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2015解步步高大一轮讲义(理)9.6


§ 9.6

双曲线

1. 双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1 、F 2(|F1 F 2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a (2a<2c),则 点 P 的轨迹叫双曲线. 这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距. 集合 P ={M|||MF 1 |-|MF2 ||=2a},|F 1F 2 |=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0: (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 a>c 时,P 点不存在. 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x y - =1 a2 b2 (a>0,b>0)
2 2

y x - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

2

2

图形

范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R 对称轴:坐标轴 对称中心:原点

x∈R,y≤-a 或 y≥a

A 1 (-a, 0),A2 (a, 0) b y=± x a

A 1 (0,-a),A 2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2 +b2 a 线段 A 1A 2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1 A 2|=2a;线段 B1 B 2 叫做双曲线的

实虚轴

虚轴,它的长|B 1 B2 |=2b;a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线的半虚 轴长

a、 b、 c 的关系

c2 =a2 +b2 (c>a>0,c>b>0)

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点 F 1 (0,4),F 2 (0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( x y (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线. m n
2 2

× ) × )

(

x2 y2 x2 y2 x y (3)双曲线方程 2 - 2 =λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 2 - 2 =0,即 ± =0.( m n m n m n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.
2 2 2 2

√ ) √ )

(

x y x y 1 1 (5)若双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)与 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1 ,e2 ,则 2 + 2 = a b b a e1 e2 1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线). ( √ ) x2 y2 2. 若双曲线 2- 2 =1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率 a b 为 A. 5 答案 解析 =c , c ∴离心率 e= = 5. a x2 2 3.(2013· 福建)双曲线 -y =1 的顶点到其渐近线的距离等于 4 A. 2 5 C 1 2 2 5 双曲线的顶点(2,0)到渐近线 y=± x 的距离 d= = . 2 5 5
2 2 2 2 2

( B.5 A C. 2 D.2

)

b bc 焦点(c, 0)到渐近线 y= x 的距离为 =2a,解得 b=2a,又 a2 +b2 =c2 ,∴5a2 2 2 a a +b

(

)

B.

4 5

C.

2 5 5

D.

4 5 5

答案 解析

x y x y 4.(2012· 天津)已知双曲线 C1 : 2 - 2 =1(a>0,b>0)与双曲线 C2 : - =1 有相同的渐近线, a b 4 16 且 C1 的右焦点为 F ( 5,0),则 a=________,b=________. 答案 解析 1 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 与双曲线 - =1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 - =λ,即 - =1. 4 16 4 16 4λ 16λ

1 2 2 由题意知 c= 5,则 4λ+16λ=5?λ= ,则 a =1,b =4. 4 又 a>0,b>0,故 a=1,b=2.

5.(2012· 辽宁)已知双曲线 x2 -y2 =1,点 F 1 ,F 2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF 1 ⊥PF 2 ,则|PF 1 |+|PF 2|的值为________. 答案 解析 2 3 设 P 在双曲线的右支上,|PF2 |=x(x>0),|PF1 |=2+x,因为 PF1 ⊥PF 2 ,所以(x+2)2

+x2 =(2c)2 =8, 所以 x= 3-1,x+2= 3+1, 所以|PF 2|+|PF 1 |=2 3.

题型一 例1

双曲线的定义及标准方程 x2 y2 x2 y2 (1)已知双曲线 2 - 2 =1 (a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心 a b 16 9

率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. (2)与双曲线 x -2y =2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程为__________. (3)已知圆 C1 :(x+3) +y =1 和圆 C2 :(x-3) +y =9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外 切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为________. 思维启迪 x2 y2 设双曲线方程为 2 - 2 =1,求双曲线方程,即求 a、b,为此需要关于 a、b 的 a b
2 2 2 2 2 2

