9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

【高优指导】2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 三角恒等变换课件 理 北师大版


4.6

三角恒等变换

-2-

考纲要求:能运用两角和与差及二倍角的三角函数公式进行简单的 恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记 忆 ).

-3-

1.公式的常见变形 (1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β) tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β) .
1-cos2 ; 2 1+cos2 cos2α= ; 2 1 sin αcos α= sin 2α. 2 (3)1+cos α=2cos2 ; 2 1-cos α=2sin2 ; 2 2 1+sin α= sin + cos ; 2 2 2 1-sin α= sin -cos . 2 2

;

(2)sin2α=

-4-

2.辅助角公式

asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ). 其中 sin φ=
2 +
2

,cos φ=



2 +

2

.

-5-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“ ”,错误的打 “×”. (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7. ( × )
1-cos (2)当 α 是第一象限角时,sin = .( × 2 2 1-cos 2 (3)对任意角 α,tan = 都成立. ( × ) 2 1+cos

)

(4)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来 的. ( ) (5)公式 asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ)中 φ 的取值与 a,b 的 值无关. ( × )

-6-

1 2 3 4 5

2.(2015贵州适应性考试)已知θ∈(0,π),且 sin - = ,则tan 4 10 2θ=( )

π

2

A.

4 3

B.

3 4

C.

24 7

D.-

24 7

关闭

因为 sin

π 4

- =
7

2 2

(cos θ-sin θ)= ,所以 cos θ-sin θ= .
π 4

2

1 5

又 θ∈(0,π),则 θ∈ 0,
25

,2θ∈ 0,
24 7

10 π 2

,两边平方得 sin 2θ= ,
25
关闭

24

所以 cos 2θ= ,tan 2θ= ,故选 C. C
解析

答案

-7-

1 2 3 4 5

(

3.函数 f(x)=sin2x+ 3sin x cos x 在区间 , 上的最大值是 4 2 ) A.1 B.
1+ 3 2

π π

C.

3 2

D.1+ 3

关闭

f(x)=

1-cos2 2 π π 4 2

+
1

3 2

sin 2x=sin 2π 6 π 5π 3

π 6

+ .
2
关闭

1

又 x∈ ,

,∴2x- ∈
3

,

6

,

C f(x)max=1+ = .故选 C. ∴ 2 2
解析 答案

-8-

1 2 3 4 5

(

4.如果 α∈ ,π ,且 sin α= ,那么 sin + +cos + 等于 2 5 4 4 )
4 2 A. 5 4 2 B.5 3 2 C. 5 3 2 D.5

π

4

π

π

关闭

由已知,得 cos α=- , 则 sin +
D
解析 答案
π 4 5

3

+cos +

π 4

= 2sin + +
4

π

π 4

= 2cos α=-

3 5

2.

关闭

-9-

1 2 3 4 5

5.已知sin α+cos α=

3 ,则sin 3

2α=

.

关闭

∵sin α+cos α= 3 ,
2 3

3

∴(sin α+cos α)2= 3.
2

1

∴ - 2sin αcos α=-3,即 sin 2α=- 3.
解析 答案

2

关闭

-10-

1 2 3 4 5

自测点评 1.求三角函数式的最值,常常通过三角恒等变换化简成只含有一 种三角函数的代数式,这化简过程中往往用到公式asin x+bcos

x=

2

+ 2 sin(x+φ),其中

sin φ=

2 +

2

,cos φ=

2 +


2

.

2.倍角的形式是多样的,比如:2α是α的倍角,α是 的倍角,4θ是2θ 2 的倍角,45°是22.5°的倍角等. 3.三角变换的过程主要是减元的过程,主要思路是把异角、异次、 异名化为同角、同次、同名.

-11考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1三角函数式的化简、求值

例 1(1)化简:

(1+sin+cos) sin2 -cos2 2+2cos





(0<θ<π)=

.

