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江苏省阜宁中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题_图文

江苏省阜宁中学 2015 秋学期高二期末考试 数学(理)试题 时间:120 分钟 分值:160 分

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 ) 1.在复平面内,复数 z ? ?1 ? i 2015 (i 为虚数单位)对应点在第___________象限. 2.抛物线 y ? 2 x 2 的焦点坐标为_____________. 3.设命题 p 的否定是“ ?x ? 0, x ? x ? 1 ” ,则命题 p 是_____________. 4.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? ?1 ? 5i (i 为虚数单位),则 | z |? _____________. 5.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 一个焦点 F(5,0)到渐近线的距离为 4,则其渐近线方程为 a 2 b2

_________. 6.给定两个命题 p, q ,若 ? p 是 q 的必要不充分条件,则 p 是 ? q 的_______________条件. (填“充要” , “充分不必要” , “必要不充分” , “既不充分也不必要” ) 7.曲线 f ( x) ? x ? sin x 在点(0, 0)处切线方程为_____________. 8.设 m ? R ,命题 p :方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,命题 q : ?x ? R, x2 ? mx ? m ? 0 . 若 m ?1 m ?1

命题 p ? q 为真命题,则 m 取值范围是_______________. 9.已知过圆 C : x 2 ? y 2 ? R 2 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程为 x0 x ? y0 y ? R2 ,类比上述结论,写 出过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 的切线方程_______________. a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,过椭圆中心作直线交椭圆于 A、B 两点,直线 a 2 b2

10.设 P 是椭圆

PA、PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1k2 ? ? ,则椭圆离心率为_____________. 11.二维平面中,圆的一维测度(周长) l ? 2? r ,二维测度(面积) S ? ? r 2 ;三维空间中, 球的二维测度(表面积) S ? 4? r 2 ,三维测度(体积) V ? ? r 3 ;应用合情推理,四维 空间中, “超球”的三维测度(超体) V ? 8? r 3 ,猜想其四维测度 W = _____________. 12.设 f ( x) ? ln x ?

1 4

4 3

m f (b) ? f (a) (m ? R) ,若对任意 b ? a ? 0, ? 1恒成立,则 m 的取值范围是 x b?a

_____________. 13.设 a , b 都为正实数且 a ? b ? 1 ,则

a2 b2 ? 的最小值为____________. a ?1 b ? 2

14.已知函数 f ( x) ? ex?1 ? x ? 2 ( e 为自然对数的底数 ), g ( x) ? x 2 ? ax ? a ? 3 ,若存在实数

x1 , x2 ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,且 | x1 ? x2 |? 1 ,则实数 a 的取值范围是_______________.
二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB//CD,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC=

1 AB=1. 2

⑴求证:平面 PAD⊥平面 PCD; ⑵求直线 AC 与直线 PB 所成角的余弦值.

16. (本题满分 14 分) ⑴已知不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 解集为 {x | 3 ? x ? 4} ,解关于 x 的不等式 ⑵已知函数 f ( x) ? x ?

bx ? 1 ? 0; ax ? 1

16 , x ? 2 ,求 f ( x) 的值域. x?2

17. (本题满分 14 分) 某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片,包含《新花好月圆》 、 《荷塘月色》等 10 首创新经典歌曲. 该公司计划用 x(百万元)请李老师进行创作,经调 研知,该唱片公司的总利润 y (百万元)与 (3 ? x) x2 成正比的关系,当 x ? 2 时 y ? 32 . 又 有

x ? (0, t ] ,其中 t 是常数,且 t ? (0,2] . 2(3 ? x)

⑴设 y ? f ( x) ,求其表达式及定义域(用 t 表示 x 的取值范围) ; ⑵求总利润 y 的最大值及相应的 x 的值.

18. (本题满分 16 分) ⑴设 a , b, c 均为正数,求证: a ? , b ? , c ?

1 b

1 c

1 中至少有一个不小于 2; a

⑵设函数 f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf ?( x), x ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 导函数). 已知 g1 ( x) ? g ( x), gn?1 ( x) ? g ( g n ( x)) n ? N* . 1°求 g1 ( x), g 2 ( x) ; 2°猜想 g n ( x ) 表达式,并用数学归纳法证明.

19. (本题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 1 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (0, 3) ,离心率为 . a 2 b2 2

⑴求椭圆方程; ⑵过 R(1,1)作直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,若 R 是线段 AB 中点,求直线 l 方程; ⑶过椭圆右焦点作斜率为 k 的直线 l1 与椭圆交于 M、N 两点,问:在 x 轴上是否存在点 P, 使得点 M、N、P 构成以 MN 为底边的等腰三角形,若存在,求出 P 点横坐标满足的条件; 若不存在,说明理由.

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ( x ? c) | x ? c |, a ? 0, c ? 0 .

1 ?1 ? ⑴当 a ? ?1, c ? , x ? ? , ?? ? 时,求 f ( x) 的单调区间; 2 ?2 ?
⑵当 c ?

a 1 ? 1 时,若 f ( x) ? 对 x ? (c, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 4

⑶ 设 函 数 f ( x) 的 图 象 在 点 P( x1 , f ( x1 )), Q( x2 , f ( x2 )) 两 处 的 切 线 分 别 为 l1 , l2 . 若

a x1 ? ? , 2

x2 ? c ,且 l1 ? l2 ,求实数 c 的最小值.



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