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创新方案版高中数学人教版A版选修4-4教学课件:2-2 《2~3双曲线的参数方程 抛物线的参数方程》_图文

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1.双曲线的参数方程 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线ax22-by22=1 的参

数方程是?????xy==batsaenc

φ, φ

规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)

且 φ≠π2,φ≠32π. (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线ay22-xb22=1 的参

数方程是?????xy==abstaecn

φ, φ.

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2.抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2=2px 的参数方程为?????xy==22pptt2, t∈R. (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数.
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[例 1] (1)双曲线?????xy==62se3ctαan α, (α 为参数)的焦点坐

标是________.

??x=tan t,

(2)将方程???y=11- +ccooss

2t 2t

化为普通方程是________.

[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解;(2)利 用代入法消去 t.

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[解析] (1)将?????xy==62se3ctαan α, 化为3y62 -1x22 =1, 可知双曲线焦点在 y 轴,且 c= 36+12=4 3, 故焦点坐标是(0,±4 3). (2)由 y=11- +ccooss 22tt=22csions22tt=tan2t, 将 tan t=x 代入上式,得 y=x2,即为所求方程. [答案] (1)(0,±4 3);(2)y=x2.
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(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参 数方程,特别是将参数方程化为普通方程,还要明确参 数的意义.
(2)对双曲线的参数方程,如果x对应的参数形式是 sec φ,则焦点在x轴上;如果y对应的参数形式是sec φ, 则焦点在y轴上.
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1.如果双曲线?????xy==6setacnθ,θ (θ 为参数)上一点 P 到它的右焦点 的距离是 8,那么 P 到它的左焦点距离是________. 解析:由双曲线参数方程可知a=1, 故P到它左焦点的距离|PF|=10或|PF|=6. 答案:10或6
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2.过抛物线?????yx==2t2t, (t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果 x2+x2=6.则|AB|= ________. 解析:化为普通方程是:x=y42即 y2=4x,∴p=2. ∴|AB|=x1+x2+p=8. 答案:8
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[例2] 连结原点O和抛物线2y=x2上的动点M,延长 OM到P点,使|OM|=|MP|,求P点的轨迹方程,并说明它 是何曲线.
[思路点拨] 由条件可知,M点是线段OP的中点,利 用中点坐标公式,求出点P的轨迹方程,再判断曲线类 型.
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[解] 设 M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在 OM 的延长线上,且 M 为线段 OP 的中点,抛物线的参数方程 为?????xy==22tt2, 用中点公式得?????xy00==44tt2,.
变形为 y0=14x20,即 P 点的轨迹方程为 x2=4y. 表示抛物线.
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在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题 时,常根据需要引入一个中间变量即参数(将x,y表 示成关于参数的函数),这种方法是参数法,而涉及 曲线上的点的坐标时,可根据曲线的参数方程表示 点的坐标.
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3.设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点,F1和F2为两个焦 点,证明:|F1P|·|F2P|=|OP|2.

证明:如图,设双曲线上的动点为 P(x,y),

焦点 F1(- 2,0),F2( 2,0),双曲线的参

数方程为?????xy==tsaenc

θ, θ.

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则:(|F1P|·|F2P|)2 =[(sec θ+ 2)2+tan2θ]·[(sec θ- 2)2+tan2θ] =(sec2 θ+2 2sec θ+2+tan2θ)(sec2 θ-2 2sec θ+2+tan2θ) =( 2sec θ+1)2( 2sec θ-1)2 =(2sec2 θ-1)2. 又|OP|2=sec2 θ+tan2θ=2sec2 θ-1, 由此得|F1P|·|F2P|=|OP|2.
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4.如图所示,O是直角坐标原点,A,B是 抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动 点,且OA⊥OB,OM⊥AB于点M,求 点M的轨迹方程.
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解:根据条件,设点 M,A,B 的坐标分别为(x,y),(2pt21, 2pt1),(2pt22,2pt2)(t1≠t2,且 t1·t2≠0),则

OM =(x,y),OA=(2pt21,2pt1),

OB=(2pt22,2pt2),

AB =(2p(t22-t12),2p(t2-t1)).

因为 OA⊥ OB ,所以 OA·OB =0,即

(2pt1t2)2+(2p)2t1t2=0,

所以 t1t2=-1.



因为OM ⊥ AB,所以OM ·AB=0,即

2px(t22-t12)+2py(t2-t1)=0,

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所以 x(t1+t2)+y=0,

即 t1+t2=-xy(x≠0).



因为 AM =(x-2pt21,y-2pt1),

MB=(2pt22-x,2pt2-y),且 A,M,B 三点共线,

所以(x-2pt21)(2pt2-y)=(y-2pt1)(2pt22-x),

化简,得 y(t1+t2)-2pt1t2-x=0.



将①,②代入③,得到

y(-xy)+2p-x=0, 即 x2+y2-2px=0(x≠0), 这就是点 M 的轨迹方程.

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