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高一数学必修4三角函数练习题及答案


高一必修 4 三角函数练习题 一、选择题(每题 4 分,计 48 分) 1. sin(?1560 ) 的值为(
A


C

?

1 2

B

1 2

?

3 2

D

3 2

2.如果 cos(? ? A) ? ? ,那么 sin( ? A) =(
2
A

1 2

?


3 2

?

1 2

B

1 2

C

?

3 2

D

3.函数 y ? cos( ? x) 的最小正周期是 (
A

?

? 5 ? 3

3

B

2 5 5 ? 2


5?

C

2?

D

4.轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是 (
A B



2 ? 3

C

?

D

4 ? 3

5.已知 tan100 ? k ,则 sin 80 的值等于 (
A


D ?

k 1? k 2

B

?

k 1? k 2

C

1? k 2 k

1? k 2 k

6.若 sin ? ? cos ? ? 2 ,则 tan ? ? cot ? 的值为
A





?1

B

2

C

1

D ?2

7. 下列四个函数中,既是 (0, ) 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是
2

?




A

y ? sin x

B

y ?| sin x |

C

y ? cos x

D

y ?| cos x |

8.已知 a ? tan1 , b ? tan 2 , c ? tan 3 ,则 (
A


D b?a?c

a?b?c

B

c?b?a

C

b?c?a

1

9.已知 sin( ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值为(
6 3
A

?

1 2

B

1 3 1 ? 2

?


1 3

C

1 3

D

?

10. ? 是第二象限角,且满足 cos ? sin ? (sin ? cos )2 ,那么 是 (
2 2 2 2

?

?

?

?

? 2

)象

限角
A

第一

B 第二

C 第三

D

可能是第一, 也可

能是第三 11. 已 知 f ( x) 是 以 ? 为 周 期 的 偶 函 数 , 且 x ? [0, ] 时 , f ( x) ? 1 ? sin x , 则 当
2 5 x ? [ ? ,3? ] 时, 2

?

f ( x) 等于 (
A 1 ? sin x


B 1 ? sin x

C

?1 ? sin x

D ?1 ? sin x

12.函数 f ( x) ? M sin(?x ? ? )(? ? 0) 在区间 [a, b] 上是增函数, 且 f (a) ? ?M , f (b) ? M , 则 g ( x) ? M cos(?x ? ? ) 在 [a, b] 上 A 是增函数 值? M 二、填空题(每题 4 分,计 16 分) 13.函数 y ? tan( x ? ) 的定义域为 ___________ 。
?
3 1 2 14.函数 y ? 3 cos( x ? ? )( x ? [0, 2? ]) 的递增区间 __________ 2 3



) D 可以取得最小

B 是减函数

C 可以取得最大值 M

15.关于 y ? 3sin(2 x ? ) 有如下命题,1)若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 是 ? 的整数
4

?

倍, ②函数解析式可改为 y ? cos 3(2 x ? ) , ③函数图象关于 x ? ? 对称, ④函数图象
4
8

?

?

2

关于 点 ( , 0) 对称。其中正确的命题是 ___________
8

?

16. 若 函 数 f ( x) 具 有 性 质 : ① f ( x) 为 偶 函 数 , ② 对 任 意 x ? R 都 有
f ( ? x) ? f ( ? x) 4 4

?

?

则函数 f ( x) 的解析式可以是:___________(只需写出满足条件的一个解析式即 可) 三、解答题 17 (6 分) 将函数 y ? cos( x ? ) 的图象作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图
3

?

1 2

象?

19(10 分)设 a ? 0 , 0 ? x ? 2? ,若函数 y ? cos2 x ? a sin x ? b 的最大值为 0 , 最小值为 ? 4 ,试求 a 与 b 的值,并求 y 使取最大值和最小值时 x 的值。

20 (10 分) 已知: 关于 x 的方程 2x2 ? ( 3 ?1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? ,
? ? (0, 2? ) 。

求:⑴ 的值。

tan ? sin ? cos ? ? 的值; tan ? ? 1 1 ? tan ?