两个方程,由题意易得关于 a、b 的两个方程;也可根据双曲线的定义直接确定 a、b、c; 根据双曲线的定义求轨迹方程.(注意条件) 答案 x y (1) - =1 4 3
2 2 2 2

y x (2) - =1 2 4

y2 (3)x2 - =1(x≤-1) 8 解析 x2 y2 7 (1)椭圆 + =1 的焦点坐标为 F 1(- 7,0),F 2 ( 7,0),离心率为 e= . 由于双 16 9 4

x2 y2 x2 y2 曲线 2 - 2 =1 与椭圆 + =1 有相同的焦点,因此 a2 +b2 =7. a b 16 9 又双曲线的离心率 e= a2 +b2 7 7 2 7 = ,所以 = , a a a 4

x2 y2 所以 a=2,b2 =c2 -a2 =3,故双曲线的方程为 - =1. 4 3 x x 2 (2)设与双曲线 -y2 =1 有公共渐近线的双曲线方程为 -y2 =k , 将点(2, -2)代入得 k = 2 2 2 -(-2)2 =-2. y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 4
2 2 2

(3)如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B . 根据两圆外切的条件, 得|MC1 |-|AC1|=|MA|, |MC2 |-|BC2|=|MB|, 因为|MA |=|MB |, 所以|MC1 |-|AC1|=|MC2 |-|BC2 |, 即|MC2 |-|MC1 |=|BC2 |-|AC1 |=2, 所以点 M 到两定点 C1 、C2 的距离的差是常数且小于|C1 C2 |. 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距 离小), 其中 a=1,c=3,则 b2 =8. y2 故点 M 的轨迹方程为 x2 - =1(x≤-1). 8 思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法. 待定系数法具体过程

是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之 间的关系,求出 a,b 的值. 如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用 x y 有公共渐近线的双曲线方程为 2 - 2 =λ (λ≠0),再由条件求出 λ 的值即可. 利用定义时,要 a b 特别注意条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线,还是双曲线的一支. x2 y2 (1)(2012· 湖南)已知双曲线 C: 2 - 2 =1 的焦距为 10, 点 P(2,1)在 C 的渐近线 a b 上,则 C 的方程为 A. C. x y - =1 20 5 x2 y2 - =1 80 20
2 2 2 2

( x y B. - =1 5 20 D. x2 y2 - =1 20 80
2 2

)

5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的 13 两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 x y A. 2- 2 =1 4 3 x2 y2 C. 2 - 2=1 3 4 答案 解析
2 2 2

(

)

B.

x y 2 - 2=1 13 5 x2 y2 - =1 132 122

2

2

D.

(1)A (2)A (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解. ①

x y2 ∵ 2 - 2 =1 的焦距为 10,∴c=5= a2 +b2 . a b

b 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P (2,1) 在渐近线上, a 2b ∴ =1,即 a=2b. a x2 y2 由①②解得 a=2 5,b= 5,则 C 的方程为 - =1,故应选 A. 20 5 (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F 1 (-5,0), F 2(5,0), 设曲线 C2 上的一点 P , 则||PF1 |-|PF 2|| =8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. x y 故曲线 C2 的标准方程为 2 - 2=1. 4 3 题型二 例2 双曲线的几何性质 x2 2 (1)(2013· 浙江)如图,F 1 ,F 2 是椭圆 C1 : +y =1 与双曲线 C2 4
2 2



的公共焦点,A ,B 分别是 C1 ,C2 在第二、四象限的公共点. 若四边 形 AF1 BF 2 为矩形,则 C2 的离心率是 A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 6 2 ( )

x2 2 (2)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2 -y =1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支 a → → 上的任意一点,则OP · FP的取值范围为 A.[3-2 3,+∞) 7 C.[- ,+∞) 4 思维启迪 B.[3+2 3,+∞) 7 D.[ ,+∞) 4 ( )

(1)求圆锥曲线的离心率 e,可以求出 a,c 的关系式,进而求出 e.

