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加法乘法法则教师版

加法乘法法则 起源——枚举法 分类加法法则(关键词:互斥,讨论)
1. 一件工作可以用 2 种方法完成,有 5 人只会用第 1 种方法完成, 另有 4 人只会用第 2 种方法完成, 从中选出 l 人来完成这件工作,不同选法的种数是_______ ; 2. 从 A 地到 B 地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发 3 次,火车发 4 次,轮船发 2 次,那 么一天内从 A 地到 B 地乘坐这三种交通工具的不同走法为( ) A.1+1+=3 B.3+4+2=9 C.3×4×2=24 D.以上都不对 【答案】B 【解析】根据选择工具的不同,分三类,利用分类计数原理,选 B。 3. 一幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼 用 8 步走完,则方法有() A.45 种 B.36 种 C.28 种 D.25 种 【答案】C 【解析】因为 10÷8 的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶的有 2 步,那么共有 2 C8=28 种走法. 4. 在 1 到 20 这 20 个整数中,任取两个数相减,差大于 10,共有几种取法? 【答案】45(种) 【解析】 由题意知, 被减数可以是 12,13,14,15,16,17,18,19,20 共 9 种情况, 当被减数依次取 12,13, …, 20 时,减数分别有 1,2,3,…,9 种情况,由分类加法计数原理可知,共有 1+2+3+…+9=45(种)不同 的取法.

分部乘法法则(关键词:独立)
5. 6 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有种。 【答案】729
6 【解析】根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 729。

考点:分步乘法计数原理的应用, 6. 有不同的语文书 9 本,不同的数学书 7 本,不同的英语书 5 本,从中选出不属于同一学科的书 2 本,则不同 的选法有( )种 A.21 B.315 C. 143 D.153 【答案】C 【解析】根据题意,从中选出不属于同一学科的书 2 本,包括 3 种情况: ①一本语文、一本数学,有 9×7=63 种取法, ②一本语文、一本英语,有 9×5=45 种取法,

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③一本数学、一本英语,有 7×5=35 种取法, 则不同的选法有 63+45+35=143 种; 故选 C. 7. 9 名乒乓球运动员,男 5 名,女 4 名,现要从中选出 2 名男队员、2 名女队员进行混合双打比赛,不同 的配对方法共有( ) A.60 种 B.84 种 C.120 种 D.240 种 【答案】C 【解析】解:根据题意,首先从 9 名球运动员中选出 2 名男队员、2 名女队员,有 C52?C42=10×6=60 种; 再对选出的 4 人进行分组,进行混双比赛,有 2 种方法; 则不同的配对方法有 60×2=120 种; 故答案为 C 8. 给一些书编号,准备用 3 个字符,其中首字符用 A , B ,后两个字符用 a , b , c (允许重复),则 不同编号的书共有() A. 8 本 B. 9 本 C. 12 本 D. 18 本 【答案】D 【解析】因为利用分步计数乘法原理可知,那么先安排首字符有 2 种,结合安排后面的两个字符有 9 种, 则不同的编号共有 12 种,选 D 9. 4 张卡片的正、 反面分别写有 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7, 将其中 3 张卡片排放在一起, 可组成________ 个不同的三位数. 【答案】168 【解析】要组成三位数,根据首位、十位、个位应分三步: 第一步:首位可放 8-1=7(个)数; 第二步:十位可放 6 个数; 第三步:个位可放 4 个数. 故由分步计数原理,得共可组成 7×6×4=168(个)不同的三位数. 10. 某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种,现在餐厅准备 了五种不同的荤菜, 若要保证每位顾客有 200 种以上不同选择, 则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种? (要求写出必要的解答过程) 【答案】至少应有 7 种素菜 【解析】本试题主要是考查了正确应用乘法计数原理,组合数以及不等式运算,n 为最小正整数。 本题关键在于 2 菜 2 素有无顺序.
2 解:在 5 种不同的荤菜中取出 2 种的选择方式应有 C5 ? 10 种,

2 2 设素菜为 x 种,则 C x ? C5 ? 200 解得 x ? 7 , 答:至少应有 7 种素菜

乘法加法综合应用 区别分类和分步
11. 给程序模块命名, 需要用 3 个字符, 其中首 字符要求用字母 A~G 或 U~Z , 后两个要求用数字 1~9, 问最多可以给多少个程序命名? 分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第 1 步,选首字符;第 2 步,选中间字符;第 3

