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高中数学第一章不等关系与基本不等式1不等式的性质学案北师大版选修4_5

§1

不等式的性质

1. 理解用两个实数差的符号来规定两个数大小的意义, 掌握求差比较法和求商比较法. 2.掌握不等式的性质,并能进行证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法、反证法证明简单不等式.

1.实数大小的比较 (1)求差比较法. ①a>b?______;②______?a-b<0;③a=b?______. 判断两个实数 a 与 b 的大小归结为判断它们的差 a-b 的符号,至于差究竟是多少则是 无关紧要的. (2)求商比较法. 当 a>0,b>0 时,① >1?______;②______?a<b;③ =1?______. 答案:(1)①a-b>0 ②a<b ③a-b=0 (2)①a>b ② <1 ③a=b 【做一做 1-1】比较大小:x +3__________3x(其中 x∈R). 16 18 【做一做 1-2】比较 18 与 16 的大小. 2.不等式的性质 (1)性质 1:如果 a>b,那么______;如果 b<a,那么______. (2)性质 2:如果 a>b,b>c,那么______. (3)性质 3:如果 a>b,那么 a+c>______. 推论:如果 a>b,c>d,那么 a+c>______. (4)性质 4:如果 a>b,c>0,那么 ac____bc;如果 a>b,c<0,那么 ac____bc. 推论 1:如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>____. 2 2 推论 2:如果 a>b>0,那么 a ____b . n n 推论 3:如果 a>b>0,那么 a ____b (n 为正整数).
1 1
2

a b

a b

a b

推论 4:如果 a>b>0,那么 a n ____ b n (n 为正整数). (1)引导学生掌握性质的证明方法,举反例是证明命题错误的主要方法,证明过程体现 数学的严谨性. (2)特别注意性质 4 使用的前提,不等号方向取决于 c 的符号. 【做一做 2-1】判断下列命题的真假,并说明理由. (1)如果 a>b,那么 a-c>b-c.

a b c c 【做一做 2-2】若 a>b>c,则下列不等式成立的是(
(2)如果 a>b,那么 > . 1 1 A.

). D.ac<bc

a-c b-c



B.

1

a-c b-c



1

C.ac>bc

答案: 1.(1)①a-b>0 ②a<b ③a-b=0 (2)①a>b ② <1 ③a=b

a b

9 ? 3?2 3 3 ? 3?2 2 2 【做一做 1-1】> (x +3)-3x=x -3x+3=?x- ? +3- =?x- ? + ≥ >0, 2? 4 4 4 ? ? 2? 2 即 x +3>3x.
1

【做一做 1-2】分析:两个数是幂的形式,比较大小一般采用求商的方法. 16 18 ?18?16 1 ?9?16 ? 1 ?16 ? 9 ?16, 解: 18=? ? · 2=? ? ·? ? =? ? 16 ?16? 16 ?8? ? 2? ?8 2? 9 ? 9 ?16 ∵ ∈(0,1),∴? ? <1. ?8 2? 8 2 ∵18 >0,16 >0,∴18 <16 . 2.(1)b<a a>b (2)a>c (3)b+c b+d (4)> < bd > > > 【做一做 2-1】分析:从不等式的性质找依据,与性质相符的为真,与性质不相符的 为假. 解:(1)真命题.理由:根据不等式的性质 3,由 a>b,可得 a+(-c)>b+(-c),即 a-c>b-c. (2)假命题.理由:由不等式的性质 4 可知,如果 a>b,c<0,则 < ,即不等式的两 边同乘以一个数时,必须明确这个数的正负. 【做一做 2-2】B ∵a-c>b-c>0,∴ 1 1
16 18 16 18