(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围,一定要注意圆锥曲线本身的 x,y 的取值范围. 答案 解析 (1)D (2)B x2 y2 (1)|F1 F 2|=2 3. 设双曲线的方程为 2 - 2 =1. a b

∵|AF 2|+|AF 1 |=4,|AF2 |-|AF 1 |=2a, ∴|AF 2|=2+a,|AF 1 |=2-a. 在 Rt△F 1 AF 2 中,∠F1 AF 2 =90° , ∴|AF 1|2 +|AF 2|2 =|F 1 F2 |2 , 即(2-a)2 +(2+a)2 =(2 3)2 , c 3 6 ∴a= 2,∴e= = = . 故选 D. a 2 2 (2)由条件知 a2 +1=22 =4,∴a2 =3,

x2 2 ∴双曲线方程为 -y =1, 3 → → 设 P 点坐标为(x,y),则OP =(x,y),FP=(x+2,y), x2 ∵y2 = -1, 3 x → → 2 2 2 ∴OP · FP=x +2x+y =x +2x+ -1 3 4 4 3 7 = x2 +2x-1= (x+ )2 - . 3 3 4 4 又∵x≥ 3(P 为右支上任意一点), → → ∴OP · FP≥3+2 3. 故选 B. 思维升华 在研究双曲线的性质时,半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一
2

c 个重要内容; 双曲线的离心率涉及的也比较多. 由于 e= 是一个比值, 故只需根据条件得到 a 关于 a、b、c 的一个关系式,利用 b2 =c2 -a2 消去 b,然后变形求 e,并且需注意 e>1. 同时 注意双曲线方程中 x,y 的范围问题. x y 5 (1)(2013· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 a b 2 C 的渐近线方程为 1 A. y=± x 4 1 C. y=± x 2
2 2 2 2

( 1 B. y=± x 3 D. y=± x

)

x y (2)过双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A ,与另一 a b → → 条渐近线交于点 B ,若FB=2FA,则此双曲线的离心率为 A. 2 答案 解析 B. 3 (1)C (2)C c 5 (1)由 e= = 知,a=2k ,c= 5k(k ∈R+ ), a 2 C.2 D. 5 ( )

b 1 2 2 2 2 由 b =c -a =k 知 b=k. 所以 = . a 2 1 即渐近线方程为 y=± x. 故选 C. 2

→ → (2)如图,∵FB=2FA, ∴A 为线段 BF 的中点, ∴∠2=∠3. 又∠1=∠2,∴∠2=60° , b ∴ =tan 60° = 3, a b2 2 ∴e =1+( ) =4,∴e=2. a 题型三 例3 直线与双曲线的位置关系 已知双曲线 C:x2 -y2 =1 及直线 l:y=kx-1.

(1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A ,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值. 思维启迪 系求解. 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点, 本题主要考查直线与双曲线的位置关系,解题关键是联立方程用根与系数的关

2 2 ? ?x -y =1, ? 则方程组 有两个不同的实数根, ?y=kx-1 ?

整理得(1-k 2)x2 +2kx-2=0.
2 ? ?1-k ≠0, ∴? 2 2 ?Δ=4k +8?1-k ? >0, ?

解得- 2<k < 2且 k ≠± 1. 双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点 A (x1 ,y1 ),B (x2 ,y2), 直线 l 与 y 轴交于点 D(0,-1), 由(1)知,C 与 l 联立的方程为(1-k 2)x2 +2kx-2=0. -2k ? x +x = , ? 1-k ∴? -2 xx= . ? ? 1-k
1 2 2 1 2 2

当 A ,B 在双曲线的一支上且|x1 |>|x2 |时, 1 1 S△OAB =S△OAD -S△OBD = (|x1 |-|x2 |)= |x1 -x2 |; 2 2 当 A ,B 在双曲线的两支上且 x1>x2 时, 1 1 S△OAB =S△ODA +S△OBD = (|x1 |+|x2 |)= |x1 -x2 |. 2 2

1 ∴S△OAB = |x1 -x2 |= 2, 2 ∴(x1 -x2 )2 =(2 2)2 , 即( -2k 2 8 6 )+ =8,解得 k =0 或 k =± . 1-k 2 1-k 2 2