⑵ m 的值; ⑶方程的两根及此时 ?

3

一,答案:CBDCB BBCCC 13. x ? k? ? , k ? Z
6

BC
2 3

二、填空: 15. ② ④ 16. f ( x) ? cos 4 x 或

?

14. [ ? , 2? ]

f ( x) ?| sin 2 x |

三、解答题: 17.将函数 y ? 2 cos( x ? ) 图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐
3

?

1 2

3

?

1 标变为原来的一半,得到函数 y ? cos( x ? ) 的图象,再将图象向右平移 2 1 个单位,得到 y ? cos x 的图象 2

18.

4

a 2 a2 a y ? ?(sin x ? ) ? ? b ? 1,? ?1 ? sin x ? 1, a ? 0,? (1)当0 ? ? 1, 即0 ? a ? 2, 2 4 2 2 a a a a2 当 sin x ? ? , y max ? ? b ? 1 ? 0, 当sin x ? 1, y min ? ?(?1 ? ) 2 ? ? b ? 1 ? ?4, 2 4 2 4 ?a ? 2 ?? ?b ? ?2 a a a2 (2)当a ? 2时, ? 1,?当 sin x ? ?1时, y max ? ?(?1 ? ) 2 ? ? b ? 1 ? 0, 2 2 4 a a2 当 sin x ? 1, y min ? ?(1 ? ) 2 ? ? b ? 1 ? ?4, 解得a ? 2, b ? ?2不合题意,舍去 . 2 4 3 ? 综上:a ? 2, b ? ?2,当x ? ?时,y max ? 0;当x ? 时,y min ? ? ? 4 2 2
? 3 ?1 sin ? ? cos ? ? ? 2 19.⑴由题意得 ? ? m ?sin ? cos ? ? ? ? 2 ? tan ? sin ? cos ? sin 2 ? cos 2 ? ? ? ? tan ? ? 1 1 ? tan ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? 3 ?1 ? 2


3 ?1 2 3 ?1 2 ?1 ? 2sin ? cos ? ? ( ) 2 m sin ? cos ? ? 2 3 ?m ? ,? ? 4? 2 3 ? 0 2 sin ? ? cos ? ?



5

3 1 , x2 ? , 又? ? (0,2?) 2 2 ? 3 ?sin ? ? 1 sin ? ? ? ? 2 ? 2 或? ?? ? ?cos ? ? 1 ?cos? = 3 ? ? ? 2 ? 2 方程的两根为x1 ? ?? ?

?
3



?
6

高一年级 三角函数单元测试 一、选择题(10×5 分=50 分) 1 ( ) A.
3 2



sin 210 ?

B. ?

3 2

C. 1

2

D. ? 1

2

2.下列各组角中,终边相同的角是 ( ) A. ? 或 k ? ? C. k? ?
?
3
k 2

?
2

(k ? Z )

B. (2k ? 1)? 或 (4k ? 1)? (k ? Z ) D. k? ?
?
6

或 ?

k 3

(k ? Z )

或 k? ?

?
6

(k ? Z )

3.已知 cos ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是

6

( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角



4. 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2, 则这个圆心角所对的 弧长是 A.2 ( ) B.

2 C. 2 sin 1 D. sin 2 sin 1 x ? 5.为了得到函数 y ? 2sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x, x ? R 3 6

的图像上所 有 ( )
6





A.向左平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1 倍(纵坐标不变) 3

B.向右平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
6 1 倍(纵坐标不变) 3

C.向左平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
6

3 倍(纵坐标不变) D.向右平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
6

3 倍(纵坐标不变)
?? 6.设函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? ( x ? R) ,则 f ( x) ? 3?

7


? 3


6 ? ?? ? ? 上是减 B.在区间 ? ? ??, ? 2?

