取一个数恰为 3 的倍数的概率 为 答案
3 10

.

4.从数字 1,2,3 中任取两个不同数字组成两位数,该数大于 23 的概率为 答案
1 3

.

5.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面上的一个点 P(a, b) ,记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N) ,若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值 为 答案 是 答案
1 6

. 3和4 .

6.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x+y=5 下方的概率

7.(2008?江苏,2)一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率为 答案
1 12

.

8.(2008?上海文,8)在平面直角坐标系中,从五个点:A(0,0) 、B(2,0) 、C(1,1) 、D(0,2) 、 E(2,2)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 答案
4 5

(结果用分数表示).

二、解答题 9.5 张奖券中有 2 张是中奖的,首先由甲然后由乙各抽一张,求: (1)甲中奖的概率 P(A) ; (2)甲、乙都中奖的概率; (3)只有乙中奖的概率; (4)乙中奖的概率. 解 (1)甲有 5 种抽法,即基本事件总数为 5.中奖的抽法只有 2 种,即事件“甲中奖”包含的基本事
2 . 5

件数为 2,故甲中奖的概率为 P1=

(2)甲、乙各抽一张的事件中,甲有五种抽法,则乙有 4 种抽法,故所有可能的抽法共 5?4=20 种,甲、 乙都中奖的事件中包含的基本事件只有 2 种,故 P2=
1 2 = . 20 10

(3)由(2)知,甲、乙各抽一张奖券,共有 20 种抽法,只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中” 两种情况,故共有 3?2=6 种基本事件,∴P3=
3 6 = . 20 10

(4)由(1)可知,总的基本事件数为 5,中奖的基本事件数为 2,故 P4=

2 . 5

10. 箱中有 a 个正品,b 个次品,从箱中随机连续抽取 3 次,在以下两种抽样方式下: (1)每次抽样后不放 回; (2)每次抽样后放回.求取出的 3 个全是正品的概率.? 解 (1)若不放回抽样 3 次看作有顺序,则从 a+b 个产品中不放回抽样 3 次共有 A 3 b 种方法,从 a 个正 a?
3 Aa 3 Aa ? b

品中不放回抽样 3 次共有 A 3 种方法,可以抽出 3 个正品的概率 P= a 则从 a+b 个产品中不放回抽样 3 次

.若不放回抽样 3 次看作无顺序,

共有 C 3 b 种方法,从 a 个正品中不放回抽样 3 次共有 C 3 种方法,可以取出 3 个正品的概率 P= a a?

3 Ca 3 C a ?b

.

两种方法结果一致.?(2)从 a+b 个产品中有放回的抽取 3 次,每次都有 a+b 种方法,所以共有(a+b) 种不同的方法,而 3 个全是正品的 抽法共有 a 种,所以 3 个全是正品的概率 P=
? a ? ?? ? . 3 ? a?b ? ( a ? b) a3
3
3

3

11.袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取两个球都是白球的概率为

1 .现有甲、乙两人从袋中轮流摸球, 7

甲先取,乙后取,然后甲再取??取后不放回,直到两人中有 1 人取到白球时即终止.每个球在每一次被 取出的机会是等可能的. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求取球 2 次终止的概率; (3)求甲取到白球的概率. 解 (1)设袋中有 n 个白球,从袋中任取 2 个球是白球的结果数是

n(n ? 1) . 2

从袋中任取 2 个球的所有可能的结果数为
n(n ? 1) n(n ? 1) 2 = , 21 42

6?7 =21. 2

1 由题意知 = 7

∴n(n-1)=6,解得 n=3(舍去 n=-2). 故袋中原有 3 个白球. (2)记“取球 2 次终止”为事件 A,则 P(A)= (3)记“甲取到白球”的事件为 B, “第 i 次取到白球”为 Ai,i=1,2,3,4,5, 因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次,第 3 次和第 5 次取球. 所以 P(B)=P(A1+A3+A5). 因此 A1,A3,A5 两两互斥, ∴P(B)=P(A1)+P(A3)+P(A5)

4?3 2 = . 7?6 7

= =

3 4 ? 3 ? 3 4 ? 3 ? 2 ?1? 3 + + 7 7? 6?5 7 ? 6?5? 4?3 3 6 1 22 + + = . 7 35 35 35

12.(2008?海南、宁夏文,19)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查 部门对某校 6 名学生进行问卷调查,6 人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10. 把这 6 名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均 数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解 (1)总体平均数为
1 (5+6+7+8+9+10)=7.5. 6

(2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”. 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有: (5,6)(5,7)(5,8)(5,9)(5,10)(6,7)(6,8)(6,9)(6,10)(7,8)(7,9) , , , , , , , , , , , (7,10)(8,9)(8,10)(9,10) , , , ,共 15 个基本结果. 事件 A 包括的基本结果有: (5,9)(5,10)(6,8)(6,9)(6,10)(7,8)(7,9) , , , , , , ,共有 7 个 基本结果. 所以所求的概率为 P(A)=
7 . 15

§12.3

几何概型

基础自测
1.质点在数轴上的区间[0,2]上运动,假定质点出现在该区间各点处的概率相等,那么质点落在区间 [0,1]上的概率为 答案
1 2

.

2.某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为

.

答案

2 ?
.
3 5

3.某路公共汽车每 5 分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过 3 分钟的概率 是 答案

4.设 D 是半径为 R 的圆周上的一定点,在圆周上随机取一点 C,连接 CD 得一弦,若 A 表示“所得弦的长大 于圆内接等边三角形的边长” ,则 P(A)= 答案
1 3

.

5.如图所示,在直角坐标系内,射线 OT 落在 30°角的终边上,任作一条射线 OA, 则射线 OA 落在∠yOT 内的概率为 答案
1 6

.

例1 解

有一段长为 10 米的木棍,现要截成两段,每段不小于 3 米的概率有多大? 记 “剪得两段都不小于 3 米” 为事件 A, 从木棍的两端各度量出 3 米, 这样中间就有 10-3-3=4 (米) .

在中间的 4 米长的木棍处剪都能满足条件,

所以 P(A)= 例2

10 ? 3 ? 3 4 = =0.4. 10 10

街道旁边有一游戏:在铺满边长为 9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为 1 cm 的小圆

板,规则如下:每掷一次交 5 角钱,若小圆板压在正方形的边,可重掷一次;若掷在正方形内,须再交 5 角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1 元钱.试问: (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少? (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少? 解
2

(1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为 7 cm 和 9 cm 的正方形围成的区域内,所以概率为
2

9 ? 72 9

=

32 . 81
1 ? ? 圆内,因正方形有四个顶点,所以概率为 . ? 4 92 81

(2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的 例3 解

(14 分)在 1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10 毫升,含有麦锈病 1 升=1 000 毫升, 1分 3分 7分 9分 14

种子的概率是多少?从中随机取出 30 毫升,含有麦锈病种子的概率是多少? 记事件 A: “取出 10 毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 则 P(A)=

10 =0.01,即取出 10 毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为 0.01. 1 000

记事件 B: “取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子”. 则 P(B)= 分 例4 解

30 =0.03,即取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为 0.03. 1 000

在 Rt△ABC 中,∠A=30°,过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M,求使|AM|>|AC|的概率. 设事件 D“作射线 CM,使|AM|>|AC|”.

在 AB 上取点 C′使|AC′|=|AC|,因为△ACC′是等腰三角形, 所以∠ACC′=

180? ? 30? =75°, 2
15 1 = . 90 6

? A =90-75=15, ? Ω =90,所以,P(D)=
例5 解

甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.

去.求两人能会面的概率. 在如图所示平面直角坐标系下, (x,y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形区域,而事件 A“两人能够 会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得: P(A)=
S A 602 ? 452 3 600 ? 2 025 7 = = = . S 16 3 600 602

所以,两人能会面的概率是

7 . 16

1.如图所示,A、B 两盏路灯之间长度是 30 米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯 C、D,问 A

与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 10 米的概率是多少?



记 E: 与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 10 米” “A ,把 AB 三等分,由于中间长度为 30?

1 =10(米) , 3

∴P(E)=

10 1 = . 30 3
.

2.(2008?江苏,6)在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区 域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率为 答案

? 16

3.如图所示,有一杯 2 升的水,其中含有 1 个细菌,用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水,求小杯水中含 有这个细菌的概率.



记“小杯水中含有这个细菌”为事件 A,则事件 A 的概率只与取出的水的体积有关,符合几何概型

的条件. ∵ ? A =0.1 升, ? Ω =2 升, ∴由几何概型求概率的公式, 得 P(A)=

? A 0 .1 1 = = =0.05. 2 ?Ω 20
三等分,则∠AOF=∠BOE=30°,记 A 为“在扇形 AOB 内作一射线 OC,使

4.在圆心角为 90°的扇形 AOB 中, 以圆心 O 为起点作射线 OC, 求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°的概率. 解 如图所示,把圆弧 ∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°” ,要使∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°,则 OC 就落在∠EOF 内, ∴P(A)=

30? 90
?

=

1 . 3

5.将长为 l 的棒随机折成 3 段,求 3 段构成三角形的概率. 解 设 A=“3 段构成三角形” ,x,y 分别表示其中两段的长度,则第 3 段的长度为 l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合

Ω ={(x,y)|0<x<l,0<y<l,0<x+y<l},
要使 3 段构成三角形,当且仅当任意两段之和大于第 3 段,即 x+y>l-x-y ? x+y>
l ,x+l-x-y>y 2

? y<

l l ,y+l-x-y>x ? x< . 2 2

故所求结果构成集合

l l ? A= ?( x, y) | x ? y ? , y ? , x ? 2 2 ?
由图可知,所求概率为
1 ?l? ?? ? 2 ?2? l2 2
2

l? ?. 2?