关闭

原式 =


2sin cos +2co s 2

2

2

2 2

sin -cos

2

2

4co s 2 si n 2 -co s 2
cos 2 2 2

=cos ·
2

=

-cos · cos
cos 2

2

.
关闭

因为 0<θ<π,所以 0< < .
-cos θ 所以 cos >0,所以原式=-cos θ.
2 2 2

π

解析

答案

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)化简:

2 π+ 2tan π sin 4 4

2cos4 -2cos2+1 2

=

.

关闭

原式=
1 2

1 2 π π 2 2sin - co s - 4 4 π cos - 4

-2si n 2 co s 2 +

=

1 (1-si n 2 2 ) 2 π π 2sin - cos - 4 4

=

1 co s 2 2 2 π sin -2 2

= cos 2x.
2
关闭

1

cos 2x
解析 答案

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1 (3)已知 sin α= +cos 2
1

α,且 α∈
1 2

π 0, 2

cos2 ,则 sin -π 4

的值为

.

解析 : (方法一 )∵sin α= +cos α,

∴sin α-cos α= 2,
π

∴ 2sin - 4 = 2,∴sin - 4 =
又 α∈ 0,
π

1

π

2 4

.

∴cos - 4 =
cos2 sin π 4

2 π

,∴α- ∈ - ,
4 14 4

π

π π 4 4

,
π π 2 14 4 7

,
π

∴cos 2α=-sin 2 - 4 =-2sin - 4 cos - 4 =-2× 4 × ∴
=
7 4 2 4

=- .
4

=-

14 2

.

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(方法二 )∵sin α= +cos α,

1 2

∴sin α-cos α= 2, ∴2sin αcos α= 4, ∵α∈ 0, 2 , ∴sin α+cos α= ∴
cos2 sin π 4

1

∴(sin α-cos α)2=1- 2sin αcos α=4,
3 π

1

sin2

+ cos2

+ 2sincos = 1 + = =- 2(sin α+ cos α)=4 14 2

3

7 2

,

=

(cos +sin )(cos -sin )
2 (sin -cos ) 2

.

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:三角函数式化简、求值的基本思路是什么?化简的一般标 准是怎样的? 解题心得:1.三角化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名 三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的 三角函数互化. 2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含 分母,能求值的尽量求值. 3.化简、求值的主要技巧: (1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; (2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角 的三角函数值.

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 cos2 -sin2

对点训练 1 (1)化简:
(2)化简:
1 tan 2 tan2

π π 2tan 4 - cos2 4-

= .

.

· 1 + tan· tan
co s 2 -si n 2

2

=
cos2 cos2

关闭

原式 =2sin (2)
1 tan
2

co s 2 -si n 2
π · co s 2 - 4

π - 4 π cos - 4

=

2sin

π - 4

cos

π - 4

=

cos2
π -2 2 2 cos 2

sin

=

=1.

-tan =

2

· 1 + tan· tan · .

sin 2 2 cos sin cos 2 2 cos 2cos 2 2 2 (1)1 sin (2) cos cos sin sin 2

·

2 cos 2

sin

co s 2 -si n 2

2 2 sin 2 cos cos +sin sin 2 2 cos cos 2

=

cos

-

sin

· 1+

=

·

=

关闭

解析

答案

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2三角函数式的求值(多维探究) 类型一 给角求值问题 例2化简:sin 50°(1+ 3 tan 10°)= . 思考:解决“给角求值”问题的一般思路是什么?

关闭

sin 50°(1+ 3tan 10°)=sin 50°·1 + 3· =sin 50° · =sin 50° ·
1 =
cos10 ° 2 cos10 °+ 3sin10 °
1 cos10 2

sin10 °

cos10 °

cos10 ° 3 °+ sin10 °
2

2sin50 °· cos50 °

=

cos10 ° sin100 ° cos10 °

=

cos10 ° cos10 °

关闭

=1.
解析 答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型二 给值求角问题

例 3(1)已知 cos α= 7,cos(α- β)=14,且 0<β<α< 2,则 β=

1

13

π

.

关闭

∵0<β<α< 2 ,∴0<α-β< 2 ,sin α=
又 cos(α- β)= ,
14 13

π

π

4 3 7

.

