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山东省各地2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:数列


山东省各地 2015 高三上学期期末考试数学理试题分类汇编: 数列
一、选择题 1、 (泰安市 2015 届高三)正项等比数列 ?an ? 的公比为 2,若 a2 a10 ? 16 ,则 a9 的值是 A.8 C.32 B.16 D.64

2、 (淄博市六中 2015 届高三) 设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 32a2 ? a7 ? 0 , 则

S5 ? S2



) B. 5 C. ?8 D. ? 11

A.11
二、填空题

1、(济宁市 2015 届高三)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an ? 2Sn?1 (n ? 2) ,则数 列{ an }的通项公式 an =__ 2、 (青岛市 2015 届高三) 若数列?an ? 的通项公式为 an ?

1

? n ? 1?

2

? n ? N ?,记f ? n? ? ?1? a ??1? a ? ...?1? a ? ,试通过
* 1 2 n

计算 f ?1? , f ? 2? , f ?3? 的值,推测出 f ? n ? ? _________. 3、 (滕州市第三中学 2015 届高三)在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等比数列,则 an ? 4、(淄博市 2015 届高三)在等差数列{ an }中, a15 =33, a25 =66,则 a35 =____

三、解答题 1、(德州市 2015 届高三)数列

?an? 中

a1 ?

1 2 ? ,前 n 项和 Sn ? n an ? 2n(n ? 1), n ? N . . 2

(I)证明数列 ?

?n ?1 ? Sn ? 是等差数列; ? n ?

(Ⅱ)设 bn ?

1 Sn ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,试证明: Tn ? 1 · n (2n ? 1)
2

-1-

2、 ( 济 宁 市 2015 届 高 三 ) 已 知 公 比 为 q 的 等 比 数 列 { an } 是 递 减 数 列 , 且 满 足

a1 ? a2 ? a3 ?

13 1 , a1a2 a3 ? 学科网 。 9 27

(I)求数列{ an }的通项公式; (II)求数列{ (2n ? 1) an }的前 n 项和 Tn

3、 (莱州市 2015 届高三)已知数列 ?an ? 中, a1 ? a, a2 ? t (常数 t ? 0 ), Sn 是其前 n 项和, 且 Sn ?

n ? an ? a1 ? . 2

(I)试确定数列 ?an ? 是否为等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由; (II)令 bn ?

Sn? 2 Sn?1 ? , 证明: 2n ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 2n ? 3 ? n ? N * ? . Sn?1 Sn? 2
b ?n

4、 (临沂市 2015 届高三)已知数列 ?an ? 和?bn ? 满足 a1a2 ??? an ? 2 n 且 a1 ? 1, b2 ? b1 ? 2 . (I)求 an与bn ; (II)设 cn ?

,若 ?an ? 为等比数列,

1 1 ? ? n ? N ? ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . an bn
1 , a5 ? 1 2

b1 ? 5、 (青岛市 2015 届高三) 已知 Sn 是等差数列?an ? 的前 n 项和, 数列?bn ? 是等比数列,
恰为 S4与

1 2 的等比中项,圆 C : ? x ? 2n ? ? y ? Sn b2

?

?

2

? 2n2 ,直线 l : x ? y ? n ,对任意

n ? N ? ,直线 l 都与圆 C 相切.
(I)求数列?an ?, ?bn ? 的通项公式;

c1 ? 1 ? (II) 若 n ? 1 时,

1 1 1 1 , n ? 2 时,cn ? ? ?... ? , 1 1 1 1 ?1 ?2 b1 bn ?1 bn ? bn 1

?cn ? 的前 n 项和为Tn ,

-2-

求证:对任意 n ? 2 ,都有Tn ?

n ?1 2

6 、( 泰 安 市 2015 届 高 三 ) 若 数 列

?an ?

的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 :

S n ? S n ?1 ? S n ? 2 ? 6n 2 ? 2 ? n ? N ? ? .
(I)若数列 ?an ? 是等差数列,求 ?an ? 的通项公式. (II)若 a1 ? a2 ? 1 ,求 S50 .

7 、 ( 潍 坊 市 2015 届 高 三 ) 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 点

? an , an ?1 ? ? n ? N ? ? 在函数 y ? 3x 的图象上,且 S3 ? 26.
(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II) 在 an与an?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成公差为 dn 的等差数列, 求数列 ? 前 n 项和 Tn ,并求使 Tn ?

?1? ?的 d ? n?