P(A)=

A的面积 = Ω 的面积

=

1 . 4

一、填空题 1.在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数 a,则这个实数满足 17<a<20 的概率是 答案
3 10

.

2.在长为 10 厘米的线段 AB 上任取一点 G,用 AG 为半径作圆,则圆的面积介于 36 ? 平方厘米到 64 ? 平方 厘米的概率是 .

答案

1 5

3.当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 45 秒,那么你看到 黄灯的概率是 答案
1 16

.

4.如图为一半径为 2 的扇形(其中扇形中心角为 90°) ,在其内部随机地撒一粒黄豆,则它落在阴影部分 的概率为 .

答案

1-

2 ?
S 的概率是 4

5.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 答案
3 4

.

6.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内任取点 M,点 M 在球 O 内的概 率是 答案 .

? 6
.

7.已知下图所示的矩形,其长为 12,宽为 5.在矩形内随机地撒 1 000 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数 为 550 颗,则可以估计出阴影部分的面积约为

答案

33
6 ”的概率为 5

8.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于

.

答案

17 25

二、解答题 9.射箭比赛的箭靶涂有 5 个彩色的分环,从外向内白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色,金色靶心叫“黄 心” ,奥运会的比赛靶面直径是 122 cm,靶心直径 12.2 cm,运动员在 70 米外射箭,假设都能中靶,且射 中靶面内任一点是等可能的,求射中“黄心”的概率. 解 记“射中黄心”为事件 A,由于中靶点随机的落在面积为
1 ? ?1222 cm2 的大圆 4

内,而当中靶点在面积为 的概率
1 ? ? 12.2 2 4 P(A)= =0.01, 1 ? ? 1222 4

1 ? ?12.22 cm2 的黄心时,事件 A 发生,于是事件 A 发生 4

所以射中“黄心”的概率为 0.01. 10.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6∶30 至 7∶30 之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的 时间在早上 7∶00 至 8∶00 之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A)的概率是多少? 解 设事件 A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内,以 x 和 y 分别表示报纸送到和父亲离开 家的时间,则父亲能得到报纸的充要条件是 x≤y,而(x,y)的所有可能结果是边长为 1 的正方形,而能得 到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示,这是一个几何概型问题, ? A =1 2

1 1 1 7 ? ? = , ?Ω =1, 2 2 2 8

所以 P(A)=

?A 7 = . ?Ω 8

11.已知等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°. (1)在线段 BC 上任取一点 M,求使∠CAM<30°的概率; (2)在∠CAB 内任作射线 AM,求使∠CAM<30°的概率. 解 (1)设 CM=x,则 0<x<a.(不妨设 BC=a).

若∠CAM<30°,则 0<x< 故∠CAM<30°的概率为

3 a, 3

? 3 ? 区间? 0, a ?的长度 ? 3 ? 3 ? ? P(A)= = . 区间(0, a )的长度 3

(2)设∠CAM= ? ,则 0°< ? <45°. 若∠CAM<30°,则 0°< ? <30°, 故∠CAM<30°的概率为
(0, )的长度 45 2 2 12.设关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0.

P(B)=

(0 ? ,30? )的长度
?

=

2 . 3

(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方 程有实根的概率. (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概 率.



设事件 A 为“方程 x +2ax+b =0 有实根”.
2 2

2

2

当 a≥0,b≥0 时,方程 x +2ax+b =0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个: (0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1) , , , , , , , , , , , (3,2). 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P(A)=
9 3 = . 12 4

(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 所以所求的概率为
3? 2 ? 1 ? 22 2 2 = . 3 3? 2

P(A)=

§12.4
基础自测

随机变量及其概率分布

1.袋中有大小相同的 5 只钢球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,任意抽取 2 个球,设 2 个球号码之和 为 X,则 X 的所有可能取值个数为 答案 ① X P ② X P ③ X P -1 0.3 0 0.4 1 0.3 1 0.4 2 0.7 3 -0.1 -1 0.3 0 0.4 1 0.4 7 . .

2.下列表中不能成为随机变量 X 的概率分布的是

④ X P 答案 ①②④ 1 0.3 2 0.4 3 0.4

3.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= 答案
1 3

i (i=1,2,3) ,则 P(X=2)= 2a

.

4.一批产品共 50 件,其中 5 件次品,45 件合格品,从这批产品中任意抽两件,其中出现次品的概率 是 答案 .

47 245

5.若 X 的概率分布为 答案
1 3

,则常数 c=

.

例1

一袋中装有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个大小相同的球,现从中随机取出 3 个球,以 X 表示取出

的最大号码. (1)求 X 的概率分布; (2)求 X>4 的概率. 解 (1)X 的可能取值为 3,4,5,6,从而有:
C3 3 C3 6

P(X=3)=

=

1 , 20

P(X=4)=

2 C1 ? C 3 1

C3 6 C1 ? C 2 1 4 C3 6
2 C1 ? C 5 1

=

3 , 20

P(X=5)=

=

3 , 10

P(X=6)=

C3 6

=

1 . 2

故 X 的概率分布为

X P

3

4

5
3 10

6
1 2

1 20

3 20

(2)P(X>4)=P(X=5)+P(X=6)= 例2 解

3 5 4 = . ? 10 10 5

(14 分)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名男生,4 名女生,从中选出 4 人参加数学 依题意随机变量 X 服从超几何分布,
Ck C 4?k 6 4
4 C10

竞赛考试,用 X 表示其中的男生人数,求 X 的概率分布.

所以 P(X=k)=

(k=0,1,2,3,4).

4分

∴P(X=0)= P(X=2)= P(X=4)=

C0C 4 6 4

4 C10 2 C6C2 4 = 4 C10

=

1 210

,P(X=1)=

C1 C 3 6 4
4 C10

=

4 , 35

3 8 C 3 C1 6 4 ,P(X=3)= = , 4 7 21 C10

4 C6C0 4 4 C10

=

1 , 14

9分

∴X 的概率分布为 X P 0 1
4 35

2
3 7

3
8 21

4
1 14

1 210

14 分 例 3 设离散型随机变量 X 的概率分布为 X P 求: (1)2X+1 的概率分布; (2)|X-1|的概率分布. 解 由概率分布的性质知: 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 首先列表为: X 2X+1 |X-1| 从而由上表得两个概率分布为: (1)2X+1 的概率分布: 2X+1 P (2)|X-1|的概率分布: |X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

1.袋中有 3 个白球, 个红球和 5 个黑球.从中抽取 3 个球, 3 若取得 1 个白球得 1 分, 取得 1 个红球扣 1 分, 取得 1 个黑球得 0 分.求所得分数 ? 的概率分布. 解 得分 ? 的取值为-3,-2,-1,0,1,2,3.
C3 3
3 C11

? =-3 时表示取得 3 个球均为红球,
∴P( ? =-3)= =

1 ; 165

? =-2 时表示取得 2 个红球和 1 个黑球,
∴P( ? =-2)=
2 C 3 C1 5 3 C11

=

1 ; 11

? =-1 时表示取得 2 个红球和 1 个白球,或 1 个红球和 2 个黑球,
∴P( ? =-1)=
2 2 C 3 C1 ? C1 C 5 3 3 3 C11

?

13 ; 55

? =0 时表示取得 3 个黑球或 1 红、1 黑、1 白,
∴P( ? =0)=
C 3 ? C1 C 1C1 5 3 3 5
3 C11

?

1 ; 3

? =1 时表示取得 1 个白球和 2 个黑球或 2 个白球和 1 个红球,
∴P( ? =1)=
2 2 C1 C 5 ? C 3 C1 3 3 3 C11

?

13 ; 55

? =2 时表示取得 2 个白球和 1 个黑球,
∴P( ? =2)=
2 C 3 C1 5 3 C11

?

1 ; 11
C3 3
3 C11

? =3 时表示取得 3 个白球,∴P( ? =3)=
∴所求概率分布为:

?

1 ; 165

?
P

-3

-2
1 11

-1
13 55

0
1 3

1
13 55

2
1 11

3

1 165

1 165

2.袋中有 4 个红球,3 个黑球,从袋中随机地抽取 4 个球,设取到一个红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分. (1)求得分 X 的概率分布; (2)求得分大于 6 的概率. 解 得分 X 的所有可能值为:5,6,7,8.
C1 C 3 4 3
4 C7

(1)P(X=5)= P(X=6)= P(X=7)= P(X=8)=
2 C 2C3 4 4 C7 C 3 C1 4 3 4 C7 0 C 4C3 4 4 C7

?

4 , 35

? ? ?

18 , 35 12 , 35 1 . 35

∴X 的概率分布为

X P

5
4 35

6
18 35

7
12 35

8
1 35

(2)得分大于 6 的概率为: P(X=7)+P(X=8)=
12 1 13 + = . 35 35 35

3.已知随机变量 ? 的概率分布为

?
P

-2
1 12

-1
3 12

0
4 12

1
1 12

2
2 12

3
1 12

1 分别求出随机变量 ? 1= ? , ? 2= ? 2 的概率分布. 2



由于 ? 1=

1 1 ? 对于不同的 ? 有不同的取值 y= x, 2 2

即 y1= y3= y5=

1 1 1 x1=-1,y2= x2=- , 2 2 2

1 1 1 x3=0,y4= x4= , 2 2 2 1 1 3 x5=1,y6= x6= . 2 2 2

所以 ? 1 的概率分布为:
?1

-1
1 12

-

1 2

0
4 12

1 2 1 12

1
2 12

3 2 1 12

P

3 12

? 2 = ? 2 对于 ? 的不同取值-2,2 及-1,1, ? 2 分别取相同的值 4 与 1,即 ? 2 取 4 这个值的概率应是 ? 取
-2 与 2 值的概率
1 2 3 1 与 合并的结果, 2 取 1 这个值的概率为 ? 取-1 与 1 的概率 与 合并的结果, ? 12 12 12 12

故 ? 2 的概率分布为:

?2
P

0
4 12

1
4 12

4
3 12

9
1 12

一、填空题 1.袋中有大小相同的红球 6 个、白球 5 个,从袋中每次任意取出 1 个球,直到取出的球是白球时为止,所 需要的取球次数为随机变量 ? ,则 ? 的可能值为 答案 1,2,?,7 .