又∵- 2<k < 2,且 k ≠± 1, 6 ∴当 k =0 或 k =± 时,△AOB 的面积为 2. 2 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法: 将直线方程代入双曲线方程, 消元,

得关于 x 或 y 的一元二次方程. 当二次项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支上一点, 这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判别式 Δ 来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A 、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围. 解 x2 y2 (1)设双曲线 C 的方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0). a b

由已知得:a= 3,c=2,再由 a2 +b2 =c2 ,得 b2 =1, x2 ∴双曲线 C 的方程为 -y2 =1. 3 (2)设 A (xA ,yA )、B (xB ,yB), x2 将 y=kx+ 2代入 -y2 =1, 3 得,(1-3k 2)x2 -6 2kx-9=0.

?Δ=36?1-k ?>0, ? 由题意知 x +x = 6 2k <0, ? 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2 A B 2 A B 2

1-3k 2 ≠0,

解得 ∴当

3 <k <1. 3 3 <k <1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3

6 2k (3)由(2)得:xA +xB = , 1-3k 2

∴yA +yB =(kxA + 2)+(kxB + 2) 2 2 =k (xA +xB)+2 2= . 1-3k 2 3 2k 2 ∴AB 的中点 P 的坐标为( 2, 2). 1-3k 1-3k 1 设直线 l0 的方程为:y=- x+m, k 4 2 将 P 点坐标代入直线 l0 的方程,得 m= . 1-3k 2 ∵ 3 <k <1,∴-2<1-3k 2 <0. 3

∴m<-2 2. ∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).

忽视“判别式”致误 y2 2 典例: (12 分)已知双曲线 x - =1, 过点 P (1,1)能否作一条直线 l, 与双曲线交于 A 、 B 两点, 2 且点 P 是线段 AB 的中点? 易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法,在解决直线

与圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑判别式,致使有的考生思维定势的原因,任何 情况下都没有考虑判别式,导致解题错误. 规范解答 解 设点 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2 )在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0 ,y0),

若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意. [2 分] 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k (x-1), 即 y=kx+1-k . [3 分] y=kx+1-k , ? ? 2 2 2 2 由? 2 y2 得(2-k )x -2k (1-k )x-(1-k ) -2=0 (2-k ≠0). ① [6 分] x - = 1 , ? ? 2 ∴x0 = x1 +x2 k ?1-k ? = 2 . 2 2-k

k ?1-k ? 由题意,得 =1,解得 k =2. [8 分] 2- k 2 当 k =2 时,方程①成为 2x -4x+3=0. Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解. [11 分] ∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A ,B 两点,且点 P (1,1)是线段 AB 的中点. [12 分]
2

温馨提醒

(1)本题是以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思

路也很清晰,但结论却不一定正确. 错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而 导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的. (2)本题属探索性问题. 若存在,可用点差法求出 AB 的斜率,进而求方程;也可以设斜率 k , 利用待定系数法求方程. (3)求得的方程是否符合要求,一定要注意检验.

方法与技巧 x2 y2 x2 y2 1. 与双曲线 2- 2 =1 (a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为 2 - 2 =t (t≠0). a b a b 2. 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中 “1” 为 x2 y2 x2 y2 “0”就得到两渐近线方程,即方程 2 - 2 =0 就是双曲线 2 - 2=1 (a>0,b>0)的两条渐近 a b a b 线方程. 失误与防范 1. 区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中的 a,b,c 大小关系,在椭圆中 a =b +c ,而 在双曲线中 c2 =a2 +b2. 2. 双曲线的离心率 e∈(1,+∞),而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 3. 双曲线 2- 2 =1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2 - 2 =1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 a b a a b a y=± x. b 4. 若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. 5. 直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与 双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个 交点.
2 2 2

