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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第2章 5

§ 5
一、基础过关

简单复合函数的求导法则
( π B.y=cos(x+ ) 4 D.y=(2x+3)4 ( 6 B. ?3x-1?2 6 D.- ?3x-1?2 ( B.y′=2xex2-1 D.y′=ex2-1 ( ) ) ) )

1. 下列函数不是复合函数的是 1 A.y=-x3- +1 x 1 C.y= ln x 1 2. 函数 y= 的导数是 ?3x-1?2 6 A. ?3x-1?3 6 C.- ?3x-1?3 3. y=ex2-1 的导数是 A.y′=(x2-1)ex2-1 C.y′=(x2-1)ex 4. 函数 y=x2cos 2x 的导数为 A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x B.y′=2xcos 2x-2x2sin 2x C.y′=x2cos 2x-2xsin 2x D.y′=2xcos 2x+2x2sin 2x 5. 函数 y=(2 011-8x)3 的导数 y′=________. π π 6. 曲线 y=cos(2x+ )在 x= 处切线的斜率为________. 6 6 7. 函数 f(x)=x(1-ax)2(a>0),且 f′(2)=5,则实数 a 的值为________. 二、能力提升 8. 已知直线 y=x+1 与曲线 f(x)=ln(x+a)相切,则 a 的值为 A.1 B.2 C.-1

( D.-2 ( D.e2

)

1 9. 曲线 f(x)=e x 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2 9 A. e2 2 10.求下列函数的导数: (1)y=(1+2x2)8;(2)y= 1 2 2;(3)y=sin 2x-cos 2x;(4)y=cos x . 1-x B.4e2 C.2e2

)

11.已知 a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l 是曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线.求切线

l 的方程. 12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 s(单位:m)关于时间 t(单位: 7 s)的函数为 s=s(t)=5- 25-9t2.求函数在 t= s 时的导数,并解释它的实际意义. 15 三、探究与拓展 13.求证:可导的奇函数的导函数是偶函数.

答案
1.A 2.C 3.B 4.B 5.-24(2 011-8x)2 6.-2 7.1 8.B 9.D 10.解 (1)设 y=u8,u=1+2x2, ∴y′=(u8)′(1+2x2)′ =8u7· 4x=8(1+2x2)7· 4x =32x(1+2x2)7. (2)设 y= u
? 1 2 ,u=1-x2, 1 1 2 )′(1-x2)′=(- ?

则 y′=( u

?

2u

3 3 ? 2 2 2 )· (-2x)=x(1-x ) .

(3)y′=(sin 2x-cos 2x)′=(sin 2x)′-(cos 2x)′=2cos 2x+2sin 2x π =2 2sin(2x+ ). 4 (4)设 y=cos u,u=x2, 则 y′=(cos u)′· (x2)′=(-sin u)· 2x =(-sin x2)· 2x=-2xsin x2. 11.解 f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.

1 ∴f′(x)=2ax-2+ x+1 = 2ax2+?2a-2?x-1 , x+1

f′(0)=-1, ∴切点 P 的坐标为(0,1),l 的斜率为-1, ∴切线 l 的方程为 x+y-1=0. 12.解 函数 s=5- 25-9t2可以看作函数 s=5- x和 x=25-9t2 的复合函数,其中 x 是中 间变量. 由导数公式表可得 sx′=- xt′=-18t. 故由复合函数求导法则得 st′=sx′· xt′ 1 1 9t =(- x- )· (-18t)= , 2 2 25-9t2 7 将 t= 代入 s′(t), 15 7 得 s′( )=0.875 (m/s). 15 1 ?2 , 2x
1

它表示当 t=

7 s 时,梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s. 15

13. 证明 设 y=f(x)是奇函数, 即 f(-x)=-f(x), 两边对 x 求导, 得 f′(-x)· (-x)′=-f′(x), 即-f′(-x)=-f′(x), f′(-x)=f′(x),故原命题成立.



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