2? 7 ? ? A.在区间 ? ? , ? 上是增函数

函数
? ?? C.在区间 ? ? , ? 上是增函数 ?8 4? ? 5? ? D.在区间 ? ? , ? 上是减 ?3 6 ?

函数 7.函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? , x ? R) 的部分图象如图所示,则函数
2

?

8. 函数 y ? sin(3x ? 心是 ( )

? ? 8 4 ? ? C. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 ?
4

A. y ? ?4 sin( x ? )

? ? 8 4 ? ? D. y ? 4 sin( x ? ) 8 4

B. y ? 4 sin( x ? )

) 的图象是中心对称图形 ,其中它的一个对称中

8

A D.

. ? ? ,0? ? 12 ?

?

?

?

B .

? 7 ? ? ? ? , 0? ? 12 ?

C .

? 7 ? ? ? , 0? ? 12 ?

? 11 ? ? ? , 0? ? 12 ?

9 . 已 知 f ?1? cos x ? ? cos2 x , 则 f ( x) 的 图 象 是 下 图 的 ( )

A D

B

C

10. 定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? , 当 x ??3, 4? 时,f ? x ? ? x ? 2 , 则 (
?


2? ? 2?

1? 1? ? A. f ? ? sin ? ? f ? cos ?

?? ?? ? B. f ? ? sin ? ? f ? cos ?
? 3? ? 3? 3? 3? ? D. f ? ? sin ? ? f ? cos ? 2 2 ? ? ? ?

C. f ?sin1? ? f ? cos1? 二、填空题(4×5 分=20 分)

11. 若 cos? ? 2 ,? 是第四象限角,则 sin(? ? 2? ) ? sin(?? ? 3? )cos(? ? 3? ) =___
3

12.若 tan ? ? 2 ,则 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 3cos2 ? ? ___________

9

? ? 13.已知 sin ? ? ?? ? ?
?4 ?

3 2

3? ? ? ? ? 值为 ,则 sin ? ? ? 4 ?

14 . 设 f ? x ? 是 定 义 域 为 R , 最 小 正 周 期 为 3? 的 周 期 函 数 , 若
2
? ?cos x f ? x? ? ? ?sin x ? ? ? ? ? ? ? x ? 0? ? 2 ? 0 ? x ? ? ? ?
? ? ? ____________ ?

则f? ??

15? ? 4

(请将选择题和填空题答案填在答题卡上)

一、选择题(10×5 分=50 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(4×5 分=20 分)

11 . __________ 14.__________

12 . __________

13 . __________

三、解答题

10

15 . (本小题满分 12 分)已知 A? ?2, a ? 是角 ? 终边上的一点,且
sin ? ? ? 5 5



求 cos? 的值.

1 ? 16. (本小题满分 12 分)若集合 M ? ? ?? sin ? ? , 0 ? ? ? ? ? , ? 2 ? 1 ? ? N ? ?? cos ? ? , 0 ? ? ? ? ? ,求 M 2 ? ?

N.

11

17. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的方程 2 x2 ? ? 3 ? 1? x ? m ? 0 的两 根为 sin ? 和 cos ? : (1)求
1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? 的值; 1 ? sin ? ? cos ?

(2)求 m 的值.

12

? 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 2 ? ?

?

的 图 象 在 y 轴 上 的 截 距 为 1 , 在 相 邻 两 最 值 点 ? x0 , 2? ,
3 ? ? ? x0 ? , ?2 ? ? x0 ? 0 ? 上 f ? x ? 分别取得最大值和最小值. 2 ? ?

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2) 若函数 g ? x ? ? af ? x ? ? b 的最大和最小值分别为 6 和 2, 求 a, b 的 值.

13

19. (本小题满分 14 分)已知 sin x ? sin y ? ,求 ? ? sin y ? cos2 x 的最值.