a b c c

a-c b-c





1.比较两个实数的大小 剖析:比较两个实数 a,b 的大小,可以转化为 a,b 的差与 0 的大小比较,这种比较大 小的方法称为求差比较法.它的主要步骤是:(1)作差;(2)变形(分解因式,配方等);(3) 判断差的符号;(4)下结论.其中最关键的是第(2)步,变形要有利于判断差的符号才行. 比较两个实数 a,b 的大小,也可以转化为 a 与 b 的商与 1 的大小比较,这种比较大小 的方法称为求商比较法.它的主要步骤是:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与 1 的大小关系; (4)下结论. 其中最关键的是第(3)步, 在第(4)步中要注意不等号的方向, 不等号的方向受分母的符 号的影响. 2.不等式和等式的基本性质的区别与联系 剖析: 区别: 在等式的两边同乘以或除以同一个数(除数不为 0)时, 所得结果仍是等式; 在不等式的两边同时乘以或除以同一个数 (除数不为 0)时会出现两种情况:若这个数为正 数,则不等号方向不变,若这个数为负数,则不等号方向改变. 联系:不等式的基本性质和等式的基本性质,对等式(或不等式)两边形式的变化相同, 讨论的都是两边同时加上或减去,同时乘以或除以(除数不为 0)同一个数时的情况.

题型一 利用作差法比较大小 【例 1】比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 分析:此题为两个代数式比较大小,可先作差,然后展开,合并同类项后,判断差值的 正负. 反思:利用作差法比较大小,实际上是把比较两数大小的问题转化为数的运算符号问 题.作差时,只需看差的符号,至于差的值究竟是多少,这里无关紧要.如本题,只需看差 -7 的正负即可. 题型二 利用作商法比较大小 2a 2b 2c b+c c+a a+b 【例 2】已知 a>b>c>0,比较 a b c 与 a b c 的大小. 分析:用求差比较法不易变形,所以用求商比较法. 反思:用求商比较法比较两个式子的大小时,第(2)步的变形要向着有利于判断商与 1 的大小关系的方向变形,这是最重要的一步. 题型三 利用不等式的性质证明不等式 【例 3】已知 a>b>c>d>0,且 = ,求证:a+d>b+c.

a c b d

2

分析:利用不等式的性质,将已知等式进行适当变形,注意符号的变化. 反思:在证明不等式时,往往不等式的性质和比例式的性质联合使用,使式子间转换更 迅速.如本题,不仅有不等式性质应用的信息,更有比例的信息.因此这道题既要重视性质 的运用技巧,也要重视比例性质的应用技巧. 题型四 易错辨析 2 【例 4】 已知函数 f(x)=ax -c, -4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
? ?-4≤a-c≤-1, 错解:依题意,得? ? ?-1≤4a-c≤5, 由(1),(2)利用不等式的性质进行加减消元,得 0≤a≤3,1≤c≤7,(3) ∴由 f(3)=9a-c,可得-7≤f(3)≤26. 错因分析:由(1)(2)得到不等式(3)是利用了不等式的性质中的加法法则,而此性质是 单向的,不具有可逆性,从而使得 a,c 的范围扩大,这样 f(3)的范围也随之扩大了. 反思:解本题时,利用 f(1),f(2)设法表示 a,c,然后再代入 f(3)的表达式中,从而 用 f(1)和 f(2)来表示 f(3),最后运用已知条件确定 f(3)的取值范围. 答案: 【例 1】解:由题意,作差得 (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) 2 2 =(a -2a-15)-(a -2a-8) =-7<0, 所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 2a 2b 2c b+c c+a a+b 【例 2】解:由 a>b>c>0,得 a b c >0,a b c >0.