8 5

n 40 ? 成立的最大正整数 n. n ?1 5? 3 27

8、 (淄博市六中 2015 届高三)已知等差数列 {an } ,其前 n 项和为 S n ,若 S 5 =70,且

a2 , a7 , a22 成等比数列,
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

?1? 1 3 (Ⅱ)若数列 ? an ?是递增数列,设数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?
9、(桓台第二中学 2015 届高三)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ;等比数列 {bn } 中,

b1 ? 1 .若 a3 ? S3 ? 14 , b2 S 2 ? 12 (1)求 an 与 bn ;
(2) 设 cn ? an ? 2bn (n ? N ) , 数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn . 若对一切 n ? N ? 不等式 Tn ? ? 恒
?

成立,求 ? 的最大值. 10 、 ( 滕 州 市 第 二 中 学 2015 届 高 三 ) 已 知 数 列 a n

? ?

满 足 : a1 ? 1, a2 ? 2 , 且

an ?2 ? ( 2? c o ns ? an )?

?

? ?1

n? 3N , ?。
-3-

(1)求通项公式 an ; (2)求数列的前 n 项的和 S n 11、 (滕州市第三中学 2015 届高三)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足

4(n ? 1)(Sn ? 1) ? (n ? 2)2 an (n ? N? ) .
(1)求 a1 , a2 的值; (2)求 an ; (3)设 bn ?

n ?1 3 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 an

参考答案
一、选择题 1、C 2、D 二、填空题 1、 2、

n?2 2n ? 2

3、 2 3

n ?1

?n

4、99

三、解答题 1、

-4-

2、

3、

-5-

4、

-6-

5、

-7-

n ?1 设等比数列 {bn } 的公比为 q ,所以 bn ? b1q ?

1 n ?1 q 2

a5 ? 1恰为 S4 与

1 1 的等比中项 a5 ? 9, S4 ? 16 , b2 ? q ,所以 2 b2

1 1 ,解得 q ? ………………………7 分 1 2 q 2 1 n n ?1 所以 bn ? b1q ? ( ) ……………………8 分 2

(9 ? 1)2 ? 64 ? 16 ?

(



)

n?2

1 1 1 1 1 1 1 ? 2)?( 2 ? 2 ? 2 ? 3)? 1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 1 1 1 ... ? ( n ?1 ? n ?1 ? ... ? n ) 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? ... ? n ? n ? n ? ... ? n ………………………10 分 而 n ? 2 时, cn ? n ?1 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2
时, Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? (1 ? ) ? (

?

2n ? (2n ?1 ? 1) ? 1 2n ?1 1 ? n ? 2n 2 2
1 1 1 ? ? ... ? 2 2 2

所以 Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 1 ?

? 1?

n ……………………………12 分 2

-8-

说明:本问也可用数学归纳法做. 6、

7、

-9-

8、解: (1)由题意得: ?

?5a1 ? 10d ? 70
2 ?(a ? 6d ) ? (a ? d )(a ? 21d )

学科网………………1 分

解得: a1 ? 6,d ? 4,或a1 ? 14,d ? 0 …………………………………3 分 所以 an ? 4n ? 2或an ? 14 ………………………………………………5 分 (2)? 数列 ? an ?是递增数列,? an ? 4n ? 2 ,解得 S n ? 2n 2 ? 4n 则

1

Sn

?

1 2n(n ? 2)

?

1 1 1 ( ? )……………………………………7 分 4 n n ?2

Tn ?
?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? ) 4 3 2 4 n n ?2 4 2 n ?1 n ?2

3 1 1 1 ? ( ? )……………………………………9 分 8 4 n ?1 n ?2



1 1 1 ( ? ) ? 0 ,可得T n ? 3 ……………………10 分 4 n ?1 n ?2 8
由T n ? 1 ? T n ?

1

S n ?1

? 0 ,得:Tn 递增,所以T n ? T1 ?

1 …………12 分 6

9、解:(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q , 则 an ? 1 ? (n ? 1)d , bn ? q 由题意得: ?
n ?1



?(1 ? 2d ) ? (3 ? 3d ) ? 14 ,……………2 分 ?q (2 ? d ) ? 12
- 10 -

解得 ?

?d ? 2 ,……………4 分 ∴ an ? 2n ? 1, bn ? 3n ?1 ……………6 分 q ? 3 ?
? cn ? (a1 ? a2 ? a3 ?
2

(2) ∵ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ?

? an ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? ? 3 ) ? n ? 3 ?1
2 n n ?1

? bn )

? (1 ? 3 ? 5 ?

? 2n ? 1) ? 2(1 ? 3 ? 3 ?