A组

专项基础训练

(时间:40 分钟) 一、选择题 x2 y2 1.(2013· 北京)若双曲线 2 - 2 =1 的离心率为 3,则其渐近线方程为 a b A. y=± 2x 1 C. y=± x 2 答案 解析 B 由 e= 3,知 c= 3a,得 b= 2a. B. y=± 2x D. y=± 2 x 2 ( )

b ∴渐近线方程为 y=± x,y=± 2x. a π x2 y2 y2 x2 2.(2013· 湖北)已知 0<θ< , 则双曲线 C1 : 2 - 2 =1 与 C2 : 2 - 2 =1 的( 4 cos θ sin θ sin θ sin θtan2 θ A. 实轴长相等 C. 焦距相等 答案 解析 D 双曲线 C1 :e 1=
2

)

B. 虚轴长相等 D. 离心率相等

sin2 θ+cos2 θ 1 = 2 , cos2 θ cos θ

双曲线 C2 :e2 2=

sin2 θ+sin2 θtan2 θ 1 =1+tan2 θ= 2 , 2 sin θ cos θ

∴C1 ,C2 离心率相等. 3. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A ,B 两点,|AB | 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 A. 2 答案 解析 B x2 y2 设双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0),由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称 a b B. 3 C.2 D.3 ( )

2 x2 y2 b4 2 2 c 轴垂直,因此直线 l 的方程为 l:x=c 或 x=-c,代入 2 - 2 =1 得 y =b ( 2 -1)= 2 ,∴y a b a a 2 2 2 2 c -a b 2b 2b b =± ,故|AB|= ,依题意 =4a,∴ 2 =2,∴ 2 =e2 -1=2,∴e= 3. a a a a a 2 2

4. 以椭圆

x2 y2 x2 y2 + =1 的右焦点为圆心,且与双曲线 - =1 的渐近线相切的圆的方程是 169 144 9 16 ( )

A. x2 +y2 -10x+9=0 C. x +y +10x+9=0 答案 解析 A
2 2

B. x2 +y2 -10x-9=0 D. x +y +10x-9=0
2 2

20 由于右焦点(5,0)到渐近线 4x-3y=0 的距离 d= =4, 5

所以所求的圆是圆心坐标为(5,0),半径为 4 的圆. 即圆的方程为 x2 +y2 -10x+9=0. x2 y2 5. 已知点 F 是双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直 a b 于 x 轴的直线与双曲线交于 A 、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) 答案 解析 B b b 由题意易知点 F 的坐标为(-c, 0),A (-c, ),B (-c,- ),E (a, 0), a a
2 2

( B.(1,2) D.(2,1+ 2)

)

→ → 因为△ABE 是锐角三角形,所以EA· EB>0, b b → → 即EA· EB=(-c-a, )· (-c-a,- )>0, a a 整理得 3e2 +2e>e4 ,∴e(e3 -3e-3+1)<0, ∴e(e+1)2 (e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1, ∴e∈(1,2),故选 B. 二、填空题 6. 已知双曲线的渐近线方程为 x± 2y=0, 且双曲线过点 M(4, 3), 则双曲线的方程为________. 答案 解析 x -y2 =1 4 x ∵双曲线过点 M(4, 3),M 在 y= 下方, 2
2 2 2 2 2

∴双曲线焦点在 x 轴上, x y b 1 设双曲线方程为 2 - 2 =1,又 = , a b a 2 x2 y2 因此设 a=2k ,b=k (k >0),∴ 2- 2=1, 4k k 代入 M(4, 3)解得 k =1,a=2,b=1, x2 ∴方程为 -y2 =1. 4 x2 y2 7. 已知双曲线 - =1 的离心率是 3,则 n=________. n 12-n 答案 4

解析
2

根据双曲线方程得 n(12-n)>0,∴0<n<12,
2 2 2 2

∴a =n,b =12-n,c =a +b =12, c 12 则双曲线的离心率 e= = = 3,∴n=4. a n x y 8.(2013· 湖南)设 F 1 , F 2 是双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的两个焦点, P 是 C 上一点,若|PF 1 | a b +|PF 2|=6a 且△PF 1F 2 的最小内角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为________. 答案 解析 3 不妨设|PF 1|>|PF 2 |,
2 2