2.已知某离散型随机变量 ? 的概率分布如下:

?
P 则常数 k 的值为 答案

1 k .

2 3 k

3 5 k

… …

n (2n-1)k

1 n2

3.设 ? 是一个离散型随机变量,其概率分布为

?
P 则 q 的值为 答案 1-

-1
1 2

0 1-2q .

1 q
2

2 2

4.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的 村庄数,则 P(X=4)= 答案
4 6 C 7 C8

.(用式子表示)

C10 15

5.一只袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了 ? 个 白球,若概率为
( n ? m) A 2 m A3 n

时, ? =

.

答案

2 .

? 1? 6.如果 ? ~B ?15, ? ,则使 P( ? =k)取最大值的 k 值为 ? 4?
答案 3或4 7.若某一射手射击所得环数 X 的概率分布如下: X P 答案 0.88 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 .

8 0.28

9 0.29

10 0.22

则此射手“射击一次命中环数 X≥7”的概率是 8.设随机变量 X 的概率分布为: X P 则k = 答案 . 1 k 2 2k 3 4k ? ?

n 2 ?k
n-1

1 2 ?1
n

二、解答题

9.设离散型随机变量 ? 的分布列 P( ? = (1)求常数 a 的值; (2)求 P( ? ≥ (3)求 P( 解
3 ) ; 5

k )=ak,k=1,2,3,4,5. 5

1 7 <? < ). 10 10

(1)由分布列的性质,得

a?1+a?2+a?3+a?4+a?5=1, 解得 a=
1 . 15 k 1 )= k,k=1,2,3,4,5. 5 15

(2)由(1) ,得 P( ? = 方法一 = P( ? ≥

3 3 4 )=P( ? = )+P( ? = )+P( ? =1) 5 5 5

3 4 5 4 + + = . 15 15 15 5

方法二

P( ? ≥

3 3 )=1-P( ? < ) 5 5

=1-[P( ? = =1-( (3)∵ ∴P( =

1 2 )+P( ? = )] 5 5

4 1 2 ? )= . 5 15 15 1 7 1 2 3 <? < ,∴ ? = , , , 5 10 10 5 5 1 7 1 2 3 <? < )=P( ? = )+P( ? = )+P( ? = ) 10 10 5 5 5

1 2 3 2 + + = . 15 15 15 5

10.从装有 6 个白球、4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出一个黑球赢 2 元,而每取 出一个白球输 1 元,取出黄球无输赢,以 X 表示赢得的钱数,则随机变量 X 可以取哪些值?求 X 的概率 分布. 解 从箱中取两个球的情形有以下六种: {2 白},{1 白 1 黄},{1 白 1 黑},{2 黄},{1 黑 1 黄},{2 黑}. 当取到 2 白时,结果输 2 元,则 X=-2; 当取到 1 白 1 黄时,输 1 元,记随机变量 X=-1; 当取到 1 白 1 黑时,随机变量 X=1; 当取到 2 黄时,X=0;当取到 1 黑 1 黄时,X=2; 当取到 2 黑时,X=4. 则 X 的可能取值为-2,-1,0,1,2,4. ∵P(X=-2)=
2 C6 2 C12

?

C1 C1 2 5 ,P(X=-1)= 6 2 ? , 2 11 22 C12

P(X=0)= P(X=2)=

C2 2

2 C12 C1 C1 4 2 2 C12

?

C1 C1 1 4 ,P(X=1)= 6 4 ? , 2 66 11 C12 ? C2 4 1 ,P(X=4)= 4 ? . 2 33 C12 11

从而得到 X 的概率分布如下: X P -2 -1
2 11

0

1
4 11

2
4 33

4
1 11

5 22

1 66

11.(2008?南京质检)甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止,已知甲投篮每次投中的概率为 0.4,乙每 次投篮投中的概率为 0.6,各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为 ? ,若乙先投,且两人投篮次数之和不 超过 4 次,求 ? 的概率分布. 解 因为乙先投,且次数之和不超过 4 次,所以,甲投篮次数的随机变量 ? 可以是 0,1,2 三个. 由于乙先投,若乙第一次就投中,则甲就不再投, ∴P( ? =0)=0.6. 当 ? =1 时,它包含两种情况. 第一种:甲第 1 次投中,这种情况的概率为 P1=0.4?0.4=0.16. 第二种:甲第 1 次未投中,乙第 2 次投中,这种情况的概率为 P2=0.4?0.6?0.6=0.144, ∴P( ? =1)=P1+P2=0.304. 当 ? =2 时,投篮终止, ∴P( ? =2)=0.4?0.6?0.4=0.096. ∴ ? 的概率分布为

?
P

0 0.6

1 0.304

2 0.096

12.某校组织一次冬令营活动,有 8 名同学参加,其中有 5 名男同学,3 名女同学,为了活动的需要,要从 这 8 名同学中随机抽取 3 名同学去执行一项特殊任务,记其中有 X 名男同学. (1)求 X 的概率分布; (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率. 解 (1)X 的可能取值为 0,1,2,3.
m C m C n ?? M M N

根据公式 P(X=m)=

Cn M

算出其相应的概率,

即 X 的概率分布为 X P 0 1 2 3

1 56

15 56

15 28

5 28

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为 P(X=1)+P(X=2)=

15 15 45 + = . 56 28 56

§12.5

独立性及二项分布

基础自测
1.一学生通过一种英语听力测试的概率是 一次通过的概率是 答案
1 2
1 ) ,则 P(X=2)= 3

1 ,他连续测试两次,那么其中恰有 2

.

2.已知随机变量 X 服从二项分布 X~B(6, 答案

.

80 243
.

3.打靶时甲每打 10 次可中靶 8 次,乙每打 10 次,可中靶 7 次,若两人同时射击一个目标,则它们都中靶 的概率是 答案

14 25
1 ,且是相互独立的, 2

4.一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 则灯亮的概率是 答案 .

55 64
3 3 ,P(A)= ,则 P(B|A)= 10 5

5.已知 P(AB)=
1 2

.

答案

例1

1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从 1 号箱中取出一球放

入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,问 (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下,从 2 号箱取出红球的概率是多少? (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少? 解 记事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球; 事件 B:从 1 号箱中取出的是红球. P(B)=
4 2 1 = ,P( B )=1-P(B)= , 3 2?4 3

(1)P(A|B)=

3 ?1 4 = . 8 ?1 9 3 1 = , 8 ?1 3

(2)∵P(A| B )=

∴P(A)=P(AB)+P(A B ) =P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B ) = 例2
4 2 1 1 11 ? + ? = . 9 3 3 3 27

甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是 0.8,计算:

(1)两人都击中目标的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率. 解 记“甲射击一次,击中目标”为事件 A, “乙射击一次,击中目标”为事件 B.“两人都击中目标”是

事件 AB; “恰有 1 人击中目标”是 A B 或 A B; “至少有 1 人击中目标”是 AB 或 A B 或 A B. (1)显然, “两人各射击一次,都击中目标”就是事件 AB,又由于事件 A 与 B 相互独立, ∴P(AB)=P(A)P(B)=0.8?0.8=0.64. (2) “两人各射击一次,恰好有一次击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中(即 A B ) ,另一 种是甲未击中,乙击中(即 A B) ,根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时发生,即事件 A B 与 A B 是互斥的, 所以所求概率为: P=P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B) =0.8?(1-0.8)+(1-0.8)?0.8 =0.16+0.16=0.32. (3)方法一 方法二 “两人各射击一次,至少有一人击中目标”的概率为 P=P(AB)+[P(A B )+P( A B) ] =0.64+0.32=0.96. “两人都未击中目标”的概率是

P( A B )=P( A )P( B )=(1-0.8)?(1-0.8) =0.2?0.2=0.04. ∴至少有一人击中目标的概率为 P=1-P( A B )=1-0.04=0.96. 例3 (16 分)一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红

灯的事件是相互独立的,并且概率都是

1 . 3

(1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 X 的分布列; (2)设 Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 Y 的概率分布; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率为 X~B(6,
1 ) , 3 1 ,且每次试验结果是相互独立的,故 3

2 分 所以 X 的分布列为
k 6 ?k

?1? ?2? P(X=k)= C k ? ? ? ? ? 6 ? 3? ?3?
5分

,k=0,1,2,3,4,5,6.

