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2013年秋北师大版必修1示范教案第四章函数应用复习


本章复习
整体设计 教学分析 前面学习了函数与方程、函数模型及应用等内容,通过 本节学习进一步巩固前面学习 的内容,突出重点总结规律,使原来的知识更系统,使原来方法更清晰,形成完整的知识结 构和方法体系. 我们小结的目的不仅要总结知识、 归纳方法, 还要让学生学会运用学过的知识方法解决 现实问题,提高学生的素质. 三维目标 1.理解方程的根与函数零点的关系,会用二分法求函数零点. 2.巩固常见函数模型的应用. 3.通过本章学习逐步认识数学,学会用数学方法认识世界、改造世界. 重点难点 应用数学模型解决实际问题. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(情境导入) 同样一张书桌有的整洁、有的凌乱,同样一支球队,在不同教练带领下战斗力会有很大 不同, 例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防具佳所向披靡, 为什么呢?因为 书桌需要不断整理,球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系.我们学习也是一 样,需要不断归纳整理、系统总结,今天我们把第三章函数的应用进行 归纳复习. 思路 2.(直接事例导入) 大到天体运动小到细菌繁殖, 无论政治现象还是经济现象, 在这繁杂的世界上无不变化, 怎样描述这些变化呢?我们知道可以通过函数模型来描述这些变化, 本节我们来归纳复习一 下函数的应用. 推进新课 新知探究 提出问题 回忆本章内容,总结本章知识结构. 讨论结果:

图1 应用示例 1 2 -1 例 1 已知函数 f(x)=x + x -2,试利用基本初等函数的图像判断 f(x )有几个零点; 2 并利用零点存在性法则确定各零点所在的范围(各区间长度不超过 1).

图2 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:把一个不易作出的 函数图像转化为两个容易作出的图像. 1 2 1 2 -1 -1 解: f(x)=0, x =- x +2, y1=x , 2=- x +2, 由 得 令 y 其中抛物线顶点为(0,2), 2 2 与 x 轴交于点(-2,0)、(2,0). 如图 2 所示,y1 与 y2 图像有 3 个交点, 从而函数 f(x)有 3 个零点. 由 f(x)知 x≠0,f(x)图像在(-∞,0)、(0,+∞)上分别是连续不断的, 13 1 1 1 ?1? 1 且 f(-3)= >0,f(-2)=- <0,f? ?= >0,f(1)=- <0,f(2)= >0, 6 2 2 2 ?2? 8 ?1? 即 f(-3)·f(-2)<0,f? ?·f(1)<0,f(1)·f(2)<0, ?2? ?1 ? ∴三个零点分别在区间(-3,-2),? ,1?,(1,2)内. ?2 ?

点评:本题考查数形结合思想和零点判断方法. 3 2 设函数 f(x)=x +3x-5,其图像在(-∞,+∞)上是连续不断的. 先 求 值 : f(0) = __________ , f(1) = _ _________ , f(2) = __________ , f(3) = __________. 所以 f(x)在区间__________内存在零点 x0,填下表, 区 间 中点 m f(m)符号 区间长度

下结论:____________________________________. 可参考条件:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且 f(1.125)<0,f(1.187 5)>0. 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实 际,可以提示引导: 利用二分法求方程近似解一般步骤求函数的零点. 解:f(0)=-5,f(1)=-1,f(2)=9,f(3)=31, ∴初始区间为(1,2). 区 间 中点 m f(m)符号 区间长度 (1,2) 1.5 + 1 (1,1 .5) 1.25 + 0.5 (1,1.25) 1.125 - 0.25 (1.125,1.25) 1.187 5 + 0.125 (1.125,1.187 5) 0.062 5 ∵| 1.187 5-1.125|=0.062 5<0.1, ∴x0≈1.125(不唯一). 点评:这种题型便于学生操作,是一种新考法,应特别重视. 知能训练 复习题四 A 组 1,2,3. 拓展提升 请同学们思考探究:函数模型的应用,并进行规律总结. 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导. 答案:(供参考) 数学模型及其应用 数学来源于实际又服务于实际, 如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题?这里的 关键是“问题情境的数学化”,即从所熟悉的生活 、生产和其他学科的实际问题出发,进 行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理,得出数学概念和规律,通过构 造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、 具体化, 找到有效的解题途径——构建数学模型, 使实际生活问题抽象为数学问题 .逐步把数学知识用到生产、生活的实际中,形成应用数 学 的意识,培养分析问题和解决问题的能力. 1.数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型: (1)直接套用现成的公式; (2)利用现成的数学模型对应用题进行定量分析; (3)对于已经经过提炼加工后,各因素之间数量关系比较清楚的实际问题,建立数学模 型; (4)对原始的实际问题进行分析加工,建立数学模型. 2.解应用题的策略: 一般思路可表示如下:①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;②建模: 将文字语言转化为数学语言, 利用数学知识, 建立相应的数学模型; ③解模: 求解数学模型, 得出数学结论;④还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义. 规律总结

1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意 自变量的取值范围,二 是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求. 2.在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语言,如引入字母、列表、 画图、建立坐标系等,以使实际问题数学符号化. 3.对于建立的各种数学模型,要能够进行模型识别,充分利用数学方法加以 解决,并 能积累一定数量的典型的函数模型,这是顺利解决实际问题的重要资本. 课堂小结 1.复习巩固;2.规律总结;3.思想升华. 作业 复习题四 B 组 1,C 组 1. 设计感想 本节通过一个学生感兴趣的话题使学生认识到小结的重要性, 然后通过最新模拟题再现 了本章重点题型. 本节不仅总结了有关用数学模型解决实际问题的解题规律, 而且给出了本 章知识结构图,使本章的知识更加系统,脉络更加清 晰,使学生的认识水平和解题能力进 一步升华,决不是前面知识的简单重复,因此达到了小结的目的. 备课资料 [备选例题] 2 对于函数 f(x)=ax +(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数 x0,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点. (1)当 a=2,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2)若对于任何实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围. 2 2 解:(1)f(x)=ax +(b+1)x+b-2(a≠0),当 a=2,b=-2 时,f(x)=2x -x-4, 2 2 设 x 为其不动点,即 2x -x-4=x,则 2x -2x-4=0,解得 x1=-1,x2=2, 即 f(x)的不动点为-1,2. 2 2 (2)由 f(x)=x,得 ax +bx+b-2=0.关于 x 的方程有相异实根 ,则 b -4a(b-2)>0, 2 即 b -4ab+8a>0. 2 又对所有的 b∈R,b -4ab+8a>0 恒成立, 2 故有(4a) -4·8a<0,得 0<a<2. (设计者:张新军)


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