1 3

14

高一年级

15

三角函数单元测试答案

一、选择题(10×5 分=50 分)

1 D

2 B

3 C

4 B

5 C

6 A

7 A

8 B

9 C

10 C

二、填空题(4×5 分=20 分)

11. ?

5 9



12. 11 ;
5

13.

3 2



14.

2 2

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 已知 A? ?2, a ? 是角 ? 终边上的一点, 且 sin ? ? ? 求 cos? 的值. 解: r ? 4 ? a2 ,?sin ? ? a ?
r a a ?4
2

5 5



??

5 5

, .

? a ? ?1 , r ? 5 ,? cos ? ?

x ?2 2 5 ? ?? r 5 5

1 ? 16. (本小题满分 12 分)若集合 M ? ? ?? sin ? ? , 0 ? ? ? ? ? , ? 2 ? 1 ? ? N ? ?? cos ? ? , 0 ? ? ? ? ? ,求 M 2 ? ?

N.

y
5? 6 1

? 3

?

16

解:如图示,由单位圆三角函数线知,
5? ? ? ? ? ? ? M ? ?? ? ? ? ? , N ? ?? ? ? ? ? ? 6 ? ? 6 ? 3 ?

由此可得 M N ? ? ??
?

?
3

?? ?

5? ? ?. 6 ?

17. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的方程 2 x2 ? ? 3 ? 1? x ? m ? 0 的两 根为 sin ? 和 cos ? : (1)求
1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? 的值; 1 ? sin ? ? cos ?

(2)求 m 的值. 解:依题得: sin ? ? cos ? ? ∴(1)
m 3 ?1 , sin ? ? cos ? ? ; 2 2

1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? 3 ?1 ; ? sin ? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? cos ? 2

(2) ?sin? ? cos? ?2 ? 1 ? 2sin? ? cos?
? 3 ?1 ? m ∴? ? 2 ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ?
2

∴m ?

3 . 2

? 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 2 ? ?

?

的 图 象 在 y 轴 上 的 截 距 为 1 , 在 相 邻 两 最 值 点 ? x0 , 2? ,

17

3 ? ? ? x0 ? , ?2 ? ? x0 ? 0 ? 上 f ? x ? 分别取得最大值和最小值. 2 ? ?

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2) 若函数 g ? x ? ? af ? x ? ? b 的最大和最小值分别为 6 和 2, 求 a, b 的 值. 解: (1)依题意,得
T 3 3 2? 2? ? x0 ? ? x0 ? ,?T ? 3 ? ,?? ? 2 2 2 ? 3

最大值为 2,最小值为-2,? A ? 2
? 2? ? ? y ? 2sin ? x ?? ? ? 3 ?

图象经过 ? 0,1? ,? 2sin ? ? 1 ,即 sin ? ? 又
? ? ?
2 ?? ?

1 2

?
6

,? f ? x ? ? 2sin ? ?

2? ?? x? ? 6? ? 3

(2) f ? x ? ? 2sin ? ?

2? ?? x ? ? ,??2 ? f ? x ? ? 2 6? ? 3

??2a ? b ? 6 ??2a ? b ? 2 或? ?? ?2a ? b ? 2 ?2a ? b ? 6

解得, ?

?a ? ?1 ?a ? 1 或? . ?b ? 4 ?b ? 4
1 3

19. (本小题满分 14 分)已知 sin x ? sin y ? ,求 ? ? sin y ? cos2 x 的最值. 解: sin x ? sin y ? .
1 ? sin y ? ? sin x, 3 1 1 ? y ? sin y ? cos 2 x ? ? sin x ? cos 2 x ? ? sin x ? ?1 ? sin 2 x ? 3 3 1 3

18

2 ? 1 ? 11 ? sin x ? sin x ? ? ? sin x ? ? ? , 3 ? 2 ? 12
2

2

1 ?1 ? sin y ? 1,??1 ? ? sin x ? 1, 3 2 解得 ? ? sin x ? 1 , 3 2 4 ? 当 sin x ? ? 时, ?max ? , 3 9 1 11 当 sin x ? 时, ?min ? ? . 2 12

专题三 一、选择题

三角函数专项训练

0 0 0 0 1. sin 163 sin 223 ? sin 253 sin 313 的值为(


3 D. 2

A.

