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2012年河南省实验中学高考押题卷文数1


2012 河南省实验中学高考押题卷 文科数学( 文科数学(1)
第Ⅰ卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 选择题: 题目要求的。 题目要求的。 (1)集合 A = { y ∈ R | y = 2 x } , B = {?1, 0,1} ,则下列结论正确的是 ( ) A. A I B = {0,1} B. A U B = (0, +∞) D. (CR A) I B = {?1, 0} C. (CR A) U B = (?∞, 0)

?4 x + y ? 9 ≥ 0, ? ?x ? y ? 1 ≤ 0 ,则 x - 3y 的最大值是 (2)已知实数 x、y 满足 ? ?y ≤ 3
( ) B.0 C.1 D.2

开始

t =1 k =1

A.-1

(3)已知 a, b 为非零向量,“函数 f ( x ) = ( ax + b) 2 为偶函数”是 “ a ⊥ b ”的( ) (A) 充分但不必要条件(B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4)已知 α ∈ ( , π) , tan(α + ( ) (A) ?

r r

r

r

r

r

t=1
t ≤ 90 ?
是 否

π 2

π 1 ) = ,那么 sin α + cos α 的值 为 4 7

t = t +t ?k
k = k +1

输出 t 结束
第 6 题图

3 1 7 7 (B) (C) ? (D) 4 5 5 5 (5) 数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 , a3 , a7 为等比数列 {bn } 且
的连续三项,则数列 {bn } 的公比为( A. 2 B.4 C.2 ) D. )

(6)如果执行右面的程序框图,那么输出的 t = ( A.96 B.120 C.144 D.300

1 2

象,则 f (1) + f (3 ) + f (5 ) + f (7 ) + f (9 ) 的值为( A.1 B.0 C. ? 1 D. ?

(7) 已知 f ( x ) 是 R 上的偶函数,若 f ( x ) 的图象向右平移一个单位后,得到一个奇函数的图 )

9 2 (8)右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的
平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( (A) ) 9

2 7 4 9 (B) (C) (D) 5 10 5 10 (9) 已 知 a , b, c 为 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B , C 的 对 边 , 向 量 r r r r , 若 , 且 m⊥n m = 3 ,?1 , n = (cos A, sin A) ) a cos B + b cos A = c sin C ,则 B = (

甲 8

8 9

3

乙 3 7 9

(

)

2 1 0

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

π

第8题

2

(10) 已知各项都是正数的等比数列 {a n } 满足: a 7 = a 6 + 2a 5 若存在两项 a m , a n ,使得

a m ? a n = 4a 1 , 则
A.

1 4

1 4 + 的最小值为( m n 3 2 B. C. D.1 2 3



(11)给出命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设 l, m 是不同的直线, α 是一个平面,若 l ⊥ α , l ∥ m ,则 m ⊥ α ; (3) 已知 α , β 表示两个不同平面,m 为平面 α 内的一条直线, “ α ⊥ β ” “ m ⊥ β ” 则 是 的充要条件; (4) a, b 是两条异面直线, P 为空间一点, 过 P 总可以作一个平面与 a, b 之一垂直, 与另一个平行。 其中正确命题个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ( 12 ) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 x > 0 时, f ( x ) = ( x ? 2)( x ? 3) + 0.02 , 则 关 于

y = f ( x) 在 R 上零点的说法正确的是

( ) A.有4个零点其中只有一个零点在(-3,-2)内 B.有4个零点,其中两个零点在(-3,-2)内,两个在(2,3)内 C.有5个零点都不在(0,2)内 D.有5个零点,正零点有一个在(0,2)内,一个在(3,+∞)内

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 题为必考题, 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,第 22 题为 选考题,每个试题考生都必须做 选考题,每个试题考生都必须做答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 填空题: 小题, (13) 等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n ,若 a 3 + a 7 ? a10 = 8 , a11 ? a 4 = 4 则 s13 等于

(14)函数 f ( x ) = e x + e ? x 的一条切线的斜率是

3 ,则切点的横坐标为 2

(15)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球 的表面积为_______. (16)双曲线

x 2 16 y 2 ? 2 = 1 ( p > 0) 3 p

的左焦点在抛物线 .

y 2 = 2 px

的准线上,则该双曲线的离心率为

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)当

第 15 题

3 sin(ωx) ? 2 sin 2

ωx
2

( ω > 0 )的最小正周期为 3π ,

? π 3π ? x∈? , ? 时,求函数 f (x) 的最小值; ?2 4 ? (Ⅱ)在 ?ABC ,若 f (C ) = 1 ,且 2 sin 2 B = cos B + cos( A ? C ) ,求 sin A 的值。

