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高中数学人教版选修2-1教学设计:3.1.1空间向量及其加减与数乘运算 - 副本


第一课时 3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算
教学要求:理解空间向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们 的运算律;能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 教学重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律. 教学难点:由平面向量类比学习空间向量. 教学过程: 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识:什么叫做向量?向量是怎样表示的呢? ? ? 既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:用有向线段表示;用字母 a 、 b 等表示; ???? 用有向线段的起点与终点字母: AB .长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算: 向量的加法: 向量的减法: 实数与向量的积: ? ? ? ? ? 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,其长度和方向规定如下:|λ a |=|λ|| a | (2)当 λ>0 时,λ a ? ? ? ? ? 与 a 同向; 当 λ<0 时,λ a 与 a 反向; 当 λ=0 时,λ a = 0 . ? ? ? ? 3. 向量的运算运算律:加法交换律: a + b = b + a 4. 三个力都是 200N,相互间夹角为 60°,能否提起一块重 500N 的钢板? 二、新课讲授 1. 定义:我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例? 表示?(用有向线段表示) 记法? → 零向量? 单位向量? 相反向量? → 讨论:相等向量? 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. → 讨论:空间任意两个向量是否共面? 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样: ??? ? ??? ? ??? ? ? ? OB ? OA ? AB = a + b , ??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA (指向被减向量) ,

???? ? ? OP ? λ a (? ? R ) (请学生说说数乘运算的定义?) 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律. ? ? ? ? ⑴加法交换律: a + b = b + a ; ? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ); ? ? ? ? ⑶数乘分配律:λ( a + b ) =λ a +λ b ; ? ? ⑶数乘结合律:λ(u a ) =(λu) a . ????? ????? ? ????? ? ??????? ????? 4. 推广:⑴ A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An ; ????? ????? ? ????? ? ??????? ????? ? ⑵ A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0 ;⑶空间平行四边形法则. 5. 出示例:已知平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱) ABCD ? A ' B ' C ' D ' (如图) ,化简下列向量表 达式,并标出化简结果的向量: ???? ???? ???? ???? ? ???? ? ⑵AB ? AD ? AA '; ⑴ AB ? BC; ????? ????? 1 ????? ? ? ???? ? 1 ???? ???? (3) AB ? AD ? CC ' ; ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2 3 师生共练 → 变式训练 6. 练习:课本 P92 7. 小结:概念、运算、思想(由平面向量类比学习空间向量) 三、巩固练习: 作业:P106 A 组 1、2 题.

第二课时 3.1.2 空间向量的数乘运算(二)

教学要求:了解共线或平行向量的概念,掌握表示方法;理解共线向量定理及其推论;掌握空间直线的向 量参数方程;会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题. 教学重点:空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式. 教学过程: 一、复习引入 ? ? 1. 回顾平面向量向量知识:平行向量或共线向量?怎样判定向量 b 与非零向量 a 是否共线? 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量. 由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上, 所以平 行向量也叫做共线向量. ? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使 b =λ a .称平面向量共线定理, 二、新课讲授 1.定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线 ? ? ? ? 向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论: ? ? ? ? ? ? ? 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠0) , a // b 的充要条件是存在实数 λ,使 a =λ b . ? ? ? ? ? 理解:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若 a ∥ b ( a ≠0) ,则有 b = ? a ,其中 ? 是唯一确定 ? ? ? ? ? ? ? 的实数。②判断定理:若存在唯一实数 ? ,使 b = ? a ( a ≠0) ,则有 a ∥ b (若用此结论判断 a 、 b 所在 ? ? ? ? 直线平行,还需 a (或 b )上有一点不在 b (或 a )上). ? ? ? ? ? ? ⑵对于确定的 ? 和 a , b = ? a 表示空间与 a 平行或共线,长度为 | ? a |,当 ? >0 时与 a 同向,当 ? <0 ? 时与 a 反向的所有向量. ? 3. 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点 P 在直线 l 上 的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP ? OA ? t a . ? 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 推论证明如下: ∵ ∴ 又∵ 对于空间任意一点 O,有 AP ? OP ? OA ,

????