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步,选最后一个字符.而首字符又可以分为两类. 【解析】先计算首字符的选法.由分类加法计数原理,首字符共有 7 + 6 = 13 种选法. 再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理,最多可以有 13×9×9 = = 1053 个不同的名称,即最多可以给 1053 个程序命名. 12. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书, 第 2 层放有 3 本不同的文艺书, 第 3 层放 2 本不同的体育书. ①从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法? 【解析】(1) 从书架上任取 1 本书,有 3 类方法:第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书,有 4 种方法; 第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法;第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种方 法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是

N ? m1 ? m2 ? m3 =4+3+2=9;
( 2 )从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书,可以分成 3 个步骤完成:第 1 步从第 1 层取 1 本计算 机书,有 4 种方法;第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法;第 3 步从第 3 层取 1 本体育书, 有 2 种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是

N ? m1 ? m2 ? m3 =4×3×2=24 .
(3) N ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 26 。 13. 随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字,并 且 3 个字母必须合成一组出现,3 个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照? 【解析】将汽车牌照分为 2 类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右.字母组合在左时,分 6 个步骤确定一个牌照的字母和数字: 第 1 步,从 26 个 字母中选 1 个,放在首位,有 26 种选法; 第 2 步,从剩下的 25 个字母中选 1 个,放在第 2 位,有 25 种选法; 第 3 步,从剩下的 24 个字母中选 1 个,放在第 3 位,有 24 种选法; 第 4 步,从 10 个数字中选 1 个,放在第 4 位,有 10 种选法; 第 5 步,从剩下的 9 个数字中选 1 个,放在第 5 位,有 9 种选法; 第 6 步,从剩下的 8 个字母中选 1 个,放在第 6 位,有 8 种选法. 根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有 26 ×25×24×10×9×8=11 232 000(个) . 同理,字母组合在右的牌照也有 11232 000 个. 所以,共能给 11232 000 + 11232 000 = 22464 000(个) . 辆汽车上牌照.

涂色问题
14. 如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但 相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?

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解:按地图 A、B、C、D 四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 15. (1)如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多 次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?(2)若颜色是 2 种,4 种,5 种又会什么样 的结果呢?

16. 如图所示,用五种不同的颜色分别给 A,B,C,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许 同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种.

【答案】180 【解析】按区域分四步:第一步 A 区域有 5 种颜色可选; 第二步 B 区域有 4 种颜色可选; 第三步 C 区域有 3 种颜色可选; 第四步由于 D 区域可以重复使用区域 A 中已有过的颜色,故也有 3 种颜色可选. 由分步计数原理知,共有 5×4×3×3=180(种)涂色方法.

人员分配问题
17. 2012 年山东文博会期间,某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者服务工作.将这四名学生分配 到 A,B,C 三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若甲要求不到 A 馆,则不同的分配方案有( ) (A)36 种 (B)30 种 (C)24 种 (D)20 种 【答案】C 【解析】甲要求不到 A 馆,分三种情况:一是 A 馆只有 1 人,甲不是单独的,则有 3×2×2=12 种;

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二是 A 馆只有 1 人,甲是单独的,则有 3×2=6(种); 三是 A 馆有 2 人,共有 3×2=6(种),由分类加法计数原理知,共有 12+6+6=24 种不同的分配方案. 18. a,b,c,d,e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长,不同的选法总数是( ) (A)20 (B)16 (C)10 (D)6 【答案】B 【解析】分步完成此事:第一步选副组长有 4 种选法;第二步选组长有 4 种选法,由分步乘法计数原理知共 有 4×4=16(种)不同的选法. 19. 某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆 汽车。每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘 坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有种; 【答案】24 【解析】由题意,第一类,大一的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的年级,从三个年级中
2 1 1 1 1 选两个为 C3 ,然后分别从选择的年级中再选择一个学生,为 C2 C2 ,故有 C32 C2 C2 =3×2×2=12 种. 1 第二类,大一的孪生姐妹不在甲车上,则从剩下的 3 个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上,为 C3 , 1 1 1 然后再从剩下的两个年级中分别选择一人(同第一类情况),这时共有 C3 C2 C2 =3×2×2=12 种