∴sin(α-β)= 1-cos2 (-) =
= ×
π

3 3 14

.

∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
1 7 13 14

+
π 2

4 3 7

×

3 3 π 3 14

= .
2

1

关闭

又 0<β< ,∴β= . 3
解析 答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α- β)= ,tan 2

1 β=- ,则 2α-β= 7
1 1

.
关闭

tan ( - ) +tan 1 ? 思考:解决“给值求角 ”问题的一般思路是什么 2 7 ∵tan α=tan [(α-β)+β]= = 1 1 = >0, 1-tan ( - )tan
1 3

1+ ×

∴0<α< 2 .
又 tan 2α=
π 2tan 1-ta n 2

π

2 7

3

=

2× 1-

1 2 3

= >0,
4
3 1 + 4 7 3 1 1- × 4 7

3

∴0<2α< 2 , ∴tan(2α- β)=1+tan2 tan = ∵ 3π tan 4

tan2 -tan π 2

=1.
3π 4
关闭

β=- <0,∴ <β<π,-π<2α-β<0,∴2α- β=- .
7

1

解析

答案

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型三 给值求值问题

例 4(1)(2015 甘肃天水一模)已知 cos
π x+cos 3 2 3 A.- π 3

π 6

3 =- ,则 3

cos
关闭

=(
3

)
2 3 B.± 3

∵cos - 6 =- 3 ,
= cos x+ sin x
2 3 3

C.-1
π π

D.±1

∴cos x+ cos - 3 =cos x+cos x cos 3 +sin x sin 3
= 3
3 2 2

π

cos + sin
π 6 2

1

= 3cos -

= 3× -

3 3
关闭

C 1.故选 C. =-

解析

答案

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)若 tan
2 A.10

1 α+ tan

=

2 B. 10

10 π π ,α∈ , 3 4 2

,则 sin

3 2 C. 10

π 2 + 4 7 2 D. 10

的值为(

)

关闭

由 tan α+
1

1

∴sin cos = ∵α∈
π π 4 2

tan 10 3

=

10 3

,得

sin cos

+
3 5

cos sin

=

10 3

,

,∴sin 2α= .
π 2

,

,∴2α∈
4 π

,π ,
π π 2 3 4 5 5 2
关闭

∴cos 2α=- 5.

∴ A sin 2 + =sin 2αcos +cos 2αsin = × 4 4 4 2

-

=- .
10

解析

答案

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:解决“给值求值”问题的关键是什么?“给角求值”问题与“给 值求值”问题有什么联系? 解题心得:1.“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上 来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题 时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特 殊角的三角函数而得解. 2.解“给值求角”问题的一般思路是:先求角的某种三角函数的值; 然后根据已知条件确定角的范围;最后根据角的范围写出所求的角. 在求角的某种三角函数值时,选函数的原则是:(1)已知正切函数值, 选正切函数;(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范 π 围是 0, ,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角 2 π π 的范围为 - , ,选正弦较好. 2 2

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

3.求解“给值求值”问题的关键在于“变角”,使其角相同或具有某 种关系;“给值求角”问题实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函 数值,再求角的范围,确定角.

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

3 1 对点训练2 (1)(2015河北衡水中学二调) ? cos10° sin170 ° =( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4

关闭

3 cos10 °

?

1 sin170 °

=

3 cos10 °

?

1

sin10 °

=

3sin10 °-cos10 ° sin10 °cos10 °

=

2sin (10°-30°)
1 sin20 ° 2
关闭

=1
D2

-2sin20 ° sin20 °

=-4.
解析

答案

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)已知函数 f(x)=tan 2 α= .

π + 4

,若 α∈

π 0, 4

,且 f

2

=2cos 2α,则

关闭

由f

2

=2cos 2α,得 tan +
sin +cos cos -sin π
2

π 4

=2cos 2α,

sin + cos

π 4 π + 4

=2(cos2α-sin2α),

整理得

=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).
1 1

∵α∈ 0, 4 ,∴sin α+cos α≠0.
由 α∈ 0,
π

∴(cos α-sin α) = 2,即 sin 2α=2.
π 4

,得 2α∈ 0,
π

π 2

,

∴2α= 6 ,即 α=12.
12

π

关闭

解析

答案

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)若 cos

2 α= ,且 α∈(0,π),则 3

cos +sin 的值为 2 2

.