????

?

l//a ,∴ 对于 l 上任意一点 P,存在唯一的实数 t,使得 AP ? t a .(*)

????

?

????

???? ????

???? ???? ???? ???? ? ? OP ? OA ? t a , OP ? OA ? t a . ① ???? ? ???? ???? ???? 若在 l 上取 AB ? a ,则有 OP ? OA ? t AB .(**) ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ?? ? ? ?? 又∵ A B ? O B ? O A∴ OP ? OA ? t (OB ? OA ) ? ( 1 ?t ) O A ? t O.② B ???? ???? ???? 1 1 当 t ? 时, OP ? (OA ? OB ) .③ 2 2 理解:⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式,③式是线段的中点公式.事实上,表达式(*) 和(**)既是表达式①和②的基础,也是直线参数方程的表达形式. ⑵ 表达式①和②三角形法则得出的,可以据此记忆这两个公式. ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定. A 空间向量共线(平行)的定义、共线向量定理与平面向量完全相同, 是平面向量 相关知识的推广. C 4. 出示例 1: 用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平 行四边形. D ( 分析:如何用向量方法来证明?) ??? ? ??? ? B 5. 出示例 2:如图 O 是空间任意一点,C、D 是线段 AB 的三等分点,分别 用 OA 、OB ???? ???? 表示 OC 、 OD . O 三、巩固练习: 作业:

第三课时 3.1.2 空间向量的数乘运算(三)
教学要求:了解向量与平面平行、共面向量的意义,掌握向量与平面平行的表示方法;理解共面向量定理 及其推论;掌握点在已知平面内的充要条件;会用上述知识解决立几中有关的简单问题. 教学重点:点在已知平面内的充要条件.

教学难点:对点在已知平面内的充要条件的理解与运用. 教学过程: 一、复习引入 1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、 中点公式. 2. 必修④《平面向量》 ,平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理:如果 e1、e2 是同一平面内两个不 共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量 a,有且只有一对实数 λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.其中不共 线向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 二、新课讲授 1. 定义:如果表示空间向量 a 的有向线段所在直线与已知平面 α 平行或在平面 α 内,则称向量 a 平行于平 面 α,记作 a//α. 向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平行时两者是没有公共点的. 2. 定义:平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是在同一平面内的,但可以平移到同一平 面内. 3. 讨论:空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例说明. 结论:空间中的任意三个向量不一定是共面向量.例如:对于空间四边形 ABCD ,

???? ???? ? ???? ? AB 、 AC 、 AD 这三个向量就不是共面向量. 4. 讨论:空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢? 5. 得出共面向量定理:如果两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共 面的充要 条件是存在实数对 x,y,使得 p= xa+yb . 证明:必要性:由已知,两个向量 a、b 不共线. ∵ 向量 p 与向量 a、b 共面 ∴ 由平面向量基本定理得:存在一对有序实数对 x,y,使得 p= xa+yb. 充分性:如图,∵ xa,yb 分别与 a、b 共线, ∴ xa,yb 都在 a、b 确定的平面内. 又∵ xa+yb 是以|xa|、|yb|为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在 a、b 确定的平面内, ∴ p= xa+yb 在 a、b 确定的平面内,即向量 p 与向量 a、b 共面. 说明:当 p、a、b 都是非零向量时,共面向量定理实际上也是 p、a、b 所在的三条直线共面的充要条件, 但用于判定时,还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内. 6. 共面向量定理的推论是:空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x , y ,使得 ???? ? ???? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? MP ? xMA ? yMB ,① 或对于空间任意一定点 O,有 O P ? O M? x M ? A y.② MB ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ??? 分析:⑴推论中的 x、y 是唯一的一对有序实数; ⑵ 由 O P ? O M ? x M A? y M得 B: ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ?? ?????? ???? ? ????? , O P ? O M ? (x O A? O M ) ? ( y O? B O ) M∴ OP ? (1 ? x ? y)OM ? xOA ? yOB ③ 公式①②③都是 P、M、A、B 四点共面的充要条件. 7. 例题:课本 P95 例 1 ,解略. → 小结:向量方法证明四点共面 三、巩固练习 1. 练习:课本 P96 练习 3 题. 2. 作业:课本 P96 练习 2 题.

