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高中数学北师大版选修2-3同步导学案:1.4 简单计数问题


§4 简单计数问题 1.进一步理解计数原理和排列、组合的概念.(重点) 2.能够运用原理和公式解决简单的计数问题.(难点) [基础·初探] 教材整理 简单计数问题 阅读教材 P18~P21,完成下列问题. 1.计数问题的基本解法 (1)直接法:以________为考察对象,先满足________的要求,再考虑 ________(又称元素分析法). 或以________为考察对象, 先满足________的要求, 再考虑________(又称位置分析法). (2)间接法:先不考虑附加条件,计算出所有的方法数,再减去不符合要求 的方法数. 【答案】 (1)元素 特殊元素 其他元素 位置 特殊位置 其他位置 2.解决计数问题应遵循的原则 先________后一般,先________后排列,先________后分步,充分考虑元素 的特殊性,进行合理的分类与分步. 【答案】 特殊 组合 分类 5 个不同的球放入 4 个不同的盒子中,每个盒子至少一个球,若甲球必须放 入 A 盒,则不同放法总数是( A.120 C.60 ) B.72 D.36 【解析】 分两类:第一类,A 盒只有甲球,则余下 4 个球放入 3 个不同的 盒子中,每个盒子至少一个球,此时 4 个球应分为 2,1,1 三组,有 C2 4种,每一 种有 A3 3种放法,共有 C2 4A3 3种放法;第二类,A 盒中有甲球和另 1 球,则有 A4 4种 排法.由分类加法计数原理,得共有放法总数 C2 4A3 3+A4 4=60 种. 【答案】 C [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 排列 问题 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每 人值班 1 天.若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不 排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有( A.504 种 C.1 008 种 【精彩点拨】 【自主解答】 ) B.960 种 D.1 108 种 先安排甲、乙,再考虑丙、丁,最后安排其他员工. (1)若甲、乙安排在开始两天,则丁有 4 种选择,共有安排 方案 A2 2C1 4A4 4=192 种; (2)若甲、乙安排在最后两天,则丙有 4 种选择,共有 A2 2C1 4A4 4=192 种; (3)若甲、乙安排在中间 5 天,选择两天有 4 种可能, 若丙安排在 10 月 7 日,丁有 4 种安排法,共有 4×A2 2C1 4A3 3=192 种; 1C1 若丙安排在中间 5 天的其他 3 天, 则丁有 3 种安排法, 共有 4×A2 2C3 3A3 3= 432 种. 所以共有 192+192+192+432=1 008 种. 【答案】 C 1.本小题用到分类讨论的方法,按照特殊元素(甲、乙在一起,丙、丁不在 特殊位置)进行讨论. 2.较复杂的排列问题要注意模型化归,转化为常用的方法. [再练一题] 1.由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字,且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数的个 数是( ) 【62690018】 B.96 D.144 A.72 C.108 【解析】 第一步将 2,4,6 全排, 有 A3 第二步分 1,3 相邻且不与 5 相邻, 3种; 2种;1,3,5 均不相邻,有 A3 3(A2 有 A2 2A3 3种.故总的排法为 A3 2A2 3+A3 3


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