?

1 2

1 B. 2

C.

?

3 2

cos 2? 2 ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4 ? ? 2.若 ,则 cos ? ? sin ?

的值为(



19

A.

?

7 2

B.

?

1 2

1 C. 2

D.

7 2

3.将

?x π? ? π ? y ? 2 cos ? ? ? a ? ?? , ? 2? 3 6 4 ? ? 的图象按向量 ? ? 平移,则平移后所得图象

的解析式为(


? x π? y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? B. ?x π ? y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? D.

?x π? y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? A. ?x π ? y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? C.

4. 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量
b ? (1, ? 1) 的夹角为 ?
5 A. 12 1 B. 2

,则

? ? ? 0, ?

? ?

?? ? ? 的概率是(
5 D. 6



7 C. 12

5.已知 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( 21 世纪教育网 ☆



( ,0) A.关于点 3 对称

?

B.关于直线 D.关于直线

x?

?
4

对称 对称
? 2 )的最小正周期

( ,0 ) C.关于点 4 对称

?

x?

?
3

6.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , 是 ? ,且 f (0) ? 3 ,则( )

? ?

20

A.

? ? ,? ?

1 2

? 6

B.
? 3

? ? ,? ?

1 2

? 3

C.

? ? 2,? ?

? 6

D.

? ? 2,? ?

7. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2), 当 x∈[3, 5]时, f(x)=2 -|x-4|,则( A . C. ) B . f(sin1)>f(cos1)

? ? f(sin 6 )<f(cos 6 )
2? )<f(sin 3

2? f(cos 3

)

D. f(cos2)>f(sin2)

? 8. 将函数 y=f(x) sinx 的图像向右平移 4 个单位后,再作关于 x 轴

对称图形,得到函数
2 y=1- 2 sin x 的图像.则 f(x)可以是(

) (D)2sinx

(A)cosx 二、填空题

(B)sinx

(C)2cosx

9.(07 江苏 15)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和
C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆
sin A ? sin C x2 y2 ? ? ?1 25 9 上,则 sin B
cos? ? cos ? ? b, ab ? 0

. , 则

10.





sin? ? sin ? ? a,

cos ?? ? ? ?

=_______________。
?
2 cos 2 ? ? 1

2 tan( ? ? ) ? sin 2 ( ? ? ) 4 4 11.化简 的值为__________________.

?

21

12. 已 知

sin( ? 2? ) 2 3 sin? ? ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), cos(? ? ? )

?



θ

的 值 为

________________. 三、解答题 21 世纪教育网 ☆

sin? cos? ? 2 cos2 ? ? 0,? ?[ , ? ], 求 sin(2? ? ) 2 3 的值. 13.已知 6 sin ? ?
2

?

?

2 14.设 f ( x) ? 6cos x ? 3 sin 2x . (1)求 f ( x) 的最大值及最小正周期;

(2)若锐角 ? 满足

4 tan ? f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 5 的值.

,x ? R . 15..已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1

? π 3π ? ? , ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 ? 8 4 ? 上的最

小值和最大值.

22

16. 设 锐 角 三 角 形 ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c ,
a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围.

23

专题三

三角函数专项训练参考答案

一、选择题 1. sin163
0

0 0 0 0 sin 2230 ? sin 2530 sin 3130 ? sin17 (? sin 43 ) ? (? sin 73 )(? sin 47 )

? ? sin 17 0 sin 43 00 ? cos 17 0 cos 43 0 ? cos(17 0 ? 43 0 ) ? cos 60 0 ?

1 2

cos2 a ? sin 2 a 2 (sin a ? cos a) 2.原式可化为 2

??