第四课时 3.1.3 空间向量的数量积运算
教学要求:掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运 算律;掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题. 教学重点:两个向量的数量积的计算方法及其应用. 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程: 一、复习引入 1.复习平面向量数量积定义:

2. 平面向量中有两个平面向量的数量积,与其类似,空间两个向量也有数量积. 二、新课讲授 1. 两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量 a 与 b,在空间 ??? ? ??? ? 点 O,作 OA =a, OB =b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记 >. 说明:⑴规定: 0 ? <a,b> ? ? . 当<a、b>=0时,a 与 b <a、b>=π 时,a 与 b 反向; 当<a、b>=

中任取一 作 < a,b 同向; 当

?
2

时,称 a 与 b 垂直,记 a⊥b.

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且<a,b>=<b,a>. ⑶ 注意:①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的. ②<a,b> ? (a,b) 2. 两个向量的数量积:已知空间两个向量 a 与 b,|a||b|cos<a、b>叫做向量 a、b 的数量积,记作 a·b, 即 a·b=|a||b|cos<a,b>. 说明:⑴零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0; ⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. 几何意义:已知向量 AB =a 和轴 l,e 是 l 上和 l 同方向的单位向量.作点 A 在 l 上的射影 A′,点 B 在 l 上 的射影 B′,则 A ' B ' 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 方向上的正射影,简称射影.可以证明: A' B ' =| AB | cos<a,e>=a·e.说明:一个向量在轴上的投影的概念,就是 a·e 的几何意义. 3. 空间数量积的性质:根据定义,空间向量的数量积和平面向量的数量积一样,具有以下性质: ⑴a·e=|a|·cos<a,e>; ⑵a⊥b ? a·b=0 ⑶当 a 与 b 同向时,a·b=|a|·|b|; 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a|· |b|. 特别地,a· a=|a|2 或|a|= a ? a ? a2 . a ?b ⑷cos<a,b>= ; ⑸|a·b|≤|a|·|b|. a?b 4. 空间向量数量积的运算律:与平面向量的数量积一样,空间向量的数量积有如下运算律: ⑴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (数乘结合律); ⑵ a·b=b·a (交换律); ⑶a·(b+c)=a·b+a·c (分配律) 说明:⑴(a· b)c≠a(b·с) ;⑵有如下常用性质:a2=|a|2,(a+b)2=a2+2a·b+b2 5. 教学例题:课本 P98 例 2、例 3(略) 三、巩固练习 作业:课本 P101 例 4

????

????? ?

????

????

第五课时 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
教学要求:掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示;掌握空间向量的坐标运算的规律; 会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直. 教学重点:空间向量基本定理、向量的坐标运算. 教学难点:理解空间向量基本定理. 教学过程: 一、新课引入 1. 回顾:平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算, 2. 复习:平面向量基本定理. 二、讲授新课