a2ab2bc2c aaaabbbbcccc 所以 b+c c+a a+b= b c c a a b a b c aabbcc a-b a-c b-c b-a c-a c-b =a ·a ·b ·b ·c ·c ?a?a-b ?a?a-c ?b?b-c =? ? ·? ? ·? ? . ?b? ?c? ?c? a ?a?a-b ∵a>b>0,∴ >1,a-b>0,即? ? >1. b ?b? b a ? ?b-c ? ?a-c 同理? ? >1,? ? >1. ?c? ?c? 2a 2b 2c a b c ∴ b+c c+a a+b>1, a b c 2a 2b 2c b+c c+a a+b 即 a b c >a b c . a c a-b c-d 【例 3】证明:∵ = ,∴ = . b d b d ∴(a-b)d=(c-d)b. 又∵a>b>c>d>0, b ∴a-b>0,c-d>0,b>d>0 且 >1, d a-b b ∴ = >1, c-d d ∴a-b>c-d,即 a+d>b+c. ?a-c=f , ?
【例 4】正解:由? 1 a= [f ? ? 3 解得? 1 c= f ? ? 3
? ?4a-c=f

, ,

-f 4 - f 3

3

8 5 ∴f(3)=9a-c= f(2)- f(1). 3 3 5 ? 5? 20 ∵-4≤f(1)≤-1,∴ ≤?- ?f(1)≤ .(1) 3 ? 3? 3 8 8 40 又-1≤f(2)≤5,故- ≤ f(2)≤ .(2) 3 3 3 把(1),(2)两边分别相加,得 8 5 -1≤ f(2)- f(1)≤20,∴-1≤f(3)≤20. 3 3

1 对于实数 a,b,c,有下列命题: 2 2 2 2 ①若 a>b,则 ac<bc;②若 ac >bc ,则 a>b;③若 a<b<0,则 a >ab>b ;④若 c a b 1 1 >a>b>0,则 > ;⑤若 a>b, > ,则 a>0,b<0.其中真命题的个数是( ). c-a c-b a b A.2 B.3 C.4 D.5 2 若 a<0,-1<b<0,则有( ). 2 2 2 2 A.a>ab>ab B.ab >ab>a C.ab>a>ab D.ab>ab >a 3 设 a>1,-1<b<0,则 a,b,-a,-b,-ab 按由大到小的顺序排列是__________. 2 4 若 x∈R,则 x -x 与 x-2 的大小关系是__________. 答案: 1.C ①∵c 的正、负或是否为零未知,∴无法判断 ac 与 bc 的大小,故该命题是假命 题. 2 2 2 ②由 ac >bc ,知 c≠0.又 c >0,∴a>b.故该命题是真命题. a<b<0? a<b? ? ? 2 2 ?? a >ab, ?? ab>b , ③ ? ? a<0 ? b<0? ∴a >ab>b .故该命题为真命题. ④a>b>0? -a<-b? c-a<c-b. ∵c>a,∴c-a>0,∴0<c-a<c-b. 1 1 1 两边同乘以 ,得 > >0. c-a c-b c-a c-b
2 2

a b > .故该命题为真命题. c-a c-b 1 1 1 1 b-a ⑤a>b? a-b>0, > ? - >0? >0. a b a b ab ∵a-b>0,∴b-a<0,∴ab<0. 又 a>b,∴a>0,b<0,故该命题为真命题.
又 a>b>0,∴ 综上可知,命题②③④⑤都是真命题. 2.D ∵a<0,-1<b<0, 2 ∴ab>0,b-1<0,1-b>0,0<b <1, 2 ∴1-b >0, ∴ab-a=a(b-1)>0. ∴ab>a. 2 又 ab-ab =ab(1-b)>0, 2 ∴ab>ab . 2 2 又 a-ab =a(1-b )<0, 2 2 ∴a<ab .故 ab>ab >a. 3. a>-ab>-b>b>-a 依题意, 知 a>-b>b>-a, -ab>0, 且|b|<-ab<|a|, 即-b<-ab<a,
4

∴a>-ab>-b>b>-a. 2 4.x -x>x-2 运用作差比较法. 2 2 2 (x -x)-(x-2)=x -2x+2=(x-1) +1. 2 2 因为(x-1) ≥0,所以(x-1) +1>0, 2 2 即(x -x)-(x-2)>0.所以 x -x>x-2.

5



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