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高中数学北师大版选修2-3同步导学案:1.4 简单计数问题

§4 简单计数问题 1.进一步理解计数原理和排列、组合的概念.(重点) 2.能够运用原理和公式解决简单的计数问题.(难点) [基础·初探] 教材整理 简单计数问题 阅读教材 P18~P21,完成下列问题. 1.计数问题的基本解法 (1)直接法:以________为考察对象,先满足________的要求,再考虑 ________(又称元素分析法). 或以________为考察对象, 先满足________的要求, 再考虑________(又称位置分析法). (2)间接法:先不考虑附加条件,计算出所有的方法数,再减去不符合要求 的方法数. 【答案】 (1)元素 特殊元素 其他元素 位置 特殊位置 其他位置 2.解决计数问题应遵循的原则 先________后一般,先________后排列,先________后分步,充分考虑元素 的特殊性,进行合理的分类与分步. 【答案】 特殊 组合 分类 5 个不同的球放入 4 个不同的盒子中,每个盒子至少一个球,若甲球必须放 入 A 盒,则不同放法总数是( A.120 C.60 ) B.72 D.36 【解析】 分两类:第一类,A 盒只有甲球,则余下 4 个球放入 3 个不同的 盒子中,每个盒子至少一个球,此时 4 个球应分为 2,1,1 三组,有 C2 4种,每一 种有 A3 3种放法,共有 C2 4A3 3种放法;第二类,A 盒中有甲球和另 1 球,则有 A4 4种 排法.由分类加法计数原理,得共有放法总数 C2 4A3 3+A4 4=60 种. 【答案】 C [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 排列 问题 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每 人值班 1 天.若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不 排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有( A.504 种 C.1 008 种 【精彩点拨】 【自主解答】 ) B.960 种 D.1 108 种 先安排甲、乙,再考虑丙、丁,最后安排其他员工. (1)若甲、乙安排在开始两天,则丁有 4 种选择,共有安排 方案 A2 2C1 4A4 4=192 种; (2)若甲、乙安排在最后两天,则丙有 4 种选择,共有 A2 2C1 4A4 4=192 种; (3)若甲、乙安排在中间 5 天,选择两天有 4 种可能, 若丙安排在 10 月 7 日,丁有 4 种安排法,共有 4×A2 2C1 4A3 3=192 种; 1C1 若丙安排在中间 5 天的其他 3 天, 则丁有 3 种安排法, 共有 4×A2 2C3 3A3 3= 432 种. 所以共有 192+192+192+432=1 008 种. 【答案】 C 1.本小题用到分类讨论的方法,按照特殊元素(甲、乙在一起,丙、丁不在 特殊位置)进行讨论. 2.较复杂的排列问题要注意模型化归,转化为常用的方法. [再练一题] 1.由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字,且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数的个 数是( ) 【62690018】 B.96 D.144 A.72 C.108 【解析】 第一步将 2,4,6 全排, 有 A3 第二步分 1,3 相邻且不与 5 相邻, 3种; 2种;1,3,5 均不相邻,有 A3 3(A2 有 A2 2A3 3种.故总的排法为 A3 2A2 3+A3 3)=108 种,故 选 C. 【答案】 C 组合 问题 某班有 54 位同学,其中正、副班长各 1 名,现选派 6 名同学参加某 科课外小组,在下列各种情况中,各有多少种不同的选法?(只列式不计算) (1)正、副班长必须入选; (2)正、副班长只有 1 人入选; (3)正、副班长都不入选; (4)正、副班长至多有 1 人入选; (5)班长以外的某 3 人不入选; (6)班长有 1 人入选,班长以外的某 2 人不入选. 【精彩点拨】 这是一道有限制条件的组合问题,先处理特殊元素,然后考 虑一般元素. 【自主解答】 (1)先选正、副班长,再从剩下的 52 人中选 4 人.由分步乘 法计数原理,得 C2 2·C4 52种. (2)先从正、副班长中选 1 人,再从剩下的 52 人中选 5 人.由分步乘法计数 原理,得 C1 2·C5 52种. (3)因为正、副班长都不选,因此从剩下的 52 人中选 6 人,共 C0 2·C6 52种, 即 C6 52种. 1·C5 (4)只有一个班长入选, 或两个班长都不入选, 故共有 C2 52+C0 2·C6 52种, 或 C6 54-C2 2·C4 52种. (5)某 3 人可除外,故共有 C0 3·C6 51种,即 C6 51种. 1·C0 (6)C2 2·C5 50种,即 C1 2·C5 50种. 解答组合应用题的总体思路 1.整体分类,对事件进行整体分类,从集合的意义讲,分类要做到各类的 并集等于全集,以保证分类的不遗漏,任意两类的交集等于空集,以保证分类的 不重复,计算结果时使用加法原理. 2.局部分步,整体分类以后,对每一类进行局部分步,分步要做到步骤连 续,以保证分步的不遗漏,同时步骤要独立,以保证分步的不重复,计算每一类 的相应结果时,使用乘法原理. [再练一题] 2.将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排两名学生,那 么互不相同的分配方案共有( A.252 种 C.20 种 【解析】 【答案】 ) B.112 种 D.56 种 不同的分配方案共有 C2 7C5 5+C3 7C4 4+C4 7C3 3+C5 7C2 2=112(种). B [探究共研型] 排列、 组合的综合 应用 探究 1 从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘,有多少个不同的结果? 完成的“这件事”指的是


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