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等积法求体积点到面的距离【教师版】

等积法求三棱锥的体积【教师版】

2014/10/14

由于三棱锥是由 4 个三角形围成的四面体, 任何一个三角形都可以看成其底面。 但在求 体积时需要选择合适的底和高,这就需要灵活换底面,但是三棱锥的体积保持不变。这种方 法我们称为“等积法” ,它是三棱锥求体积的巧妙方法,也是其“专属产品” 。其他的,如四 棱锥求体积就不能随意换底,不能用等积法求体积。另外,等积法的优越性还体现在求“点 到平面的距离”中。 【注意】等积法求体积时,要谨记“先证后求”的原则,先作出或证明底面的高,再计 算三棱锥的体积。 例1

1

例 2. (2011 佛山一中三校联考) 如图,已知三棱锥 A—BPC 中,AP⊥PC, AC⊥BC, M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形。 (Ⅰ)求证:DM∥平面 APC; (Ⅱ)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (Ⅲ)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积.

例 2.解: (Ⅰ)由已知得, MD 是 ? ABP 的中位线

? MD ∥ AP

……………2 分

? MD ? 面APC, AP ? 面APC

? MD ∥ 面APC
? MD ? PB ,

……………4 分

(Ⅱ)? ?PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, …………………5 分 …………………6 分 ……………………7 分

? AP ? PB
? BC ? 面PBC

又? AP ? PC, PB ? PC ? P ? AP ? 面PBC

? AP ? BC
………………9 分 ………………10 分

又? BC ? AC, AC ? AP ? A ? BC ? 面APC

? BC ? 面ABC ? 平面 ABC⊥平面 APC

(Ⅲ)∵ MD ? 面PBC ,? MD 是三棱锥 M—DBC 的高,且 MD= 5 3 …11 分 又在直角三角形 PCB 中,由 PB=10,BC=4,可得 PC= 2 21 于是 S ?BCD ? ………12 分

1 S ?BCP = 2 21 , ………………………………………………13 分 2 1 ? VD? BCM = VM ? DBC ? Sh ? 10 7 …………………………14 分 3

例 3. (茂名 2010 二模)如图,在底 面是菱形的四棱锥 S—ABCD 中,SA=AB=2, SB ? SD ? 2 2. (1)证明: BD ? 平面 SAC; (2)问:侧棱 SD 上是否存在点 E,使得 SB//平面 ACE?请证明你的结论; (3)若 ?BAD ? 120 ,求几何体 A—SBD 的体积。
0

2

例 3.解: (1)

四棱锥 S—ABCD 底面是菱形,

? BD ? AC 且 AD=AB,
又 SA=AB=2, SB ? SD ? 2 2.

? SA2 ? AB2 ? SB2 , SA2 ? AD2 ? SD2
? SA ? AB, SA ? AD ,
又 AB ? AD ? A , 2 分 ? SA ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD,从而 SA ? BD 3 分 又 SA ? AC ? A , ? BD ? 平面 SAC。 4 分 (2)在侧棱 SD 上存在点 E,使得 SB//平面 ACE,其中 E 为 SD 的中点 证明如下:设 BD ? AC ? O ,则 O 为 BD 的中点, 又 E 为 SD 的中点,连接 OE, 则 OE 为 ?SBD 的中位线。 7 分 ? OE / / SB ,又 OE ? 平面 AEC,SB ? 平面 AEC ? SB / / 平面 ACE 10 分 (3)当 ?BAD ? 1200 时, S?ABD ? 8分

6分

1 1 3 AB ? AD sin1200 ? ? 2 ? 2 ? ? 3 2 2 2

12 分

? 几何体 A—SBD 的体积为
1 1 2 3 VA? SBD ? VS ? ABD ? S?ABD ? SA ? ? 3 ? 2 ? . 3 3 3
14 分

点到面的距离
一、知识点 (求点到面的距离主要方法: )

(1)直接法:由定义作出垂线段并计算,用线面和面面垂直的判定及性质来作; (2)转移法:若直线 AB / / 平面 ? ,则直线 AB 上任意一点到平面的距离相等; (3)等体积法:用同一个三棱锥选不同底计算体积,再求高,即点到面的距离。

二、基础热身

1、在棱长为 a 的正方体 AC1 中找出表示下列距离的垂线段:
直接法:
(1)点 A 到面 BCC1 B1 的距离 (2) B1 D1 到面 ABCD 的距离 (3)点 A 到面 BDD1 B1 的距离 (4)求 C 到平面 BDC1 的距离 ; ; . 。 AC 1
3

转移法:
棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, E , F 分别是棱 AA ', BB ' 中点,求点 B ' 到平面 D ' EF 的距离

D'

C'

A' E A D

B' F B C

提示: 因为 A ' B '/ / EF ? A ' B '/ / 平面D ' EF , 所以点 B ' 到平面 D ' EF 的距离即为点 A ' 到平面 D ' EF 的 距离。作 A ' H ? ED ' ,证明 A ' H ? 平面D ' EF 。 A ' H ? 【活学活用】

5 。 5

3、在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,E,F 分别为棱 BB ' 和 CD 的中点, 求点 F 到平 面 A ' D ' E 的距离。
D' C'