(2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然 Y 是随机变量,其取值为 0,1,2,3,4, 5. 其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯,但在第 k+1 个路口遇上红灯,故 各概率应按独立事件同时发生计算.
1 ?2? P(Y=k)= ? ? ? (k=0,1,2,3,4,5) , 3 3? ?
k

而{Y=6}表示一路没有遇上红灯,
?2? 故其概率为 P(Y=6)= ? ? . ?3?
6

8分 因此 Y 的概率分布为: Y P 0
1 3

1
1 2 ? 3 3

2
1 ?2? ?? ? 3 ?3?
2

3
1 ?2? ?? ? 3 ?3?
3

Y P

4
1 ?2? ?? ? 3 ?3?
4

5
1 ?2? ?? ? 3 ?3?
5

6
?2? ? ? ?3?
6

1 2 分 (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1 或 X=2 或?或 X=6}, 14 分 所以其概率为 P(X≥1)=

? P( X ? k ) ? 1 ? P( X ? 0 )
k ?1

6

? 2 ? 665 =1- ? ? = ≈0.912. ? 3 ? 729

6

16 分

1.盒子中有 10 张奖券,其中 3 张有奖,甲、乙先后从中各抽取 1 张(不放回) ,记“甲中奖”为 A, “乙中 奖”为 B. (1)求 P(A) ,P(B) ,P(AB) ,P(A|B) ; (2)A 与 B 是否相互独立,说明理由. 解 (1)P(A)=
2 A3 2 A10

3? 9
2 A10

=

3 3 ,P(B)= , 10 10

P(AB)=

=

1 P( AB) 2 ,P(A|B)= ? . 15 P( B) 9

(2)因为 P(A)≠P(A|B) ,所以 A 与 B 不相互独立. 2.甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中 6 题,乙能答对其中 8 题.若规定 每次考试分别都从这 10 题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率. 解 (1)设甲、乙考试合格分别为事件 A、B,甲考试合格的概率为 P(A)=
3 2 C8 ? C8 C1 2 3 C10 2 C 3 ? C 6 C1 6 4 3 C10

?

2 , 3

乙考试合格的概率为 P(B)=

?

14 . 15

(2)A 与 B 相互独立,且 P(A)= P(AB+ A B +A B )=

2 14 ,P(B)= ,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为 3 15

2 14 1 14 2 1 44 ? + ? + ? = . 3 15 3 15 3 15 45

3.(2008?山东理,18)甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者为本队赢 得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为
2 2 2 1 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , , 3 3 3 2

且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ? 表示甲队的总得分. (1)求随机变量 ? 的概率分布和数学期望; (2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件, 求 P(AB). 解 (1)方法一 由题意知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,且
2? 1 , ? = 3? 27
2 3

? 0 P( ? =0)= C 3 ? ?1 ? ?

P( ? =1)= C1 ? 3

2 2 ? 2? ? ?1 ? ? = , 3 9 ? 3?

?2? ? 2? 4 2 P( ? =2)= C 3 ? ? ? ? ?1 ? ? = , ?3? ? 3? 9

2

8 ?2? P( ? =3)= C 3 ? ? ? = . 3 ? 3 ? 27
所以 ? 的概率分布为

3

?
P

0

1
2 9

2
4 9

3

1 27

8 27

? 的数学期望为 E( ? )=0?
方法二

2 4 1 8 +1? +2? +3? =2. 9 9 27 27 2 ), 3

根据题设可知, ? ~B(3,

因此 ? 的分布列为
?2? ? 2? P( ? =k)= C k ? ? ? ? ?1 ? ? 3 ?3? ? 3?
k 3?k

= Ck ? 3

2k 33

,k=0,1,2,3.

因为 ? ~B(3, (2)方法一 件,

2 2 ),所以 E( ? )=3? =2. 3 3

用 C 表示“甲队得 2 分乙队得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲队得 3 分乙队得 0 分”这一事

所以 AB=C+D,且 C、D 互斥,
2 1 1 1 2 1 1 1 1 10 ?2? ? 2? 2 P(C)= C 3 ? ? ? ? ?1 ? ? ?( ? ? + ? ? + ? ? )= , 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ?3? ? 3? 34 1 1 1 4 ?2? P(D)= C 3 ? ? ? ?( ? ? )= , 3 3 3 2 ?3? 35
3 2

由互斥事件的概率公式得 P(AB)=P(C)+P(D)= 方法二

10 3
4

+

4 3
5

=

34 3
5

=

34 . 243

用 Ak 表示“甲队得 k 分”这一事件,用 Bk 表示“乙队得 k 分”这一事件,k=0,1,2,3.由于

事件 A3B0,A2B1 为互斥事件,故有 P(AB)=P(A3B0+A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). 由题设可知,事件 A3 与 B0 独立,事件 A2 与 B1 独立,因此 P(AB)=P(A3B0)+P(A2B1)=P(A3)P(B0)+P(A2)P(B1)
1 ? 1 1? 22 1 1 2 34 ?2? 2 1 =? ? ?? ? 2 ? 2 ? + C 3 ? 2 ?( 2 ? 2 + 2 ? C 2 ? 2 )= 243 . ? ?3? 3 3 3 ?3 ?
3

一、填空题 1.市场上供应的灯泡中, 甲厂产品占 70%, 乙厂占 30%, 甲厂产品的合格率是 95%, 乙厂产品的合格率是 80%, 则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 答案 0.665 .

2.从应届高中生中选出飞行员,已知这批学生体型合格的概率为 合格的概率为 响) 答案

1 1 ,视力合格的概率为 ,其他几项标准 3 6

1 ,从中任选一学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影 5

.

1 90
.

3.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所 在区域的概率是

答案

4 9 1 ),则 P(X=3)= 2

4.设随机变量 X~B(6, 答案
5 16

.

5.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为 0.6,乙被录取的概率为 0.7,两人是否被录取互不 影响,则其中至少有一人被录取的概率为 答案 0.88 .

2 6.若每名学生测试达标的概率都是 (相互独立) ,测试后 k 个人达标,经计算 5 人中恰有 k 人同时达标的 3

概率是 答案

80 ,则 k 的值为 243
3或4

.

7.有一批书共 100 本,其中文科书 40 本,理科书 60 本,按装潢可分精装、平装两种,精装书 70 本,某人 从这 100 本书中任取一书, 恰是文科书, 放回后再任取 1 本, 恰是精装书, 这一事件的概率是 答案 .

7 25

8.某射手射击 1 次, 击中目标的概率是 0.9.他连续射击 4 次, 且各次射击是否击中目标相互之间没有影响. 有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.9 ?0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.1 . 其中正确结论的序号是 答案 ①③ 二、解答题 9.有甲、乙、丙、丁四名网球运动员,通过对过去战绩的统计,在一场比赛中,甲对乙、丙、丁取胜的概 率分别为 0.6, 0.8,0.9. (1)若甲和乙之间进行三场比赛,求甲恰好胜两场的概率; (2)若四名运动员每两人之间进行一场比赛,求甲恰好胜两场的概率; (写出所有正确的结论的序号).
4 3

(3)若四名运动员每两人之间进行一场比赛,设甲获胜场次为 ? ,求随机变量 ? 的概率分布. 解
2 (1)甲和乙之间进行三场比赛,甲恰好胜两场的概率为 P= C 3 ?0.6 ?0.4=0.432.
2

(2)记“甲胜乙”“甲胜丙”“甲胜丁”三个事件分别为 A,B,C,则 P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(C) , , =0.9. 则四名运动员每两人之间进行一场比赛,甲恰好胜两场的概率为 P(AB C +A B C+ A BC) =P(A)P(B) [1-P(C) ]+P(A) [1-P(B) ]P(C)+[1-P(A) ]P(B)P(C) =0.6?0.8?0.1+0.6?0.2?0.9+0.4?0.8?0.9 =0.444. (3)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3. ? 的 P( ? =0)=0.4?0.2?0.1=0.008; P( ? =1)=0.6?0.2?0.1+0.4?0.8?0.1+0.4?0.2?0.9=0.116; 由(2)得 P( ? =2)=0.444; P( ? =3)=0.6?0.8?0.9=0.432. ∴随机变量 ? 的概率分布为

?
P

0 0.008

1 0.116

2 0.444

3 0.432

10.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A= a1 a2 a3 a4 a5 ,其中 A 的各位数 中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现 0 的概率为 (1)求 ? =3 的概率; (2)求 ? 的概率分布. 解 (1)已知 a1=1,要使 ? =3,只需后四位中出现 2 个 1 和 2 个 0.
2 2

1 2 ,出现 1 的概率为 .记 ? =a1+a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时, 3 3

8 ?2? ?1? ∴P( ? =3)= C 2 ? ? ? ? ? = . 4 3? 3? 27 ? ?
(2) ? 的可能取值为 1,2,3,4,5.
1 ?2? ?1? P( ? =1)= C 0 ? ? ? ? ? = . 4 ?3? ? 3 ? 81 8 ?2? ?1? P( ? =2)= C1 ? ? ? ? ? = . 4 ?3? ? 3 ? 81
1 3 0 4

8 ?2? ?1? P( ? =3)= C 2 ? ? ? ? ? = . 4 27 ?3? ? 3?
?2? ? 1 ? 32 P( ? =4)= C 3 ? ? ? ? ? = . 4 ?3? ? 3 ? 81 ? 2 ? 16 P( ? =5)= C 4 ? ? = . 4 ? 3 ? 81
4 3

2

2

∴ ? 的概率分布为

?

1

2

3

4

5

P

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

11.已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为

1 ,某植物研究所分两个小组分别独 3

立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种 子没有发芽,则称该次试验是失败的. (1)第一个小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率; (2)第二个小组进行试验,到成功了 4 次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的 概率. 解

7 ?1? ? 1? 2 ?1? (1)第一个小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率是 P(A)= C 3 ? ? ? ?1 ? ? + C 3 ? ? = . 3 ? 3? ? 3 ? 27 ? 3?

