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高中数学人教A版必修三 1.3 算法案例 课件(67张)_图文

1.3 算法案例 【知识提炼】 1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法: ①辗转相除法:又叫_________算法,是一种求两个正整数的 ___________的古老有效的算法. 欧几里得 最大公约数 ②程序 INPUT m,n DO r=________ m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL PRINT m END r=0 (2)更相减损术: ①我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的 ___________的算法. ②运算过程 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是, 最大公约数 ________;若不是,执行第二步. 用2约简 第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与_________比 较小的数 较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的数_____ 为止,则 这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 相等 2.秦九韶算法 功能 改写后 的形式 计算n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0 从括号最内层开始,由内向外逐层计算 v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, 计算方法 … vn=vn-1x+a0, 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求______________ n个一次多项式 的值 3.进位制及进位制之间的互化 (1)进位制: ①概念:进位制是为了_______________而约定的记数系统, “满几进一”就是几进制. ②基数:几进制的基数就是 ___. 计数和运算方便 几 (2)不同进位制之间的互化: ①k进制化为十进制的方法: anan-1…a1a0(k)=__________________________(an,an-1,…,a1,a0∈N, 0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k). ②十进制化为k进制的方法 —— __________. an×kn+an-1 ×kn-1 +…+a1×k+a0 除k取余法 【即时小测】 1.思考下列问题: (1)实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么? 提示:先判断a,b是否为偶数,若是,都除以2再进行. (2)任何进位制中都要用到的数字是什么? 提示:0和1. 2.将101111011(2)转化为十进制的数为 ( ) A.376(10) B.377(10) C.378(10) D.379(10) 【解析】选D.101111011(2)=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+ 0×22+1×21+1×20=379(10). 3.用更相减损术可求得78与36的最大公约数是 ( A.3 B.4 C.6 D.12 【解析】选C. 78=39×2,36=18×2, 39-18=21,21-18=3, 18-3=15,15-3=12, 12-3=9,9-3=6, 6-3=3,因此最大公约数为2×3=6. ) 4.利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数时,第二步是 【解析】第一步:6497=3869×1+2628 第二步:3869=2628×1+1241. 答案:3869=2628×1+1241 . 5.已知多项式f(x)=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5,用秦 九韶算法求得f(-0.2)= . 【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((0.00833x+0.04167)x+0.16667)x+0.5)x+1)x+1. 按照从内到外的顺序依次计算一次多项式当x=-0.2时的值: v0=0.00833; v1=0.00833×(-0.2)+0.04167=0.040004; v2=0.040004×(-0.2)+0.16667=0.1586692; v3=0.1586692×(-0.2)+0.5=0.46826616; v4=0.46826616×(-0.2)+1=0.906346768; v5=0.906346768×(-0.2)+1=0.8187306464. 所以当x=-0.2时,多项式的值为0.8187306464. 答案:0.8187306464 【知识探究】 知识点1 辗转相除法与更相减损术 观察如图所示的内容,回答下列问题: 问题1:用辗转相除法求两数的最大公约数的原理是什么? 问题2:用更相减损术求最大公约数应按照怎样的步骤进行? 【总结提升】 1.辗转相除法的原理 设m,n是两个正整数(不妨设m>n), (1)用m除以n,若商为q1,余数为r1(0≤r1<n),则m=n·q1+r1,显然若x 是m和n的公约数,即x能整除m和n,则x也必然能整除r1,这样x也是n 和r1的公约数,故求m和n的公约数就是求n和r1的公约数. (2)用n除以r1,得n=r1·q2+r2(0≤r2<r1),所以n和r1的公约数就是r1和 r2的公约数,…,依次下去,由于m>n>r1>r2>…,所以到某一步必然有 ri=ri+1·qi+2,即ri恰能被ri+1整除,这时ri+1是ri和ri+1的公约数,它也 必然是ri-1和ri,ri-2和ri-1,…,r1与r2,n和r1,m和n的最大公约数. 2.更相减损术求最大公约数的程序设计 【知识拓展】更相减损术与辗转相除法的区别与联系 辗转相除法 ①以除法为主 区 别 运算次数较少 果 联 系 更相减损术 ①以减法为主 数较多 ④相减前要做是否都是偶数的判断 ②两个整数差值较大时 ②两个整数的差值较大时,运算次 ③相除余数为零时得结 ③相减,差与减数相等得结果 ①都是求最大公约数的方法 ②二者的实质都是递归的过程 ③二者都要用循环结构来实现


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