A' D A E

B' F C

B

提示:法一

直接法:将三角形扩大到平行四边形,高

FH ? 平面A ' D ' GE 。
取 CC ' 的中点 G,连接 D ' G 、EG,过 F 作垂线 FH⊥ D ' G 。 可以证得 EG//

A ' D ' ,所以平面 A ' D ' GE ,即平面 A ' D ' E 。

可以证得 EG⊥平面 DCC ' D ' ,所以 EG⊥FH

4

由 FH⊥ D ' G 、EG⊥FH,EG ∩ D ' G = G 可知 FH⊥平面 所以 FH 即 F 到平面

A ' D ' GE

A ' D ' E 距离。

根据勾股定理可以求得: D ' G

2

1 5 5 ? 1 ? ( )2 ? , D ' G ? 2 4 2

又知:△ FD ' G 的面积 = S 四边形 DCC ' D ' - S△ DD ' F - S△ D ' C ' G - S△FGC

3 2? 1 1 1 3 8 ?3 5。 ? 1 ? ? ? ? , FH ? 4 4 8 8 D ' G 10
D' C'

A' D Q A

B' E B F C

法二:转移法:

P

FP / / 平面 A ' D ' E ,作 PQ ? A ' E 。

等积法求点到面的距离: 4. 已知在棱长为 1 的正方体 ABCD-A?B?C ?D? 中, E、F 分别是 A?B ? 、CD 的中点, 求点 B 到平面 AEC ?F
的距离。

D' A' E B' D F A B

C'
等积法 VB? AEF ? VF ? AEB

C

6 3

三、知识运用 例 1: 如图四棱锥 S ? ABCD , AB ? AD, AB // CD, CD ? 3 AB ,面 SAD ? 面ABCD , M 是线段 AD
上一点, AB ? AM ? 1, DM ? DC, SM ? AD . (1)证明: BM ? 面SMC (2)求点 C到面SMB 的距离。

5

EX1 如图,在边长为 a 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60? , PC ? 面ABCD ,E,F 是 PA 和 AB 的中点。 (1)求证: EF//平面 PBC ; (2)求 E 到平面 PBC 的距离。 P

E 提示:由(1)知 EF//平面 PBC, 所以 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离

a F H? B C , FH ? 即为所求。 2

D A

C

F

B

例 2: (2010 江苏卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC, ∠BCD=900。求点 A 到平面 PBC 的距离。

解析(方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F。 易知 DF=

2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2

(方法二)等体积法:连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。 从而 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1。 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V ?

1 1 S ?ABC ? PD ? 。 3 3

因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1,所以 PC ?

PD2 ? DC2 ? 2 。
2 。 2

由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积 S?PBC ?

6

由 VA? PBC ? VP? ABC , S

1 3

PBC

?h ?V ?

1 ,得 h ? 2 , 3

故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 EX2:(2010 广东文数)如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直 径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED,FB= 5a (1)证明:EB ? FD (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

【解析】 (1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面 FBD 又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a) 2 ? a 2 ? 2a
1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

在 Rt ?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ V F ? BDE ?

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,
∴ EF ? 6a, DE ? 5a ,在 Rt ?FCD 中, FD ?

5a , ∴ S ?FED ?

21 2 a , 2

∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21 4 21 a. 21

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

7

备用题: 1、 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,PD ? 底面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB‖CD, ? ABC=90。 ,求点 D 到平面 PAB 的距离.

第1题

2、 四 棱 锥 PAB

第2题

CD 中,底面 ABCD 为正方形,PA ? 底面 ABCD,AB= 6 , 分别求点 C 与点 D 到平面 PAB 的距离.

第3题

3、如图几何体是由正方体 ABCD-A1B1C1D1 与四棱锥 E-A1B1C1D1 组成,E 为 CC1 的延长线上 一点,且 EC1=CC1,AB=2,M 为 EB1 的中点,求点 M 到平面 ACD1 的距离. 4、 如图 ? BCD 与 ? MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD ? 平面 BCD, AB ? 平面 BCD, 求点 A 到平面 MCD 的距离.
P

2
A
D

O C 图5

B

2
图6

第4题

第5题

5、圆锥 PO 如图 5 所示, 图 6 是它的正(主)视图. 已知圆 O 的直径为 AB ,C 是 AB 的中点,D 为 AC 的 中点.
G

(1)求该圆锥的侧面积; (2)证明: AC ? 平面POD ; (3)求点 O 到平面 PAC 的距离.
D C E A F B

6、 如图,ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AD、AB 的中点,GC 垂直于 ABCD 所在的平面,且 GC=2,求点 B 到
8

第6题

平面 EFG 的距离。

7:如图,已知 ABCD 是矩形, AB ? a, PA ? AD ? 2a , PA ? 面ABCD , Q是PA的中点.求 P 到平 面 BQD 的距离.
P

Q

H A

D

E B C

8、圆锥 PO 如图 5 所示, 图 6 是它的正(主)视图. 已知圆 O 的直径为 AB ,C 是 AB 的中点,D 为 AC 的 中点. (1)求该圆锥的侧面积; (2)证明: AC ? 平面POD ; (3)求点 O 到平面 PAC 的距离. P

2
2
A
D

O C 图5

B

图6

9



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