2

3

(2)第二个小组在第 4 次成功前,共进行了 6 次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各 种可能的情况种数为 A 2 =12.因此所求的概率为 4
1 32 ?1? ? 2 ? P(B)=12? ? ? ? ? ? = . 3 729 ? 3? ? 3 ?
3 3

12.甲、乙两人进行投篮比赛,两人各投 3 球,谁投进的球数多谁获胜,已知每次投篮甲投进的概率为 乙投进的概率为
1 ,求: 2

4 , 5

(1)甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率; (2)在甲第一次投篮未投进的条件下,甲最终获胜的概率. 解 (1)甲投进 2 球的概率为
2

1 48 2 ?4? , C3 ? ? ? = 5 125 ?5?

乙投进 1 球的概率为
1 3 ?1? C1 ? ? ? = , 3 2 8 2? ?
2

甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率为
3 18 48 ? = . 8 125 125

(2)在甲第一次投篮未进的条件下,甲获胜指甲后两投两进且乙三投一进或零进(记为 A),或甲后两投一进 且乙三投零进(记为 B),
?4? ?1? ?1? 0 ?1? P(A)= C 2 ? ? ?[ C1 ? ? ? ? ? + C 3 ? ? ] 2 3 ?5? ?2? ?2? ?2?
2 1 2 3

=

1 8 16 ? = , 2 25 25
4 1 0 ?1? ? ? C3 ? ? 5 5 ?2?
3

P(B)= C1 2 =

1 1 8 ? = , 8 25 25

故所求概率为 P(A+B)=

9 . 25

§12.6

随机变量的均值与方差

基础自测
1.若随机变量 X 的概率分布如下表,则 E(X)= .

X P

0 2 x

1 3 x

2 7 x

3 2 x

4 3 x

5 x

答案

20 9
. 6,0.4

2.已知随机变量 X 服从二项分布,且 E(X)=2.4,V(X)=1.44,则二项分布的参数 n,p 的值为 答案 3.已知 ? 的概率分布

?
P 则在下列式子中,①E( ? )=正确的个数是 答案 2 .

-1
1 2

0
1 3

1
1 6

1 1 23 ;②V( ? )= ;③P( ? =0)= . 3 3 27

4.已知 ? 的分布列为 ? =-1,0,1,对应 P= 答案
2 3

1 1 1 , , ,且设 ? =2 ? +1,则 ? 的期望是 2 6 3

.

例1

某商场举行抽奖促销活动, 抽奖规则是: 从装有 9 个白球、 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球, 1

记下颜色后放回, 摸出一个红球可获得奖金 10 元; 摸出两个红球可获得奖金 50 元.现有甲、 乙两位顾客, 规定:甲摸一次,乙摸两次,令 X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求: (1)X 的概率分布; (2)X 的均值. 解 (1)X 的所有可能取值为 0,10,20,50,60.
3

729 ? 9 ? P(X=0)= ? ? = ; ? 10 ? 1 000
P(X=10)= P(X=20)= P(X=50)= P(X=60)=
1 9 1 9 243 ? 9 ? ?? ? + ? C1 ? ? = ; 2 10 10 10 1 000 10 ? 10 ?
2

9 1 1 18 ? C1 ? ? = ; 2 10 10 10 1 000 9 9 1 ? = ; 2 1 000 10 10

1 10
3

=

1 . 1 000

故 X 的概率分布为 X P (2)E(X)=0? 例2 0 10 20 50 60

729 1 000

243 1 000

18 1 000

9 1 000

1 1 000

729 243 18 9 1 +10? +20? +50? +60? =3.3(元). 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

某运动员投篮时命中率 p=0.6.

(1)求一次投篮命中次数 ? 的期望与方差; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数 ? 的期望与方差. 解 (1)投篮一次,命中次数的概率分布为:

?
P 则 E( ? )=0?0.4+1?0.6=0.6,
2 2

0 0.4

1 0.6

V( ? )=(0-0.6) ?0.4+(1-0.6) ?0.6=0.24. (2)由题意,重复 5 次投篮,命中的次数 ? 服从二项分布, 即 ? ~B(5,0.6),由二项分布期望与方差的计算结论有 E( ? )=5?0.6=3,V( ? )=5?0.6?0.4=1.2. 例 3 (14 分)设随机变量 ? 具有分布 P( ? =k)= ( ? -1). 解 ∵E( ? )=1?
2

1 2 ,k=1,2,3,4,5,求 E( ? +2) ,V(2 ? -1) ? , 5

1 1 1 1 1 +2? +3? +4? +5? =3. 5 5 5 5 5

E( ? )=1?

1 2 1 2 1 2 1 2 1 +2 ? +3 ? +4 ? +5 ? =11. 5 5 5 5 5
2

V( ? )=(1-3) ? =

1 1 1 1 1 2 2 2 2 +(2-3) ? +(3-3) ? +(4-3) ? +(5-3) ? 5 5 5 5 5

1 (4+1+0+1+4)=2. 5

5分

∴E( ? +2) =E( ? +4 ? +4)
2 2

=E( ? )+4E( ? )+4=11+12+4=27.
2

8分 11 分 14

V(2 ? -1)=4V( ? )=8,

? ( ? -1)= V (? ? 1) = V (? ) = 2 .
分 例 4

甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护

区每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为

?
P

0 0.3

1 0.3

2 0.2

3 0.2

?
P

0 0.1

1 0.5

2 0.4

试评定这两个保护区的管理水平. 解 甲保护区的违规次数 ? 的数学期望和方差为
2 2 2 2

E( ? )=0?0.3+1?0.3+2?0.2+3?0.2=1.3; V( ? )=(0-1.3) ?0.3+(1-1.3) ?0.3+(2-1.3) ?0.2+(3-1.3) ?0.2=1.21. 乙保护区的违规次数 ? 的数学期望和方差为 E( ? )=0?0.1+0.5+2?0.4=1.3; V( ? )=(0-1.3) ?0.1+(1-1.3) ?0.5+(2-1.3) ?0.4=0.41.
2 2 2

因为 E( ? )=E( ? ),V( ? )>V( ? ),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护 区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.

1.编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同 的学生的个数 是 X. (1)求随机变量 X 的概率分布; (2)求随机变量 X 的数学期望和方差. 解 (1)P(X=0)=
C1 3

2 A3 3

=

1 ; 3

1 1 1 ;P(X=3)= = ; 2 A3 6 3 ∴随机变量 X 的概率分布为

P(X=1)=

A3 3

=

X P (2)E(X)=1? V(X)=(1-0) ?
2

0
1 3

1
1 2

3
1 6

1 1 +3? =1. 2 6 1 1 1 2 2 +(1-1) ? +(3-1) ? =1. 3 2 6

2.A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效 的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 (1)求一个试验组为甲类组的概率; (2)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求 ? 的概率分布和数学期望. 解 (1)设 Ai 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠有 i 只” ,i=0,1,2, Bi 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小白鼠有 i 只” ,i=0,1,2. 依题意有 P(A1)=2? P(A2)= P(B0)=
1 2 4 ? = , 3 3 9 2 1 ,服用 B 有效的概率为 . 3 2

2 2 4 ? = . 3 3 9

1 1 1 ? = , 2 2 4 1 1 1 ? = . 2 2 2

P(B1)=2?

所求的概率为 P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2) =
1 4 1 4 1 4 4 ? + ? + ? = . 4 9 4 9 2 9 9 4 ). 9

(2) ? 的可能值为 0,1,2,3,且 ? ~B(3,
? 5 ? 125 P( ? =0)= ? ? = , ? 9 ? 729
3

P( ? =1)= C1 ? 3

4 ? 5 ? 100 ?? ? = , 9 243 ?9?
2

2

5 80 ?4? 2 P( ? =2)= C 3 ? ? ? ? = , 9 243 ?9?

64 ?4? P( ? =3)= ? ? = . 9? 729 ?

3

? 的概率分布为 ?
P 0 1 2 3

125 729

100 243

80 243

64 729

数学期望 E( ? )=0?

125 100 80 64 4 +1? +2? +3? = . 729 243 243 729 3

3. 2008? ( 湖北理, 袋中有 20 个大小相同的球, 17) 其中记上 0 号的有 10 个, 记上 n 号的有 n 个 (n=1,2,3,4) . 现从袋中任取一球, ? 表示所取球的标号. (1)求 ? 的概率分布、期望和方差; (2)若 ? =a ? +b,E( ? )=1,V( ? )=11,试求 a,b 的值. 解 (1) ? 的概率分布为

?
P ∴E( ? )=0?

0
1 2

1

2
1 10

3

4
1 5

1 20

3 20

1 1 1 1 3 +1? +2? +3? +4? =1.5. 2 10 5 20 20
2

V( ? )=(0-1.5) ?
2

1 1 1 3 1 2 2 2 2 +(1-1.5) ? +(2-1.5) ? +(3-1.5) ? +(4-1.5) ? =2.75. 2 5 10 20 20
2

(2)由 V( ? )=a V( ? ),得 a ?2.75=11,即 a=±2. 又 E( ? )=aE( ? )+b, 所以当 a=2 时,由 1=2?1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2?1.5+b,得 b=4.