则|PF 1|-|PF 2 |=2a, 又∵|PF 1|+|PF 2 |=6a, ∴|PF 1|=4a,|PF 2 |=2a. 又在△PF 1F 2 中,∠PF 1 F2 =30° , 由正弦定理得,∠PF 2F 1 =90° ,∴|F 1F 2 |=2 3a, 2 3a ∴双曲线 C 的离心率 e= = 3. 2a 三、解答题 9. 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 ,F 2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1 F 2 为直径的圆上; (3)在(2)的条件下求△F 1 MF 2 的面积. (1)解 ∵离心率 e= 2,∴双曲线为等轴双曲线,
2 2

可设其方程为 x -y =λ(λ≠0), 则由点(4,- 10)在双曲线上, 可得 λ=42 -(- 10)2 =6, ∴双曲线方程为 x -y =6. (2)证明 ∵点 M(3,m)在双曲线上,
2 2

∴32 -m2 =6,∴m2 =3, 又双曲线 x2 -y2 =6 的焦点为 F 1(-2 3,0),F 2 (2 3,0), → → ∴MF 1· MF 2=(-2 3-3,-m)· (2 3-3,-m) =(-3) -(2 3) +m =9-12+3=0, ∴MF 1 ⊥MF 2 ,∴点 M 在以 F1 F 2 为直径的圆上. (3)解
2 2 2

S?F1MF2 = ×4 3×|m|=6.

1 2

10. 直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2 -y2 =1 的右支交于不同的两点 A 、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 解
2

(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程
2 2 2

2x -y =1 后,整理得(k -2)x +2kx+2=0. 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,



? ?Δ=?22kk? -8?k -2?>0, 故?- >0, k -2 ? >0. ?k 2 -2
2 2 2 2

k 2 -2≠0,

解得 k 的取值范围是-2<k <- 2. (2)设 A 、B 两点的坐标分别为(x1 ,y1 )、(x2 ,y2 ), 2k , ?x +x =2- k 则由①式得? 2 x= . ?x · k -2
1 2 2 1 2 2



假设存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F (c, 0). 则由 FA ⊥FB 得:(x1 -c)(x2 -c)+y1 y2 =0. 即(x1 -c)(x2 -c)+(kx1 +1)(kx2 +1)=0. 整理得(k 2 +1)x1 x2 +(k -c)(x1 +x2 )+c2 +1=0. 把②式及 c= 6 代入③式化简得 5k2 +2 6k -6=0. 2 ③

6+ 6 6- 6 解得 k =- 或 k= ?(-2,- 2)(舍去), 5 5 6+ 6 可知存在 k =- 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 5 B组 专项能力提升

(时间:30 分钟) 1. 设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂 直,那么此双曲线的离心率为 A. 2 C. 3+ 1 2 B. 3 D. 5+1 2 ( )

答案 解析

D x y 设双曲线方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0),如图所示,双曲线 a b
2 2

b b 的一条渐近线方程为 y= x,而 kBF =- , a c b b ∴ · (- )=-1, a c 整理得 b =ac. ∴c2 -a2 -ac=0,两边同除以 a2 ,得 e2 -e-1=0, 解得 e= 1+ 5 1- 5 或 e= (舍去),故选 D. 2 2
2

2.(2013· 重庆)设双曲线 C 的中心为点 O, 若有且只有一对相交于点 O、 所成的角为 60° 的直线 A 1 B 1 和 A 2B 2 ,使|A 1B 1 |=|A 2B 2 |,其中 A1 、B 1 和 A2 、B 2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点, 则该双曲线的离心率的取值范围是 A. ?2 3,2? ? 3 ? C. ?2 3,+∞? ? 3 ? 答案 解析 A 由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于 x 轴(或 y 轴)对称. 又由题意知 B. ?2 3,2? ? 3 ? D. ?2 3,+∞? ? 3 ? ( )

