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第三章 3.2导数与函数的单调性、极值、最值


§ 3.2
知识梳理:

导数与函数的单调性、极值、最值

1.函数的单调性:如果在某个区间内,函数 y=f(x)的导数 f′(x)>0,则在这个区间上,函 数 y=f(x)是增加的;如果在某个区间内,函数 y=f(x)的导数 f′(x)<0,则在这个区间上,函 数 y=f(x)是减少的. 2.求函数极值点的步骤: (1)求出导数 f′(x); (2)解方程 f′(x)=0; (3)对于 f′(x)=0 的 每一个解 x0:①若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”,则 x0 为极大值点;②若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”,则 x0 为极小值点;③若 f′(x)在 x0 两侧的符号相同,则 x0 不是 极值点. 3.函数的最值: (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2) 若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x) 在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a, b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:①求 f(x)在(a, b)内的极值;②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一 个是最小值. 课前检测: 1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调减区间是( A.(0,1) B.(1,+∞) ) 答案 A

C.(-∞,1) D.(-1,1)

2 2?x+1??x-1? 解析 ∵f′(x)=2x- = (x>0).∴当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x x 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 2.(2013· 浙江)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 答案 C 解析 当 k=1 时,f′(x)=ex· x-1,f′(1)≠0,∴x=1 不是 f(x)的极值点. 当 k=2 时,f′(x)=(x-1)(xex+ex-2),显然 f′(1)=0,且 x 在 1 附近的左边 f′(x)<0, x 在 1 附近的右边 f′(x)>0,∴f(x)在 x=1 处取到极小值.故选 C. 3. 函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2, 对任意 x∈R, f′(x)>2, 则 f(x)>2x+4 的解集为( ) )

A.(-1,1)

B.(-1,+∞)

C.(-∞,-1)

D.(-∞,+∞)

答案 B

解析 设 m(x)=f(x)-(2x+4),∵m′(x)=f′(x)-2>0,∴m(x)在 R 上是增函数.∵m(-1) =f(-1)-(-2+4)=0,∴m(x)>0 的解集为{x|x>-1},即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞). ln x ln x 2 ln x2 ln x ln x ln x2 4. 设 1<x<2, 则 , ( ) , 2 的大小关系是_____. (用“<”连接) 答案 ( )2< < 2 x x x x x x 1 x-1 解析 令 f(x)=x-ln x(1<x<2),则 f′(x)=1- = >0,∴函数 y=f(x)(1<x<2)为增函数, x x ln x ln x ln x ∴f(x)>f(1)=1>0,∴x>ln x>0?0< <1,∴( )2< . x x x 又 ln x2 ln x 2ln x-xln x ?2-x?ln x ln x ln x ln x2 = = >0,∴( )2< < 2 . 2 - 2 2 x x x x x x x

应用示例:题型一 利用导数研究函数的单调性 例 1 已知函数 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3) 上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由. 思维点拨 函数的单调性和函数中的参数有关,要注意对参数的讨论. 解 f′(x)=ex-a,

(1)若 a≤0,则 f′(x)=ex-a≥0,即 f(x)在 R 上单调递增, 若 a>0,令 ex-a≥0,则 ex≥a,x≥ln a. 因此当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为 R, 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为[ln a,+∞). (2)∵f′(x)=ex-a≤0 在(-2,3)上恒成立.∴a≥ex 在 x∈(-2,3)上恒成立. ∴e 2<ex<e3,只需 a≥e3.


当 a=e3 时,f′(x)=ex-e3<0 在 x∈(-2,3)上恒成立,即 f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3. 故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(-2,3)上为减函数. 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性; (2)已知函数的单调性求参数范围可以 转化为不等式恒成立问题; (3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为零.应注意此时式子中的等号不能省略,否 则漏解. 1 (1)设函数 f(x)= x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数 a>1,则 f(x)的单调减区间 3 为_________________________________. 答案 (1)(2,2a) (2)(-∞,-1]

1 (2)若 f(x)=- x2+bln(x+2)在[-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是________. 2 解析 (1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),

由 a>1 知,当 x<2 时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数; 当 2<x<2a 时,f′(x)<0, 故 f(x)在区间(2,2a)上是减函数; 当 x>2a 时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数. 综上, 当 a>1 时, f(x)在区间(-∞, 2)和(2a, +∞)上是增函数, 在区间(2,2a)上是减函数. (2)转化为 f′(x)=-x+ b ≤0 在[-1,+∞)上恒成立, x+2

即 b≤x(x+2)在[-1,+∞)上恒成立,令 g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1, 所以 g(x)min=-1,则 b 的取值范围是(-∞,-1]. 题型二 利用导数求函数的极值 例2 (2014· 福建)已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点