?a ? 2, ?a ? ?2 ∴? 或? 即为所求. b ? ?2, ?b ? 4 ?
4.有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设项目,为了对重点建设项目负责,政府到两建材厂抽样 检查,他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下:

?
P

110 0.1 100 0.1

120 0.2 115 0.2

125 0.4 125 0.4

130 0.1 130 0.1

135 0.2 145 0.2

?
P

其中 ? 和 ? 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于 120 的条件下,比较甲、 乙两厂材料哪一种稳定性较好. 解 E( ? )=110?0.1+120?0.2+125?0.4+130?0.1+135?0.2=125,
2 2 2 2

E( ? )=100?0.1+115?0.2+125?0.4+130?0.1+145?0.2=125, V( ? )=0.1?(110-125) +0.2?(120-125) +0.4?(125-125) +0.1?(130-125) +0.2?(135-125)
2

=50, V( ? )=0.1?(100-125) +0.2?(115-125) +0.4?(125-125) +0.1?(130-125) +0.2?(145-125)
2 2 2 2

2

=165, 由于 E( ? )=E( ? )>120,而 V( ? )<V( ? ), 故甲厂的材料稳定性较好.

一、填空题

?1 1.设一随机试验的结果只有 A 和 A , P A) 令随机变量 X= ? 且 ( =p, ?0
答案 p(1-p)

A出现 A不出现

, X 的方差 V(X)= 则

.

2.某一离散型随机变量 ? 的概率概率分布如下表,且 E( ? )=1.5,则 a-b 的值为

. 2 b 3 0.1

?
P 答案 0 .

0 0.1

1 a

3.如果 a1,a2,a3,a4,a5,a6 的平均数(期望)为 3,那么 2(a1-3) ,2(a2-3) ,2(a3-3) ,2(a4-3) ,2(a5-3) , 2(a6-3)的平均数(期望)是 答案 0 .

4.设 ? ~B(n,p) ,若有 E( ? )=12,V( ? )=4,则 n、p 的值分别为 答案 18,
2 3

5.随机变量 X 的概率分布为

X P 则 E(5X+4)= 答案 15 .

1 0.4

2 0.3

4 0.3

6.投掷 1 枚骰子的点数为 ? ,则 E( ? )= 答案 3.5
35 12

,V( ? )=

.

7.随机变量 ? 的概率分布如下:

X P 其中 a,b,c 成等差数列.若 E( ? )= 答案
5 9

-1 a
1 ,则 V( ? )的值是 3

0 b .

1 c

8.设离散型随机变量 X 可能取的值为 1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).又 X 的均值 E(X)=3, 则 a+b= .

答案

1 10

二、解答题 9.某地区的一个季节下雨天的概率是 0.3,气象台预报天气的准确率为 0.8.某厂生产的产品当天怕雨,若 下雨而不做处理,每天会损失 3 000 元,若对当天产品作防雨处理,可使产品不受损失,费用是每天 500 元. (1)若该厂任其自然不作防雨处理,写出每天损失 ? 的概率分布,并求其平均值; (2)若该厂完全按气象预报作防雨处理,以 ? 表示每天的损失,写出 ? 的概率分布. 计算 ? 的平均值,并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择? 解 (1)设 ? 为损失数,概率分布为:

?
P (2)设 ? 为损失数,则 P( ? =0)=0.7?0.8=0.56.

0 0.7

3 000 0.3

∴E( ? )=3 000?0.3=900(元).

P( ? =500)=0.3?0.8+0.7?0.2=0.38. P( ? =3 000)=0.3?0.2=0.06. 概率分布为:

?
P ∴E( ? )=0+500?0.38+3 000?0.06=370 平均每天损失为 370 元.

0 0.56

500 0.38

3 000 0.06

∵370<900,∴按天气预报作防雨处理是正确的选择. 10.设在 12 个同类型的零件中有 2 个次品,抽取 3 次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放回,若以 ξ 和 ? 分别表示取出次品和正品的个数. (1)求 ? 的概率分布、期望值及方差; (2)求 ? 的概率分布、期望值及方差. 解 (1) ? 的可能值为 0,1,2.
3 C 0 C10 2 3 C12

若 ? =0,表示没有取出次品,其概率为: P( ? =0)= =
6 ; 11
2 C1 C10 2 3 C12

同理,有 P( ? =1)= ∴ ? 的概率分布为:

=

C 2 C1 9 1 ;P( ? =2)= 2 10 = . 3 22 22 C12

?
P ∴E( ? )=0? V( ? )=(06 9 1 1 +1? +2? = . 11 22 22 2
2

0
6 11

1

2

9 22

1 22

1 2 6 ? 1? 1? 9 ? 1 ) ? + ?1 ? ? ? + ?2 ? ? ? 2 11 ? 2? 2? 22 ? 22

2

=

9 9 15 3 + + = . 22 88 88 44

(2) ? 的可能值为 1,2,3,显然 ? + ? =3. P( ? =1)=P( ? =2)= P( ? =3)=P( ? =0)=

1 9 ,P( ? =2)=P( ? =1)= , 22 22
6 . 11

∴ ? 的概率分布为:

?
P E( ? )=E(3- ? )=3-E( ? )=32

1

2

3
6 11

1 22
1 5 = . 2 2

9 22

∵ ? =- ? +3,∴V( ? )=(-1) V( ? )=

15 . 44
1 与 p,且乙投球 2 次均未命中的概 2

11.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 率为
1 . 16

(1)求乙投球的命中率 p; (2)若甲投球 1 次,乙投球 2 次,两人共命中的次数记为 ? ,求 ? 的概率分布和数学期望. 解 (1)设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B.
2 2

由题意得(1-P(B)) =(1-p) = 解得 p=

1 , 16

3 5 3 或 p= (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 4 4 1 1 3 ,P( A )= ,P(B)= , 2 2 4

(2)由题设和(1)知 P(A)= P( B )=
1 . 4

? 可能的取值为 0,1,2,3,故
P( ? =0)=P( A )P( B B )=
1 1 ?1? ?? ? = , 2 ? 4 ? 32
2

P( ? =1)=P(A)P( B B )+ C1 P(B)P( B )P( A ) 2 =
1 3 1 1 7 ?1? ? ? ? +2? ? ? = , 2 4 4 2 32 4? ? 1 9 ?3? ?? ? = , 2 4 ? 32 ?
2 2

P( ? =3)=P(A)P(BB)=

P( ? =2)=1-P( ? =0)-P( ? =1)-P( ? =3)=

15 . 32

? 的概率分布为

?
P

0

1

2

3

1 32

7 32

15 32

9 32

? 的数学期望
E(ξ )=0?

7 15 9 1 +1? +2? +3? =2. 32 32 32 32

12.(2008?全国Ⅰ理,20)已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然后 再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. (1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望. 解 (1)设 ? 1、 ? 2 分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数,P 表示对应的概率,则 方案甲中 ? 1 的概率分布为

?1
P

1
1 5

2

3

4

4 1 1 ? ? 5 4 5

4 3 1 1 ? ? ? 5 4 3 5

4 3 2 2 ? ? ? 5 4 3 5

方案乙中 ? 2 的概率分布为

?2
P 若甲化验次数不少于乙化验次数,则

1 0
C2 4

2
1 C3 3 ? ? 4 ? C3 3 C3 5 5 5 C2 4 C3 5

3
? 2 2 ? 3 5

P=P( ? 1=1)?P( ? 2=1)+P( ? 1=2)?[P( ? 2=1)+P( ? 2=2)]+P( ? 1=3)?[P( ? 2=1)+P( ? 2=2)+P( ? 2=3)] +P( ? 1=4) =0+
1 3 1 3 2 2 18 ?(0+ )+ ?(0+ + )+ = 5 5 5 5 5 5 25

=0.72. (2)E( ? )=1?0+2?
3 2 12 +3? = =2.4. 5 5 5

§12.7

正态分布

基础自测
1. 把一正态曲线 C1 沿着横 轴方向向 右移动 2 个单位 ,得到一 条新的曲线 C2 ,下 列说法正 确的是 (填序号). ①曲线 C2 仍是正态曲线 ②曲线 C1,C2 的最高点的纵坐标相等 ③以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C1 为概率密度曲线的总体的方差大 2 ④以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线 C1 为概率密度曲线的总体的均值大 2 答案 ①②④ .

2.已知 ? ~N(0, ? 2 )且 P(-2≤ ? ≤0)=0.4,则 P( ? >2)的值为 答案 0.1

2 2 3.(2008?安徽理)设两个正态分布 N( ?1 , ? 1 ) ( ? 1 >0)和 N( ? 2 , ? 2 ) ( ? 2 >0)的密度函数

图象如图所示,则 ?1

?2 , ?1

“<” “=”填空) ? 2 .(用“>”

答案 答案 区间内. 答案 2



< .

4. (2008? 湖南理, 设随机变量 ? 服从正态分布 N 4) (2, , P ? >c+1) ( ? <c-1) 则 c= 9) 若 ( =P ,
2

5.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生的成绩 X~N(110,5 ) ,据此估计,大约应有 57 人的分数在 (100,125]

例1

若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为

1 4 2?

.

(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式; (2)求正态总体在(-4,4]的概率. 解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于 y 轴对称,即 ? =0.由 =

1 2? ?

1 2? ? 4

,得 ? =4,

故该正态分布的概率密度函数的解析式是

P(x)=

1 4 2?

?

e

x2 32

,x∈R.

(2)P(-4<X≤4)=P(0-4<X≤0+4) =P( ? - ? <X≤ ? + ? )=0.682 6. 例2 解 设 X~N(5,1) ,求 P(6<X<7). 由已知 ? =5, ? =1.∵P(4<X<6)=0.682 6.

P(3<X<7)=0.954 4. ∴P(3<X<4)+P(6<X<7) =0.954 4-0.682 6=0.271 8. 如图,由正态密度曲线的对称性可得 P(3<X<4)=P(6<X<7) ∴P(6<X<7)= 例3

0.271 8 =0.135 9. 2

(14 分)在某次数学考试中,考生的成绩 ? 服从一个正态分布,即 ? ~N(90,100).