? ?? ? ?? ? 1. 类比:由平面向量的基本定理,对平面内的任意向量 a ,均可分解为不共线的两个向量 ?1 a1 和 ?2 a2 ,使

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取 a1 , a2 为平面直角坐标系的坐标 a ? ?1 a1 ? ?2 a2 . 如果 a1 ? a2 时, ?? ? ? ? ? 轴方向的两个单位向量 i, j ,则存在一对实数 x、y,使得 a ? xi ? y j ,即得到平面向量的坐标表示 a ? ( x, y) . 推广到空间向量,结论会如何呢? ? ?? ? ?? ? ?? ? (1) 空间向量的正交分解:对空间的任意向量 a ,均可分解为不共面的三个向量 ?1 a1 、 ?2 a2 、 ?3 a3 ,使 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? a ? ?1 a1 ? ?2 a2 ? ?3 a 3 . 如果 a1 , a2 , a3 两两垂直,这种分解就是空间向量的正交分解. ? ? ? ?? (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在有序实数组 {x, y , z} ,使 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 得 p ? xa ? yb ? zc . 把 {a, b, c} 叫做空间的一个基底(base) , a, b, c 都叫做基向量. 2. 单位正交基底:如果空间一个基底的三个基向量互相垂直,且长度都为 1, 则这个基 底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. 单位——三个基向量的长度都为 1;正交——三个基向量互相垂直. 选取空间一点 O 和一个单位正交基底{i,j,k} ,以点 O 为原点,分别以 i,j,k 的方向为 正方向建立三条坐标轴:x 轴、y 轴、z 轴,得到空间直角坐标系 O-xyz, 3. 空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设 i、j、k 为 坐标向 量,则存在唯一的有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) ,使 a= a1 i+ a2 j+ a 3 k. 空间中相等的向量其坐标是相同的. →讨论: 向量坐标与点的坐标的关系? ???? 向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB = ???? ???? OB - OA = ( x2 , y2 , z2 ) - ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) . 4. 向量的直角坐标运算:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R ) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 证明方法:与平面向量一样,将 a= a1 i+ a2 j+ a 3 k 和 b= b1 i+ b2 j+ b3 k 代入即可. 5. 两个向量共线或垂直的判定:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 a a a ⑴a//b ? a=λb ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 , (? ? R ) ? 1 ? 2 ? 3 ; b1 b2 b3 ⑵a⊥b ? a·b=0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 . 6. 练习:已知 a= (2, ?3,5) ,b= (?3,1, ?4) ,求 a+b,a-b,8a,a·b.解:略. 7. 出示例:课本 P101 例 4 . (解略) 三、巩固练习 作业:课本 P102 练习 2、3 题 .

第六课时 3.1.5 空间向量运算的坐标表示(夹角和距离公式)
教学要求:掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并会用这些公式解决 有关问题. 教学重点:夹角公式、距离公式. 教学难点:夹角公式、距离公式的应用. 教学过程: 一、复习引入 1. 向量的直角坐标运算法则:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3

上述运算法则怎样证明呢?(将 a= a1 i+ a2 j+ a 3 k 和 b= b1 i+ b2 j+ b3 k 代入即可) 2. 怎样求一个空间向量的坐标呢?(表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. )

二、新课讲授 ⒈ 向量的模:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,求这两个向量的模.
2 2 2 |a|= a12 ? a2 ,|b|= b12 ? b2 ? a3 ? b32 .这两个式子我们称为向量的长度公式.

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度. 2. 夹角公式推导:∵ a·b=|a||b|cos<a,b> ∴

a1 b1 ?

a2 ? b2

2 2 2 2 2 2 a3 ba = ·cos<a,b> 3 1 ? a2 ? a3 · b 1 ? b2 ? b3

由此可以得出:cos<a,b>=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 1

2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 这个公式成为两个向量的夹角公式.利用这个共识,我们可以求出两个向量的夹角,并可以进一步得 出两个向量的某些特殊位置关系: 当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 同向;当 cos<a、b>=-1 时,a 与 b 反向; 当 cos<a、b>=0 时,a⊥b. 3. 两点间距离共识:利用向量的长度公式,我们还可以得出空间两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A、B ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 ,其中 d A、B 表示 A 与 B 两点间的距离.
3. 练习: 已知 A(3,3,1)、 B(1, 0, 5), 求: ⑴线段 AB 的中点坐标和长度; ⑵到 A、 B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、z 满足的条件. (答案:(2,

3 ,3); 29 ; 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 ) 2 ????? 1 ???? ???? x ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 说明:⑴中点坐标公式: OM ? (OA ? OB ) = ( 1 , , ); 2 2 2 2
元一次方 与 DF1 所

⑵中点 p 的轨迹是线段 AB 的垂直平分平面.在空间中,关于 x、y、z 的三 程的图形是平面. 4. 出示例 5: 如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,B1E1 ? D1F1 ?

A1B1 , 求 BE1 4

成的角的余弦值. 分析:如何建系? → 点的坐标? → 如何用向量运算求夹角? → 变式:课本 P104、例 6 5. 用向量方法证明:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行. 三.巩固练习 作业:课本 P105 练习 3 题.



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