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高中数学湘教版选修2-1(理科)第3章3.2 空间向量的坐标《习题2》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学湘教版选修 2-1 (理科) 第 3 章 3.2 空间向量的坐标 《习 题 2》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案 1 教学目标 1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 2.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标. 3.掌握空间向量的坐标运算,会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直. 4.掌握向量长度,两向量夹角和两点间距离公式. 2 重点难点 重点:空间向量基本定理 难点:根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直,两向量夹角和两点间距离公式. 3 教学过程 3.1 第一学时 3.1.1 教学活动 活动 1【讲授】教学过程 (一)复习引入 1.平面向量的基底要求二个基向量不共线,那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件? 答案 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底,基底选定后,空间任意向 量均可由基底唯一表示. 2.怎样进行空间向量的坐标运算? 答案 空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似,两个向量的加、 减、 数乘运算就是向 量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算;空间两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积之和. (二)新课教学 1.设 e1,e2,e3 是空间中三个两两垂直的单位向量,则 (1)空间中任意一个向量υ 可以写成这三个向量的线性组合:υ =xe1+ye2+ze3. (2)上述表达式中的系数 x、y、z 由υ 唯一决定,即: 如果υ =xe1+ye2+ze3=x′e1+y′e2+z′e3,则 x=x′,y=y′,z=z′. 2.两两垂直的单位向量 e1,e2,e3 组成空间的一组基底.将空间的向量υ 写成υ =xe1+ye2+ze 3 的形式之后,表达式中的系数组成的有序数组(x、 y、 z)称为υ 在这组基底下的坐标.坐标(x, y,z)可以表示向量υ ,向量的运算可以归结为坐标的运算.可以直接用等式υ =(x,y,z)来表 明向量υ 的坐标是(x,y,z). 3.(空间向量基本定理)设 e1,e2,e3 是空间中三个不共面的单位向量.则 (1)空间中任意一个向量υ 可以写成这三个向量的线性组合:υ =xe1+ye2+ze3. (2)上述表达式中的系数 x、y、z 由υ 唯一决定,即: 如果υ =xe1+ye2+ze3=x′e1+y′e2+z′e3,则 x=x′,y=y′,z=z′. 4.设在空间取定了三个两两垂直的单位向量 e1,e2,e3 组成一组基底.将空间中每个向量υ 用它的坐标(x,y,z)来表示.则 (1)向量的加减法 (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2), (x1,y1,z1)-(x2,y2,z2)=(x1-x2,y1-y2,z1-z2). (2)向量与实数的乘法 a(x,y,z)=(ax,ay,az). (3)向量的数量积: (x1,y1,z1)?(x2,y2,z2)=x1x2+y1y2+z1z2. (4)求向量υ =(x,y,z)的模的公式 |υ |=x2+y2+z2. (5)求向量(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)所成的角α 的公式: cos α =x1x2+y1y2+z1z2x21+y21+z21x22+y22+z22 . 5.在空间中任意取定一点 O(称为原点),则每个点 P 对应于唯一一个向量 OP→.反过来,每个 向量υ 对应于唯一的一个点 P 使υ =OP→.在原点 O 确定之后,向量 OP→唯一地确定了点 P 的 位置,称为点 P 的位置向量. 6.以 O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,以 e1,e2,e3 共同的长 度为单位长,建立空间直角坐标系,则点 P 在此坐标系下的坐标就是向量 OP→的坐标(x、y、 z). 7.(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标. (2)两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离 dAB= x2-x1 2+ y2-y1 2+ z2-z1 2. (3)线段的中点坐标,等于线段两端点坐标的平均值. (三)问题解决 要点一 空间向量分解 问题 1 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M、 N 分别是 AB、 PC 的中点,并且 PA=AD,设 D A→=e1, A B→=e2, A P→=e3.用 e1、e2、e3 表示 MN→. 解 如图,∵PA=AD=AB,且 PA⊥平面 ABCD,AD⊥AB, ∴M N→=M A→+A P→+P N→ =M A→+A P→+12PC→ =M A→+A P→+12(P A→+A D→+DC→) =-12e2+e3+12(-e3-e1+e2) =-12e1+12e3. 规律方法 由于 e1,e2,e3 是不共面的三个向量,因此 e1,e2,e3 可以作为空间的一个基底.用 基底表示空间向量时,要注意运用数形结合的方法,向基向量靠拢. 跟踪演练 1 如图所示,平行六面体 A1B1C1D1-ABCD,M 分 AC→成的比为 12,N 分 A1D→成的比 为 2,设 AB→=a,AD→=b,AA1→=c,试用 a、b、c 表示 MN→. 解 MN→=MA→+AA1→+A1N→ =13CA→+AA1→+23A1D→ =-13AC→+AA1→+23A1A→+AD→ =-13(a+b)+c+23(-c+b) =-13a+13b+13c. 要点二 空间向量的坐标运算 问题 2 已知 a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求 a+b,a-b,a?b,(2a)?(-b),(a+b)?(a-b). 解 a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4) =(2,-2,2); a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4) =(2,0,-6); a?b=(2,-1,-2)?(0,-1,4) =2×0+(-1)×(-1)+(-2)


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