(1)试求考试成绩 ? 位于区间(70,110)上的概率是多少? (2)若这次考试共有 2 000 名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人? 解 ∵ ? ~N(90,100) ,∴ ? =90, ? = 100 =10.

1分 (1)由于正态变量在区间( ? -2 ? , ? +2 ? )内取值的概率是 0.954 4,而该正态分布中, ? -2 ? =90-2 ?10=70, ? +2 ? =90+2?10=110,于是考试成绩 ? 位于区间(70,110)内的概率就是 0.954 4. 6分 (2)由 ? =90, ? =10,得 ? - ? =80, ? + ? =100. 8分 由于正态变量在区间( ? - ? , ? + ? )内取值的概率是 0.682 6, 所以考试成绩 ? 位于区间(80,100)内的概率是 0.682 6. 11 分 一共有 2 000 名考生,所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2 000?0.682 6≈1 365(人). 14 分

1.标准正态分布的概率密度函数是 P(x)= (1)求证:P(x)是偶函数; (2)求 P(x)的最大值;

1 2?

?e

?

x2 2

(x∈R).

(3)利用指数函数的性质说明 P(x)的增减性.

(1)证明

对任意 x∈R,有 P(-x)=

1 2?

?

e

( ? x)2 2

=

1 2?

?

e

x2 2

=P(x),∴P(x)为偶函数.

(2)解
t

令 t=

x2 t ,当 x=0 时,t=0,e =1. 2
t

∵e 是关于 t 的增函数,当 x≠0 时,t>0,e >1. ∴当 x=0,即 t=0 时, e
x2 2

=e 取最小值.
? x2 2

t

∴当 x=0 时,P(x)= (3)解 有
2 x1

1 2?

e

取得最大值

1 2?

.

任取 x1<0,x2<0,且 x1<x2,
2 x2



,∴ e

?

2 x1 2

<e

?

2 x2 2

.

∴P(x1)<P(x2),即当 x<0 时,P(x)递增. 又 P(x)为偶函数,由偶函数性质得,当 x>0 时,P(x)递减. 2.设 X~N(1,2 ) ,试求 (1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5); (3)P(X≥5).
2



∵X~N(1,2 ) ,∴ ? =1, ? =2.
2

(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P( ? - ? <X≤ ? + ? )=0.682 6. (2)∵P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1) ∴P(3<X≤5)= = = =
1 [P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] 2

1 [P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] 2 1 [P( ? -2 ? <X≤ ? +2 ? )-P( ? - ? <X≤ ? + ? )] 2 1 ?(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2

(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3), ∴P(X≥5)= = = =
1 [1-P(-3<X≤5)] 2

1 [1-P(1-4<X≤1+4)] 2 1 [1-P( ? -2 ? <X≤ ? +2 ? )] 2 1 (1-0.954 4)=0.022 8. 2 1 ),问在一次正常的试验中,取 1 000 个零件时,不 9

3.工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N(4,

属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个? 解 ∵X~N(4,
1 1 ),∴ ? =4, ? = . 9 3

∴不属于区间(3,5)的概率为 P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5) =1-P(4-1<X<4+1) =1-P( ? -3 ? <X< ? +3 ? ) =1-0.997 4=0.002 6≈0.003, ∴1 000?0.003=3(个) , 即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有 3 个.

一、填空题
1 2?
? x2 2

1.对于正态分布 N(0,1)的概率密度函数 P(x)= ①P(x)为偶函数 ②P(x)的最大值为

e

,下列说法正确的是

(填序号).

1 2?

③P(x)在 x>0 时是单调减函数,在 x≤0 时是单调增函数

④P(x)关于 ? =1 对称 答案 ①②③ .

2.已知随机变量 ? 服从正态分布 N(2, ? 2 ),P( ? ≤4)=0.84,则 P( ? <0)= 答案 0.16
2

3.(2008?重庆理)已知随机变量 ? 服从正态分布 N(3,σ ) ,则 P( ? <3)= 答案
1 2

.

4.设随机变量 X~N( ? , ? 2 ) ,则随着 ? 的增大,概率 P(|x- ? |<3 ? )将会 “变小”“不变”填空). , 答案 不变
1 )中,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为 9

(用“变大” ,

5.在正态分布 N(0, 答案 0.002 6

.

6.某次市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图 可视为正态分布) ,则由如图曲线可得下列说法中不正确的有 个.

①甲科总体的标准差最小 ②丙科总体平均数最小 ③乙科总体的标准差及平均数都居中 ④甲、乙、丙的总体的平均数不相同 答案 3 时 7.已知正态分布总体落在区间(0.2,+∞)的概率为 0.5,那么相应的正态曲线 P(x)在 x= 达到最高点. 答案 0.2

8.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1, ? 2 )( ? >0).若 ? 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ? 在(0,2)内取值的概率为 答案 0.8 二、解答题 9.设 X~N(10,1). (1)证明:P(1<X<2)=P(18<X<19); (2)设 P(X≤2)=a,求 P(10<X<18). (1)证明 因为 X~N(10,1),所以,正态曲线 P(x)关于直线 x=10 对称,而区间[1,2]和[18,19] .

2 关于直线 x=10 对称,所以 ? 1 P(x)dx= ? 19 P(x)dx, 18

即 P(1<X<2)=P(18<X<19).

(2)解

P(10<X<18)=P(2<X<10)
1 -a. 2

=P(X<10)-P(X≤2)=

10.某市有 210 名初中学生参加数学竞赛预赛,随机调阅了 60 名学生的答卷,成绩列表如下: 成绩(分) 人数分布 1 0 2 0 3 0 4 6 5 15 6 21 7 12 8 3 9 3 10 0

(1)求样本的数学平均成绩及标准差; (精确到 0.01) (2)若总体服从正态分布,求此正态曲线的近似方程. 解 s=
2

(1)平均成绩 x =

1 (4?6+5?15+6?21+7?12+8?3+9?3)=6. 60

1 2 2 2 2 2 2 [6?(4-6) +15?(5-6) +21?(6-6) +12?(7-6) +3?(8-6) +3?(9-6) ]=1.5. 60

∴s≈1.22, 即样本的数学平均成绩为 6 分,标准差约为 1.22. (2)以 x =6,s=1.22 作为总体学生的数学平均成绩和标准差的估计值. 即 ? =6, ? =1.22. 则总体服从正态分布 N(6,1.22 ). 正态曲线的近似方程为
1 1.22 2?
? ( x ? 6) 2 3
2

P(x)=

e

.

11.某人乘车从 A 地到 B 地,所需时间(分钟)服从正态分布 N(30,100) ,求此人在 40 分钟至 50 分钟到 达目的地的概率. 解 由 ? =30, ? =10,P( ? - ? <X≤ ? + ? )=0.682 6 知此人在 20 分钟至 40 分钟到达目的地的概率为 0.682 6,又由于 P ( ? -2 ? <X≤ ? +2 ? )=0.954 4 ,所以此人在 10 分钟至 20 分钟或 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概 率为 0.954 40.682 6=0.271 8,由正态曲线关于直线 x=30 对称得此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为 0.135 9. 12.灯泡厂生产的白炽灯寿命 X(单位:h),已知 X~N(1 000,30 ),要使灯泡的平均寿命为 1 000 h 的概率为 99.7%,问灯泡的平均寿命应控制在多少小时以上? 解 因为灯泡寿命 X~N(1 000,30 ),故 X 在(1 000-3?30,1 000+3?30)的概率为 99.7%,即在(910,1 090)
2 2

内取值的概率为 99.7%,故灯泡最低使用寿命应控制在 910 h 以上.

单元检测十二
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

?2? 1.设随机变量 X 的分布列由 P(X=i)=C? ? ? 确定,i=1,2,3,则 C 的值为 ?3?

i

.

答案

27 38
.

2.(2008?南师附中模拟)已知某一随机变量 ? 的概率分布如下,且 E( ? )=6.3,则 a 的值为

?
P 答案 答案 7

4 0.5

a 0.1

9 b

3.若 X~B(5,0.1) ,则 P(X≤2)= 0.991 44

.

4.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 事件 A 发生的概率 P(A)是 答案
2 3

1 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,则 9

.

5.一射手射击时其命中率为 0.4,则该射手命中的平均次数为 2 次时,他需射击的次数为 答案 5

.

6.(2009?常州二中测试)如图所示,圆形靶子被分成面积相等的三部分,并分别染上红色、黄色、蓝色. 两人分别向靶子上投射一支飞镖,假设一定中靶,且投中靶面上任一点都是等可能的,则两人所投中区 域的颜色不同的概率是 答案
2 3

.

7.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)= 答案
1 3

.

8.若 ? 是离散型随机变量,P( ? =x1)= x1+x2 的值为 答案 3 .

2 1 4 2 ,P( ? =x2)= ,且 x1<x2;又已知 E( ? )= ,V( ? )= ,则 3 3 3 9

9.节假日时,国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚,若小王的同事中,给其发短信问候的概率为 1, 0.8,0.5,0 的人数分别为 8,15,14,3(人) ,今年五一节时,通常情况下,小王应收到同事问候的短 信条数为 答案 27 . .

10.在 100 张奖券中,有 4 张有奖,从这 100 张奖券中任意抽取 2 张,则 2 张都中奖的概率为 答案

1 825
.
3 4

11.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中任取 3 件,若 ? 表示取到次品的个数,则 E( ? )= 答案

12.两名战士在一次射击比赛中,战士甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4、0.1、0.5;战士乙得 1 分、

2 分、3 分的概率分别为 0.1、0.6、0.3,那么两名战士得胜希望大的是 答案 乙

.