A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex. (1)解 由 f(x)=ex-ax,得 f′(x)=ex-a. 又 f′(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2. 当 x<ln 2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值, 且极小值 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值. (2)证明 令 g(x)=ex-x2,则 g′(x)=ex-2x.由(1)得 g′(x)=f(x)≥f(ln 2)>0. 故 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=1>0,因此,当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex. 思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一

定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点. (2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区 间上单调函数没有极值. ex 4 设 f(x)= 2,其中 a 为正实数. (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; (2)若 f(x) 3 1+ax 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 1+ax2-2ax 解 对 f(x)求导得 f′(x)=ex· .① ?1+ax2?2

4 3 1 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0,解得 x1= ,x2= .结合①,可知 3 2 2 x f′(x) f(x)

?-∞,1? 2? ?
+ ↗

1 2 0 极大值

?1,3? ?2 2?
- ↘

3 2 0 极小值

?3,+∞? ?2 ?
+ ↗

3 1 所以 x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数, 则 f′(x)在 R 上不变号, 结合①与条件 a>0, 知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立,即 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1.所以 a 的取值 范围为{a|0<a≤1}. 题型三 利用导数求函数的最值 例3 (2014· 四川改编)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自然

对数的底数.设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值. 解 由 f(x)=ex-ax2-bx-1,有 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b.所以 g′(x)=ex-2a. 1 因此,当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].当 a≤ 时,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上 2 单调递增,因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减,因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e 2 1 e -2a-b;当 <a< 时,令 g′(x)=0 得 x=ln(2a)∈(0,1),所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上 2 2 单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增.于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a- 1 1 e 2aln(2a)-b.综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b;当 <a< 时,g(x) 2 2 2 e 在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1) 2 =e-2a-b. 思维升华 (1)求解函数的最值时,要先求函数 y=f(x)在(a,b)内所有使 f′(x)=0 的点,再 计算函数 y=f(x)在区间内所有使 f′(x)=0 的点和区间端点处的函数值,最后比较即得. (2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况. 已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小

值. 解 (1)由题意知 f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1.

f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,k-1) - ↘ k-1 0 -ek
-1

(k-1,+∞) + ↗

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0) =-k;当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, f(x)在[0,k-1]上单调递减,在[k-1,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1;当 k-1≥1,即 k≥2 时,f(x)在[0,1]上单


调递减,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 综上,当 k≤1 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(0)=-k;当 1<k<2 时,f(x)在[0,1]上的最小值 为 f(k-1)=-ek 1;当 k≥2 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.


答题模版系列 3:利用导数求函数的最值问题 典例:(12 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 思路点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f′(x)>0,f′(x)<0 的解区间,并注 意定义域.(2)先研究 f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)由于解析式 中含有参数 a,要对参数 a 进行分类讨论. 规范解答 解 1 1 (1)f′(x)= -a (x>0),①当 a≤0 时,f′(x)= -a>0,即函数 f(x)的单调增区间为(0, x x

+∞).[2 分] 1-ax 1 1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)= -a=0,可得 x= ,当 0<x< 时,f′(x)= >0; x a a x 1-ax 1? 1 当 x> 时, f′(x) = <0 ,故函数 f(x) 的单调递增区间为 ? ?0,a? ,单调递减区间为 a x

?1,+∞?.[4 分] ?a ?
1 (2)①当 ≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以 f(x)的最小值是 f(2)=ln 2 a

1 1 -2a.[5 分] ②当 ≥2,即 0<a≤ 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以 f(x)的最小值 a 2 是 f(1)=-a.[6 分] 1? 1 1 ?1 ? ③当 1< <2,即 <a<1 时,函数 f(x)在? ?1,a?上是增函数,在?a,2?上 a 2

1 是减函数.又 f(2)-f(1)=ln 2-a, 所以当 <a<ln 2 时,最小值是 f(1)=-a;当 ln 2≤a<1 2 时,最小值为 f(2)=ln 2-2a.[10 分] 综上可知, 当 0<a<ln 2 时,函数 f(x)的最小值是-a; 当 a≥ln 2 时,函数 f(x)的最小值是 ln 2-2a.[12 分]

答题模板:用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以
下几步答题:第一步:求导数:求函数 f(x)的导数 f′(x);第二步:求极值:求 f(x)在给定 区间上的单调性和极值;第三步:求端点值:求 f(x)在给定区间上的端点值;第四步:求最 值:将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较,确定 f(x)的最大值与最小值;第五步:反思: 反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范. 温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间, 求函数在给定区间[1,2]上的最值, 属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面,不准确的情况. (3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题. 课堂小结: 1.注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求参数值(范围)时,隐含恒成立思想. 2.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小. 3.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大 值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.



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