关闭

∵α∈(0,π),∴ 2 ∈ 0, 2 ,∴cos 2 >0,sin 2 >0, ∴cos 2 =
1+cos 2



π





= +

1+ 2 6 6

2 3

=

30

6 30 + ∴cos 2 +sin 2 6

=

30 6

=

6 30+ 6 6

,sin =
2



1-cos 2

=

1-

2 3

2

=

6 6

,
关闭

.
解析 答案

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3三角变换在图像与性质中的应用 π 例5(2015天津,理15)已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,x∈R. 6 (1)求f(x)的最小正周期; π π (2)求f(x)在区间 , 上的最大值和最小值. 关闭 3 4 π 思考:解决三角变换在三角函数图像与性质中的应用的基本思 1-cos 2 1-cos2 1 1 3 3 解 :(1)由已知 ,有 f(x)= ? = cos2 + sin2 ? 2 2 2 2 2 路是什么? 1 3 1 1 π cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin 2- .
2 4 4 2

所以 ,f(x)的最小正周期 T= =π. (2)因为 f(x)在区间 - ,数 ,f π 3 π 3 π 6 2



6

上是减函数 ,在区间 - ,
3

π π

=- ,f 4 1 2

1

π 6

=- ,f
2

1

π 4

=

4

.所以 ,f(x)在区间 - ,

6 4 π π 3 4

上是增函
3 4

上的最大值为 ,

最小值为- .
答案

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:解决三角变换在三角函数图像与性质中的应用的基本思路 是什么? 解题心得:解决三角变换在三角函数图像与性质中的应用的基本 思路是:通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质, 解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关 问题.

-29考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1 π sin + 2 2

对点训练 3 已知函数 f(x)=2sin 2xsin φ+ cos2x cos φ(0<φ<π),其图象过点
π 1 , 6 2

1

.

1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 2 π 不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 0, 上的最大值和最小 4

(1)求 φ 的值;

值.

解 :(1)∵f(x)= sin 2x sin φ+ cos2x cos φ- sin 2xcos φ 1 = (sin 2x sin φ+cos 2x cos φ) = cos(2x-φ),
2 2 1

1 2

1 2

π 1 2 2

+ (0<φ<π),
1 2

∴f(x)=2sin 2x sin φ+

1

1+cos2 2

cos φ- cos φ= sin 2xsin φ+ cos
2

1

-30考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

又函数图象过点
1 1 π

π 1 6 2

,

,
π 3

∴2 = 2cos 2 × 6 - ,即 cos
又 0<φ<π,∴φ= . (2)由 (1)知 f(x)= cos 21 2 2 3 1 π 3 π

- =1,

,将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐

标缩短到原来的 ,纵坐标不变 ,得到函数 y=g(x)的图象 ,可知 g(x)=f(2x)= cos 42 1 π 3

,

因为 x∈ 0,
π 3 1 2

π 4

,所以 4x∈[0,π],
π 2π 3 π 3 π 4

因此 4x- ∈ - , 故 - ≤cos 43

,
1 2 1 4

≤1. 上的最大值和最小值分别为 和 - .

所以 y=g(x)在 0,

-31考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.三角恒等变换主要有以下四变: (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常 是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通 常有切化弦、正、余弦互化等. (3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的 是有利于应用公式. (4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或 某个期待的目标,其方法通常有:常值代换、逆用或变用公式、通 分约分、分解与组合、配方与平方等.

-32考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通 过变换把函数化为最简形式y=Asin(ωx+φ)再研究性质,解题时注意 观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.