因此共有 24 种不同的乘车方式,故选 B. 20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级,每个班级至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不 能分到同一个班级,则不同分法的总数为. 【答案】30
2 【解析】第一步:将四名学生分成 3 组且甲乙不在同一组有 C4 ? 1 ? 5 种方法;第二步:将 3 组分配到三
3 个班级有 A3 ? 6 种方法。总的方法种数有 5 ? 6 ? 30 种

考点:排列组合问题 21. 从 5 名学生中任选 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,且每科竞赛只有 1 人参加。若甲 参加,但不参加生物竞赛,则不同的选择方案共有种。 【答案】 96 【解析】解:因为特殊元素优先安排先排甲有 3 种,那么其余的从剩下的 4 个人中选 3 名,进行全排列得
4 到 A3 4 ,另一种情况就是没有甲 A 4 ,分类讨论相加得到结论为 96.

分礼物问题
22. 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则四张贺卡的不同的分 配方式有________种. 【答案】9 【解析】设 4 人为甲、乙、丙、丁,分步进行: 第一步,让甲拿,有三种方法; 第二步, 让写甲拿到的卡片的人去拿, 有三种方法, 剩余两人只有一种拿法, 所以共有 3×3×1×1=9(种). 23. 编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,其中有且只有两个人的

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编号与座位号一致的坐法有( )种 A.10 种 B.20 种 C.60 种 【答案】B

D.90 种

2 【解析】第一步,先确定是哪两个人的编号与座号一致,有 C5 ? 10 种情况;第二步,编号与座号不相同

的三个人,不妨取编号 1,2,3 的人去坐编号为 1,2,3 的座号,不同的坐法有:编号为 1 的人只能坐编 号为 2 或 3 的座号,若编号为 1 的人坐编号为 2 的座号,则编号为 2 的人只能坐编号为 3 的座号,编号为 3 的人只能坐编号为 1 的座号,若编号为 1 的人坐编号为 3 的座号,则编号为 2 的人只能坐编号为 1 的座 号,编号为 3 的人只能坐编号为 2 的座号,所以编号与座号不相同的三个人,只有两种坐法,根据分步计
2 数原理,可知所求有且只有两个人的编号与座号一致的坐法有 C5 ? 2 ? 20 种,故选 B.

24. 现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务,且上届任职 的甲、乙、丙都不再连任原职务 的方法种数为( ) ....... A.48 B.30 C.36 D.32 【答案】D 【解析】解:分类:不选丁,有 2 种任职方案. 选丁,有 3 种选法,且任职方案也有 4 种,故不同任职方案种数为 4×4=16(种), 故共有不同任职方案种数为 32.选 D 25. 现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务,且上届任职 的甲、乙、丙都不再连任原职务 的方法种数为( ) ....... A.48 B.30 C.36 D.32 【答案】D 【解析】解:分类:不选丁,有 2 种任职方案. 选丁,有 3 种选法,且任职方案也有 4 种,故不同任职方案种数为 4×4=16(种), 故共有不同任职方案种数为 32.选 D

相邻不相邻问题
26. 在一条南北方向的步行街同侧有 8 块广告牌,牌的底色可选用红、蓝两种颜色,若只要求相邻两块牌 的底色不都为红色,则不同的配色方案共有 ( ) A.55 B.56 C.46 D.45 【答案】A
2 3 【 解 析 】 按 照 涂 红 色 的 牌 的 个 数 分 成 五 类 : 红 0:1 , 红 1:8; 红 2: C7 ; 红 3: C6 ; 4 红 4: C5 , 所 以 共 有 1+8+21+20+5=55.

逆向法
27. 如图,在 A、B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,而可能导致电路不通,如今发现 A、B 之间线路不通, 则焊接点脱落的不同情况有 ( )

A.10

B.13

C.12

D.15

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【答案】B 【解析】解:由题意知本题是一个分步计数问题, 每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态, 电路不通可能是 1 个或多个焊接点脱落,问题比较复杂. 但电路通的情况却只有 3 种 即 2 或 3 脱落或全不脱落. ∵每个焊接点有脱落与不脱落两种情况, 4 故共有 2 -3=13 种情况 故答案为:13

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