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高中数学湘教版选修2-1(理科)第3章3.3直线的方向向量《习题3》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学湘教版选修 2-1 (理科) 第 3 章 3.3 直线的方向向量 《习 题 3》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案 1 教学目标 1.理解直线的方向向量. 2.会用向量运算证线线垂直与线线平行,会求两直线所成的角. 2 重点难点 重点:直线的方向向量 难点:会用向量运算证线线垂直与线线平行,会求两直线所成的角 3 教学过程 3.1 第一学时 3.1.1 教学活动 活动 1【讲授】三、教学过程 (一)复习引入 1.两条直线平行与两直线的方向向量平行是何关系? 答案 若两条直线平行,则两直线的方向向量一定平行(共线).反之,若两直线的方向向量平 行,则这两直线平行或重合. 2.空间中两异面直线的夹角与其方向向量的夹角有什么区别和联系? 答案 设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 a,b,l1 与 l2 的夹角为θ ,则 0<θ ≤π 2, 而 0<〈a,b〉<π .当 0<〈a,b〉≤π 2 时,θ =〈a,b〉.当π 2<〈a,b〉<π 时,θ =π -〈a,b〉. (二)新课教学 1.直线的平行和垂直是两条直线成特殊角的情形:垂直是两条直线成直角的情形,平行是两 条直线不重合且成 0°角的情形. 2.如果向量υ ≠0 且与直线 l 平行,就称υ 为 l 的方向向量. 3.两条直线垂直?它们的方向向量垂直. 4.要求两条直线 AB,CD 所成的角α ,只要先计算它们的方向向量 AB→,CD→所成的角α 1.如 果 0≤α 1≤π 2,则α =α 1,否则π 2<α 1<π ,此时α =π -α 1.角α 1 可以通过计算 cos α 1 来得到: cos α 1=AB→?CD→|AB→||CD→|. 而不论α 1 是否大于直角,都可由 cos α =|cos α 1|=|AB→?CD→||AB→||CD→| 得出α . (三)问题解决 要点一 向量法证明平行问题 问题 1 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,|AB|=3,|AD|=4,|AA1|=2.点 M 在棱 BB1 上,且|BM|=2|MB 1|,点 S 在 DD1 上,且|SD1|=2|SD|,点 N,R 分别为 A1D1,BC 的中点,求证:MN∥RS. 证明 法一 设 AB→=a,AD→=b,AA1→=c,则 MN→=MB1→+B1A1→+A1N→=13c-a+12b, RS→=RC→+CD→+DS→=12b-a+13c, ∴MN→=RS→,∴MN→∥RS→, 又∵R?MN,∴MN∥RS. 法二 如图所示,建立空间直角坐标系,则根据题意得 M3,0,43,N(0,2,2), R(3,2,0),S0,4,23. ∴MN→=-3,2,23, RS→=-3,2,23,MN→=RS→, ∴MN→∥RS→, ∵M?RS, ∴MN∥RS. 规律方法 用向量法证明线线平行时运用的是共线向量定理. 跟踪演练 1 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,PQ 是异面直线 A1D 和 AC 的公垂线,求证:PQ ∥BD1. 证明 以 D 为原点,DA→、DC→、DD1→所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1,如图所示,则 D(0,0,0)、 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),AC→=(-1,1,0),DA1→=(1,0,1),设直 线 PQ 的方向向量 a=(x,y,z),则 AC→?a=-x+y=0,DA1→?a=x+z=0, 取 x=1,则 a=(1,1,-1). 又 BD1→=(-1,-1,1),∴BD1→=-a,即 BD1→∥a, ∴PQ∥BD1. 要点二 向量法证明垂直问题 问题 2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M,使 得 D1M⊥平面 EFB1. 解 建立空间直角坐标系,D-xyz,设正方体的棱长为 2,则 E(2,1,0),F(1,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2). 设 M(2,2,m),则 EF→=(-1,1,0),B1E→= (0,-1,-2),D1M→=(2,2,m-2). ∵D1M⊥平面 EFB1,∴D1M⊥EF,D1M⊥B1E, ∴D1M→?EF→=0,且 D1M→?B1E→=0, 于是-2+2=0,-2-2 m-2 =0,∴m=1, 故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1. 规律方法 直线 l1、l2 的方向向量为υ 1,υ 2,则 l1⊥l2?υ 1?υ 2=0.利用该充要条件可以 判定两直线垂直,或线面垂直. 跟踪演练 2 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3.M 是 BC 的中点. 在 DD1 上是否存在一点 N,使 MN⊥DC1?并说明理由. 解 如图所示,建立以 D 为坐标原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,DD1 所在直线为 z 轴的坐标系. 则 C1(0,2,3),M12,2,0,D(0,0,0) 设存在 N(0,0,h)(0≤h≤3). 则 MN→=-12,-2,h, DC1→=(0,2,3). MN→?DC1→=-12,-2,h?(0,2,3)=-4+3h. ∴当 h=43 时,MN→?DC1→=0.此时 MN→⊥DC1→. ∴存在 N∈DD1,使 MN⊥DC1. 要点三 向量法求两直线所成的角 问题 3 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60°,对角线 AC 与 BD 交于点 O,PO ⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 的夹角为 60°,E 为 PB 的中点,求 DE 与 PA 夹角的余弦值. 解 以 O 为原点,OB、OC、OP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系(如图所示). ∵AB=2,∠DAB=60°. ∴BO=1


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