2 2

,化简,可得

sin a ? cos a ?

1 2 ,故选

C.

命题立意:本题主要考查三角函数的化简能力.
? ? ? x ? x? ? , 4 ? x ? x? ? y ? 2 cos( ? ) y? ? 2 cos( ? ) ? 2 ? y ? y? ? 2 3 6 ? 3 4 3.将 代入 得平移后的解析式为 .

故选 A.命题立意:本题考查向量平移公式的应用. 4.∵
cos? ? a ?b ? ab , ? ? (0, ) 2 m ?n ? 2 ,∴只需 m ? n ? 0 即可,即 m ? n ,
2 2

m?n

?

36 ? 6 ?6 21 7 P? 2 ? ? 6?6 36 12 .故选 ∴概率

C.
?
3

命题立意:本题考查向量的数量积的概念及概率. 5.由题意知 ? ? 2 ,所以解析式为
f ( x) ? sin(2 x ? )

.21 世纪教育网



( ,0 ) 经验许可知它的一个对称中心为 3 .故选

?

A

命题立意:本小题主要考查三角函数的周期性与对称性.
2?

6.

?

??

,∴ ? ? 2 .又∵ f (0) ? 3 ,∴

3 ? 2 sin? .∵

? ?

?
2

,∴

??

?
3

.故选

24

D 命题立意:本题主本考查了三角函数中周期和初相的求法. 7.由题意知,f(x)为周期函数且 T=2,又因为 f(x)为偶函数,所以该 函数在[0, 1]为减函数,在[ ?1 , 0]为增函数 , 可以排除 A、 B、 C, 选 D. 【点评】由 f(x)=f(x+T)知函数的周期为 T,本题的周期为 2, 又因为 f(x)为偶函数,从而可以知道函数在[0,1]为减函数,在[ ?1 ,0]为增 函数.通过自变量的比较,从而比较函数值的大小.
2 8.可以逆推 y=1-2 sin x =cos2x,关于 x 轴对称得到 y=-cos2x , 向

? 左 平 移 4 个 单 位 得 到 ? cos(2x+ 2 )=sin2x=2sinxcosx

? y= - cos2(x+ 4 )



y= -

? f(x)=2cosx

选(C)

点评: 本题考查利用倍角公式将三角式作恒等变形得到 y=cos2x,再作 关于 x 轴对称变换,将横坐标不变,纵坐标变为相反数, 得到
y ? ? cos 2 x ,再左 4 平移.,通过逆推选出正确答案.
?

二、填空题 9.解析: (1) A、 C
sin A ? sin C AB ? BC ? AC , 恰为此椭圆焦点, 由正弦定理得: sin B

sin A ? sin C 5 ? 4. 又由椭圆定义得 AB ? BC ? 2a ? 10, AC ? 2c ? 8 ,故 sin B

10.解析: 设法将已知条件进行变形, 与欲求式发生联系, 然后进行

25

求值。 将已知二式两边分别平方, 得
sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? sin 2 ? ? a2 cos2 ? ? 2cos ? cos ? ? cos2 ? ? b2

以上两式相加得



cos?? ? ? ? ?

2 ? a2 ? b2 2
cos 2?
? cos 2? 2 sin( ? ? ) cos( ? ? ) 4 4 ? cos 2? ?1 cos 2?

2 tan( ? ? ) sin2 [ ? ( ? ? )] 4 2 4 11.解析:原式=

?

?

?

?

?

【点评】直接化简求值类型问题解决的关键在于抓住运算结构中角度 关系(统一角) 、函数名称关系(切割化弦等统一函数名称) ,并准确 而灵活地运用相关三角公式. 12.解析:由已知条件得: 解得
sin? ? 3 或 sin? ? 0 2 .由
3 sin? ? cos 2? ? cos? ? 1 2 ? cos? .即 3 sin? ? 2 sin ? ? 0 .