更多相关文章:
【高优指导】高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解....ppt
【高优指导】高考数学一轮复习 第四章 三角函数解三角形 4.6 三角恒等变换课件 文 北师大版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【高优指导】版高考数学一...
高优指导2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三....ppt
高优指导2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数解三角形. - 4.2 同角三角函数的基本关系 及诱导公式 -2- 考纲要求:1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2...
【高优指导】2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数、....ppt
【高优指导】2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数解三角形 4.3 三角函数的图像与性质课件 理 北师大版_数学_高中教育_教育专区。4.3 三角函数的图像与性质 ...
高优指导2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解....ppt
高优指导2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数解三角. - 4.4 函数
高优指导2017高考数学一轮复习第四章三角函数、解三....doc
高优指导2017高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形22解三角形考点规范练文北师大版_高考_高中教育_教育专区。高优指导2017高考数学一轮复习第四章三角函...
高优指导2017高考数学一轮复习第四章三角函数、解三....doc
高优指导2017高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形18三角函数的图像与性质考点规范练文北师大版_高考_高中教育_教育专区。高优指导2017高考数学一轮复习...
2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦....doc
2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.6...【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“...通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的...
...高考数学(理)一轮复习第四章三角函数解三角形4.6_图....ppt
【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习第四章三角函数解三角形4.6 - §4.6 正弦定理、余弦定理 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 课时作业 深度剖析 基础...
【高优指导】2017高考数学一轮复习 三角函数解三角....ppt
【高优指导】2017高考数学一轮复习 三角函数解三角形 4.3 三角函数的图像与性质课件 文 北师大版_数学_高中教育_教育专区。4.3 三角函数的图像与性质 -2- ...
...第三章三角函数解三角形3.4简单的三角恒等变换课....doc
2017届高考数学大一轮复习第章三角函数解三角形3.4简单的三角恒等变换课时规范训练理北师大版 - 【高考领航】2017高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、...
2017高考数学一轮复习第章三角函数三角恒等变换、....doc
2017高考数学一轮复习第章三角函数三角恒等变换解三角形第3讲三角函数的图象与性质习题_高考_高中教育_教育专区。2017 2017 高考数学一轮复习 第三章 三角...
2017高考数学一轮复习第章三角函数三角恒等变换、....doc
2017高考数学一轮复习第章三角函数三角恒等变换解三角形第8讲解三角形应用举例习题_高考_高中教育_教育专区。2017 2017 高考数学一轮复习 第三章 三角函数...
【高优指导】2017高考数学一轮复习 4.1 任意角、弧度....ppt
【高优指导】2017高考数学一轮复习 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 文 北师大版_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数解三角形 4.1 任意角...
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.6三角....ppt
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.6三角恒等变换课件文新人教B版 - 4.6 三角恒等变换 -2知识梳理 双基自测 自测点评 1 2 1.公式的常见变形 (1...
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第四章 三角函数、....doc
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第四章 三角函数解三角形4.5三角恒等变换教学案 理 新人教A版 - 4.5 三角恒等变换 考纲要求 1.会用向量的数量积推导出...
2018版高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第三讲....ppt
2018版高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第三讲三角恒等变换课件理_数学_
江苏专版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课....doc
江苏专版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十二三角恒等变换(含答案) - 课时达标检测(二十二) 三角恒等变换 2 [练基础小题强化运算...
2017高考数学一轮复习第章三角函数解三角形3.6简....doc
2017高考数学一轮复习第章三角函数解三角形3.6简单的三角恒等变换_高考_高中教育_教育专区。2017 【步步高】 (浙江通用)2017高考数学一轮复习 第三章 ...
2017高考数学一轮复习专题七 三角恒等变换解三角形.doc
2017高考数学一轮复习专题七 三角恒等变换解三角形_高三数学_数学_高中教育...【答案】 3 5.(2013 课标Ⅰ,15,中)设当 x=θ时,函数 f(x)=sin x-...
2017高考数学一轮复习第章三角函数解三角形课时2....doc
2017高考数学一轮复习第章三角函数解三角形课时28三角恒等变换学案文北师大版_高考_高中教育_教育专区。2017 课时28 三角恒等变换(课前预习案) 班级: 姓名...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图