13.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1, ? 2 ) ? >0).若 ? 在(0,1)内取值的概率为 0.4, ( 则 ? 在(2, +∞)上取值的概率为 答案 0.1 . .

14.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设ξ 为取得红球的次 数,则ξ 的期望 E( ? )= 答案
12 5

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(14 分)在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二等 奖券 3 张,每张可获价值 10 元的的奖品;其余 6 张没有奖.某顾客从此 10 张券中任抽 2 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得奖品总价值 ? (元)的概率分布和期望 E( ? ). 解 方法一 (1)P=12 C6 2 C10

=1-

15 2 = . 45 3

即该顾客中奖的概率为

2 . 3

(2) ? 的所有可能值为:0,10,20,50,60(元). 且 P( ? =0)=
2 C6 2 C10

=

C1 C1 2 1 ,P( ? =10)= 3 6 = , 2 3 5 C10

P( ? =20)=

2 C3 2 C10

=

C1 C1 1 2 ,P( ? =50)= 1 6 = . 2 15 15 C10
1 . 15

P( ? =60)=

C1 C1 1 3
2 C10

=

故 ? 的概率分布为:

?
P

0
1 3

10
2 5

20
1 15

50
2 15

60
1 15

从而期望 E( ? )=0?

1 2 1 2 1 +10? +20? +50? +60? =16. 3 5 15 15 15

方法二

(1)P=

C1 C1 ? C 2 4 6 4
2 C10

=

30 2 = . 45 3

(2) ? 的概率分布求法同方法一. 由于 10 张券总价值为 80 元, 即每张的平均奖品价值为 8 元, 从而抽 2 张的平均奖品价值 E( ? )=2?8=16 (元).

16.(14 分)某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球 队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场的概率是
1 . 3

(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率; (2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率; (3)求这支篮球队在 6 场比赛中胜场数的期望和方差. 解
1 4 1 (1)P= (1 ? ) 2 ? = . 3 27 3

(2)6 场胜 3 场的情况有 C 3 种. 6

1 8 160 ?1? ? 1? ∴P= C 3 ? ? ?1 ? ? =20? ? = . 6 27 27 729 ?3? ? 3?
(3)由于 ? 服从二项分布,即 ? ~B(6, ∴E( ? )=6? 答
1 ) , 3

3

3

1 1 1 4 =2,V( ? )=6? ?(1- )= . 3 3 3 3

(1)这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为

4 ; 27

(2)这支篮球队在 6 场比赛中恰胜 3 场的概率为

160 ; 729
4 . 3

(3)在 6 场比赛中这支篮球队胜场的期望为 2,方差为

17.(14 分)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的 概率是
2 7 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 .若袋中共有 10 个球, 5 9

(1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的数学期望 E( ? ). 解 (1)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A,设袋中白球的个数为 x,则 P(A) =12 C10?x 2 C10

?

7 , 9

得到 x=5,故白球有 5 个. (2)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3,概率分布是

?
P

0
1 12

1
5 12

2
5 12

3
1 12

? 的数学期望
E( ? )=
1 5 5 1 3 ?0+ ?1+ ?2+ ?3= . 12 12 12 12 2

18.(2008?安徽理,19)(16 分)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人 一次种植了 n 株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期 望 E( ? )为 3,标准差 ? 为

6 . 2

(1)求 n 和 p 的值,并写出 ? 的概率分布; (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率. 解 由题意知, ? 服从二项分布 B(n,p) ,
n-k

P( ? =k)= C k p k (1-p) ,k=0,1,?,n. n (1)由 E( ? )=np=3, ? =np(1-p)=
2

3 , 2

得 1-p=

1 1 ,从而 n=6,p= . 2 2

? 的概率分布为 ?
P 0 1 2 3 4 5 6

1 64

6 64

15 64

20 64

15 64

6 64

1 64

(2)记“需要补种沙柳”为事件 A,则 P(A)=P( ? ≤3) , 得 P(A)= =1-

1 ? 6 ? 15 ? 20 21 = ,或 P(A)=1-P( ? >3) 64 32

15 ? 6 ? 1 21 = . 64 32

19.(16 分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生选修甲而不选 修乙和丙的概率为 0.08, 选修甲和乙而不选修丙的概率是 0.12, 至少选修一门课的概率是 0.88, ? 表 用 示该学生选修的课程门数和没有
2

选修的课程门数的乘积.

(1)记“函数 f(x)=x + ? ?x 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (2)求 ? 的概率分布和数学期望. 解 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z.

? x(1 ? y)(1 ? z ) ? 0.08 ? 依题意得 ? xy (1 ? z ) ? 0.12. ?1 ? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z ) ? 0.88 ? ? x ? 0.4 ? 解得 ? y ? 0.6 ? z ? 0.5 ?
(1)若函数 f(x)=x + ? ?x 为 R 上的偶函数,则 ? =0.
2

当 ? =0 时,表示该学生选修三门功课或三门功课都没选. ∴P(A)=P( ? =0)=xyz+(1-x) (1-y) (1-z) =0.4?0.5?0.6+(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.24. ∴事件 A 的概率为 0.24. (2)依题意知 ? 的取值为 0 和 2,由(1)所求可知 P( ? =0)=0.24,P( ? =2)=1-P( ? =0)=0.76. 则 ? 的概率分布为

?
P ∴ ? 的数学期望为 E( ? )=0?0.24+2?0.76=1.52.

0 0.24

2 0.76

20.(16 分)某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛期甲河流发生洪水的概率为 0.25,乙河流发生洪水的概率为 0.18(假设两河流发生洪水与否互不影响).现有一台大型设备正在该 地工作,为了保护设备,施工部门提 出以下三种方案: 方案 1:运走设备,此时需花费 4 000 元; 方案 2:建一保护围墙,需花费 1 000 元,但围墙只能抵御一个河流发生的洪水,当两河流同时发生洪 水时,设备仍将受损,损失约 56 000 元; 方案 3:不采取措施,此时,当两河流都发生洪水时损失达 60 000 元,只有一条河流发生洪水时,损失 为 10 000 元. (1)试求方案 3 中损失费 ? (随机变量)的概率分布; (2)试比较哪一种方案好. 解 (1)在方案 3 中,记“甲河流发生洪水”为事件 A, “乙河流发生洪水”为事件 B,则 P(A)=0.25, P(B)= 0.18,所以,有且只有一条河流发生洪水的概率为:P(A B + A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)=0.34, 两河流同时发生洪水的概率为 P(AB)=0.045,都不发生洪水的概率为 P( A B )=0.75?0.82=0.615, 设损失费为随机变量ξ , 则 ? 的概率分布为:

?
P

10 000 0.34

60 000 0.045

0 0.615

(2)对方案 1 来说,花费 4 000 元;对方案 2 来说,建围墙需花费 1 000 元,它只能抵御一条河流的洪 水, 但当两河流都发生洪水时, 损失约 56 000 元, 而两河流同时发生洪水的概率为 P=0.25?0.18=0.045. 所以,该方案中可能的花费为: 1 000+56 000?0.045=3 520(元). 对于方案 3:损失费的数学期望为: E( ? )=10 000?0.34+60 000?0.045=6 100(元) , 比较可知,方案 2 最好,方案 1 次之,方案 3 最差.



更多相关文章:
2014高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1.doc
2014高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1 - 教案,小学教案,全
2017高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1.doc
2017高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1 - (此文档为 wor
【完整升级版】2017高考理科数学第一轮基础知识点复习....doc
【完整升级版】2017高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1 - 全册
2017高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1.doc
2017高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1 - (此文档为 wor
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案1.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案1.doc - 第一章 第一节 [考情展望] 集合与常用逻辑用语 集合的概念与运算 1.给定集合,直接考查集合的交、并、...
高考理科数学一轮复习专题:统计.pdf
高考理科数学一轮复习专题:统计_高考_高中教育_教育...总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( ...知识梳理 1、简单随机抽样 (1)定义:一般地,设一...
教辅--高考数学人教a版1理科一轮复习:统计与概率.doc
教辅--高考数学人教a版1理科一轮复习:统计与概率 - 高考数学人教 A 版(理科)一轮复习:统计与概率 第十一篇 统计与概率 第 1 讲 抽样方法与总体分布的估计...
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案4.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案4.doc - 第二章 函数、导数
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案60.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案60.doc - 第三节 [考情展
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案11.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案11.doc - 第八节 [考情展
2015届高考理科数学第一轮总复习教案54.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮总复习教案54.doc - 学案 12 函数模型及其
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案55.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案55.doc - 第九章 统计与统计案例 第一节 随机抽样 [考情展望] 1.考查随机抽样方法以及有关的计算,特别是分层抽样...
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案13.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案13.doc - 第十节 [考情展
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案50.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案50.doc - 第五节 [考情展
2014高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题....doc
2014高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+...变量间的相关关系统计案例(含解析)_高考_高中教育_...1. 从散点图上看, 如果这些点从整体上看大致分布...
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案3.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案3.doc - 第三节 [考情展望
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案39.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案39.doc - 第七章 第一节
...数学一轮复习 概率 第1课时 随机事件的概率教学案.doc
山观高级中学高考数学一轮复习 概率 第1课时 随机事件的概率教学案 - 概率 考纲导读 (一)事件与概率 1.了解随机事件发生的不确定性频率的稳定性,了解概率的...
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案26.doc.doc
2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案26.doc - 第二节 [考情展
2014高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题....doc
2014高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)几何概型(含解析) - 几_何_概_型 [知识能否忆起] 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图