0<θ <π 知

sin? ?

3 2

,21 世纪教育网



从而

??

?
3

或? ?

2? 3

三、解答题 13.解析:本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形

26

等基础知识和基本运 算技能. 方法一:由已知得: (3 sin? ? 2 cos? )(2 sin? ? cos? ) ? 0
? 3 sin ? ? 2 cos ? ? 0或2 sin ? ? cos ? ? 0

由已知条件可知
?

cos? ? 0, 所以? ?

?
2

? 2 , 即? ? ( , ? ). 于是 tan? ? 0,? tan? ? ? . 2 3

sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin 3 3 3

?

?

3 sin ? cos? 3 cos2 ? ? sin 2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? ? ? 2 2 cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? tan? 3 1 ? tan2 ? ? ? ? . 2 1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? ? sin ? cos? ?
2 将 tan? ? ? 代入上式得 3

2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 ? 3 3 3 ? ? 6 ? 5 3.即为所求 sin(2? ? ) ? ? ? ? 2 2 3 2 13 26 1 ? (? ) 2 1 ? (? ) 2 3 3

方法二:由已知条件可知

cos? ? 0, 则? ?

?

2

, 所以原式可化为

6 tan2 ? ? tan? ? 2 ? 0.即(3 tan? ? 2)(2 tan? ? 1) ? 0. ? 2 又 ? ? ? ( , ? ),? tan? ? 0.,? tan? ? ? .下同解法一 . 2 3

【点评】条件求值问题一般需先将条件及结论化简再求值,要注意 “三统一”观,优先考虑从角度入手. 14.解: (1)
f ( x) ? 6 ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

? 3 ? 1 ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ? 2 6? ? ? ? . 故 f ( x) 的 最 大 值 为

2 3 ?3;

27

最小正周期

T?

2? ?? 2 .21 世纪教育网



(2)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 又由
0 ?? ?

?? ? ?? ? 2 3 cos ? 2? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 cos ? 2? ? ? ? ?1 6 6? ? ? ,故 ? .

? ? ? ? ? 5 ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? ? ?? ? 6 6 ,故 6 2得6 12 ,解得 .

4 ? tan ? ? tan ? 3 3 从而 5 .

解析:本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角 差公式、倍角公式、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本 运算能力.
π? ? f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? 4?. ? (1)

因此,函数 f ( x) 的最小正周期为 π . (2)解法一:因为
? 3π 3π ? ? , ? 间 ?8 4?

? π 3π ? π? ? , f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 ? 在区间 ? ?8 8 ? ? 上为增函数,在区 ?
?π? f ? ??0 ?8? , ? 3π ? f ? ?? 2 ? 8 ?

上 为 减 函 数 , 又



π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 4 ? 4 ? ? 2 4? , ? π 3π ? , ? ? f ( x ) 8 4 ? 上的最大值为 2 ,最小 ? 故函数 在区间

值为 ?1 .

28

π? ? ? π 9π ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4 ? 在长度为一个周期的区间 ? ? ?8 4 ? ?上 解法二: 作函数

的图象如下:
? π 3π ? , ? ? f ( x ) 8 4 ? 上的最大值为 ? 由图象得函数 在区间

2 ,最小值为

? 3π ? f ? ? ? ?1 ? 4 ? .

16. 解: ( 1 )由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以
sin B ? 1 2, B? π 6.

由 △ ABC 为锐角三角形得

? ? ? ?? ? cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ? (2) ?? ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? 3?. ? 2 2
? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?B? ? ? ?A? ?B ? A? ? 2 2 6 3 .3 2 2 3 6, 由 △ ABC 为锐角三角形知, ,

1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3 2 3 2 2 3 2 ? ? ? ? 所以 .由此有 ,
? 3 3? ? ? ? 2 , 2? ? ?. cos A ? sin C 所以, 的取值范围为

w.w.^w.k.s.5*u.c.#o@m

29

21 世纪教育网



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