……………10 分 ∵ {Tn } 是递增数列,∴ Tn 的最小值为 T1 ? 3 , ……………11 分

又∵ Tn ? ? 恒成立,∴ ? ? 3 ,故所求的 ? 的最大值为 3 ……………12 分 10、解: (1)当 n 是奇数时, cos n ? ? ?1 ,所以 an ?2 ? an ? 2 , 所以 a1, a3, a5,

, a2n ?1,

是首项为 a1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列,

因此 a2n ?1 ? 2n ? 1 。……………2 分 当 n 为偶数时, cos n ? ? 1 ,所以 an ?2 ? 3an , 所以 a2, a4, a6,

, a2n ,

是首项为 a2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,

因此 a2n ? 2 ? 3n ?1 。………………………………4 分

综上 an ? ?

?n , n 是奇 ? 2?3 ? ?
n ?1 2

……………………………………………6 分

, n 是偶

(2)由(1)得 S 2n ? (a1 ? a 3 ?

? a2n ?1 ) ? (a2 ? a4 ?

? a2n ) ? 3n ? n 2 ? 1 …8 分

S 2n ?1 ? S 2n ? a2n ? 3n ?1 ? n 2 ? 1 ……………………………………10 分
? n n2 2 ? ?3 ? 4 ? 1, n 是偶 所以 S n ? ? n ?1 ……………………………………12 分 2 ( n ? 1) ?3 2 ? ? 1, n 是奇 ? ? 4
11、解: (1)当 n =1 时,有 4 ? (1 ? 1)(a1 +1 )( = 1+2) a1 ,解得 a1 =8 .
2

当 n =2 时,有 4 ? (2 ? 1)(a1 ? a2 ? 1) ? (2 ? 2)2 a2 ,解得 a2 =27 .……………2 分 (2) (法一)当 n ? 2 时,有 4( S n ? 1) ?

(n ? 2) 2 an , ……………① n ?1

- 11 -

4( Sn?1 ? 1) ?

(n ? 1)2 an?1 .…………………② n

①—②得: 4an ?

(n ? 2) 2 an (n ? 1) 2 an ?1 a (n ? 1)3 ,即: n = .…………5 分 ? n ?1 n an?1 n3

?

an a ?1 a a2 = n3 = n?2 3 ? … ? 3 =1. 3 (n ? 1) n (n ? 1) 3
………………………………………8 分

? an =(n ? 1)3 (n ? 2) .
另解: an ? 又

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a2 (n ? 1)3 n3 ? a1 ? ? ? a1 n3 (n ? 1)3

?

43 3 ? 2 ? (n ? 1)3 . 33

当 n =1 时,有 a1 =8 ,

? an =(n ? 1)3 .…………………………8 分

(法二)根据 a1 =8 , a2 =27 ,猜想: an =(n ? 1)3 .………………………………3 分 用数学归纳法证明如下: (Ⅰ)当 n ? 1 时,有 a1 ? 8 ? (1 ? 1) ,猜想成立.
3

(Ⅱ)假设当 n ? k 时,猜想也成立,即: ak =(k ? 1)3 . 那么当 n ? k ? 1 时,有 4(k ? 1 ? 1)(Sk ?1 ? 1) ? (k ? 1 ? 2)2 ak ?1 , 即: 4( Sk ?1 ? 1) ?

(k ? 1 ? 2)2 ak ?1 ,………………………① k ?1?1

(k ? 2) 2 ak 又 4( S k ? 1) ? , …………………………② k ?1
①-②得: 4ak ?1 ?

(k ? 3)2 ak ?1 (k ? 2)2 ak (k ? 3) 2 ak ?1 (k ? 2)2 (k ? 1)3 ? = ? , k ?2 k ?1 k ?2 k ?1

解,得 ak +1 ? (k ? 2)3 ? (k ? 1 ? 1)3 .

? 当 n ? k ? 1 时,猜想也成立.
因此,由数学归纳法证得 an =(n ? 1)3 成立.………………………………………8 分 (3)

bn ?

n ?1 1 1 1 1 = ? ? ? , ……………………………10 分 2 an (n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1

- 12 -

? Tn =b1 ? b2 ? b3 ? …? bn?1 ? bn =

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ?…? 2 ? 2 2 3 4 n (n ? 1) 2

<

1 1 1 1 1 ? ? ?…? ? 2 2 2?3 2?3 (n ? 1)n n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? ( ? ) ? ( ? ) ?…? ( ? )?( ? ) 4 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1
1 1 1 3 = ? ? ? . 4 2 n ?1 4
………………………………………14 分

【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识,考查 了学生的运算能力,以及化归与转化的思想.

- 13 -


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