有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 30° 且小 b 1 b c c b 4 2 3 于等于 60° ,即 tan 30° < ≤tan 60° ,∴ < 2≤3. 又 e2 =( )2 = 2 =1+ 2 ,∴ <e2 ≤4,∴ a 3 a a a a 3 3 <e≤2,故选 A. x2 y2 3. 已知 F1 ,F 2 是双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F 1F 2 为边作正三角形 MF 1F 2 , a b 若边 MF 1 的中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率是 A.4+2 3 答案 解析 D 因为 MF 1 的中点 P 在双曲线上,|PF 2 |-|PF1 |=2a, B. 3-1 C. 3+1 2 D. 3+1 ( )
2 2 2

△MF 1F 2 为正三角形,边长都是 2c,所以 3c-c=2a, c 2 所以 e= = = 3+1,故选 D. a 3- 1 x2 y2 4.(2013· 辽宁)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P ,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚 9 16 轴长的 2 倍,点 A (5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 答案 44

解析

由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5,

∴点 A (5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且|PQ|=|QA |+|PA|=4b=16, 由双曲线定义,得|PF |-|PA |=6,|QF |-|QA |=6. ∴|PF |+|QF |=12+|PA |+|QA |=28, 因此△PQF 的周长为 |PF |+|QF |+|PQ|=28+16=44. x2 y2 5. 已知双曲线 2- 2 =1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F 1 、F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 a b |PF 1|=4|PF 2 |,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 答案 解析 5 3 由定义,知|PF 1|-|PF 2 |=2a.

8 2 又|PF 1|=4|PF 2 |,∴|PF1 |= a,|PF 2 |= a. 3 3 在△PF 1F 2 中,由余弦定理, 64 2 4 2 2 a + a -4c 9 9 17 9 2 得 cos ∠F1 PF2 = = - e. 8 2 8 8 2·a·a 3 3 要求 e 的最大值,即求 cos ∠F 1PF 2 的最小值, 5 ∴当 cos ∠F1 PF2 =-1 时,得 e= , 3 5 即 e 的最大值为 . 3 4 6. 已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为 5 虚轴,且焦距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A 、B ,在第二象限内取双曲线上一点 P ,连接 BP 交椭圆于 → → 点 M,连接 PA 并延长交椭圆于点 N,若BM=MP,求四边形 ANBM 的面积. 解 x2 y2 (1)设椭圆方程为 2 + 2 =1(a>b>0), a b

x2 y2 则根据题意知双曲线的方程为 2 - 2 =1 a b
2 2 ? ? a -b =4, 5 且满足? a ? ?2 a2 +b2=2 34,

2 ? ?a =25, ? 解方程组得 2 ?b =9. ?

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程为 - =1. 25 9 25 9 (2)由(1)得 A(-5,0),B (5,0),|AB |=10, → → 设 M(x0 ,y0),则由BM=MP得 M 为 BP 的中点, 所以 P 点坐标为(2x0 -5,2y0). 将 M、P 坐标代入椭圆和双曲线方程,



? ??2x -5? 4y ? 25 - 9 =1,
0 2 2 0

2 x0 y2 0 + =1, 25 9

消去 y0 ,得 2x2 0 -5x0 -25=0. 5 3 3 解之,得 x0 =- 或 x0 =5(舍去). ∴y0 = . 2 2 5 3 3 由此可得 M(- , ),∴P (-10,3 3). 2 2 当 P 为(-10,3 3)时, 3 3 直线 PA 的方程是 y= (x+5), -10+5 即 y=-
2

3 3 x2 y2 (x+5),代入 + =1, 5 25 9

得 2x +15x+25=0. 5 所以 x=- 或-5(舍去), 2 5 ∴xN=- ,xN=xM ,MN⊥x 轴. 2 1 3 3 ∴S 四边形 ANBM =2S△AMB =2× ×10× =15 3. 2 2



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