(18) (本小题满分 12 分)为了了解某市工人开展体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法 从 A,B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查,已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂. (Ⅰ)求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数; (Ⅱ)若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率. (19)如图,在直角梯形 ABEF 中,将四边形 DCEF 沿 CD 折起,使 ∠FDA = 60 ,得到一个 空间几何体如图所示。 (1)求证:BE//平面 ADF; (2)求证:AF⊥平面 ABCD; (3)求三棱锥 E-BCD 的体积. F
0

F
E 1 D C 1 A

2

E

D A B

C

1

B

(20) (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1、 a2 b2 F2,其中 F2 也是抛物线 C 2 : y 2 = 4 x 的焦点, M 是 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 5 | MF2 |= . 3

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 C1 上,顶点 B、D 在直线 7 x ? 7 y + 1 = 0 上,求 直线 AC 的方程。 (21) (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) = (1 + x ) 2 ? 2 ln(1 + x ) . (I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)当 0<a<2 时,求函数 g ( x ) = f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 在区间 [0, 上的最小值. 3] 22、23、 题中任选一题做答,如果多做, 则按所做的第一题记分做答时请写清题号。 请考生 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲: 如图,在△ABC 中, 为钝角,点是边 AB 上 C 的点,点 K 和 M 分别 是边 AC 和 BC 上的点,且 AH K =AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM. M (I)求证:E、H、M、K 四点共圆; (II)若 KE=EH,CE=3 求线段 KM 的长.
A B E H

第 22 题

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (23)(

1 ? ?x = 2 t ? 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标系 2 3 ?y = t + ? 2 2 ? xOy 的 O 点为极点, Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的
极坐标方程为 ρ = 2 cos(θ ?

π
4

)

(1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 | AB | . (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (24) 若关于 x 的方程 x ? 4 x + a + a ? 3 =0 有实根
2

(1)求实数 a 的取值集合 A (2)若存在 a ∈ A ,使得不等式 t ? 2a t + 12 < 0 成立,求实数 t 的取值范围。
2

2012 河南省实验中学高考押题卷 文科数学( 文科数学(1)
答案
小题, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 选择题( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 题号 答案 D A C A C B B C A 填空题( 小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.156 14.ln2 . 15. . 10 B 11 B 12 C

19π 3

16. .

2 3 3

三、解答题

1 ? cos(?x) π = 3 sin(?x) + cos(?x) ? 1 = 2 sin(?x + ) ? 1 2 6 2π 2 = 3π ,解得? = , 依题意函数 f (x ) 的最小正周期为 3π ,即 3 ? 2 π 所以 f ( x ) = 2 sin( x + ) ? 1 3 6 π 3π π 2 π 2π (Ⅰ)由 ≤ x ≤ 得 ≤ x+ ≤ , 2 4 2 3 6 3 2 π 3 3 时, f ( x ) 最小值 = 2 × ……6分 所以,当 sin( x + ) = ?1 = 3 ?1 3 6 2 2
17.解: f ( x )

= 3 sin(?x) ? 2 ?

(Ⅱ)由 f (C ) = 2 sin(

2C π 2C π + ) ? 1 及 f (C ) = 1 ,得 sin( + ) =1 3 6 3 6 π 2 π 2π 2 π π π 而 ≤ C+ ≤ , 所以 C + = ,解得 C = 2 3 6 3 3 6 2 2

在 Rt?ABC 中,Q A + B =

π

2

, 2 sin 2 B = cos B + cos( A ? C )

?1± 5 2 2 cos 2 A ? sin A ? sin A = 0 ,∴ sin A + sin A ? 1 = 0 ,解得 sin A = 2 5 ?1 ∴ sin A = Q 0 < sin A < 1 2 , ………………12 分 7 1 18.解: (I)工厂总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为 = …3 分 63 9
所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2。…………6 分 (II)设 A1,A2 为在 A 区中的抽得的 2 个工厂,B1,B2,B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂, C1,C2 为在 C 区中抽得的 2 个工厂。这 7 个工厂中随机的抽取 2 个,全部的可能结果有

1 × 7 × 6 = 21 种。…………8 分 2
随机的抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区的结果有(A1,A2)(A1,B2)(A1,B1) , , , (A1,B3) 1,C2)(A1,C1) (A , , …………9 分 同理 A2 还能结合 5 种,一共有 11 种。 …………10 分 所以所求的概率为 p =

19.(1)证明:∵BC//AD,CE//DF,折后平行关系不变,又∵BC ? 平面 ADF, AD ? 平面 ADF, ∴ BC// 平 面 ADF, 同 理 CE// 平 面 ADF, 又 ∵ BC ∩ CE = C , BC ? 平面 BCE , CE ? 平面 BCE , ∴ 平 面 BCE// 平 面 ADF, 又

11 。 21

…………12 分

BE ? 平面 BCE , BE//平面 ADF.
(2)Q ∠FDA = 60 0 , FD = 2, AD = 1,

∴ AF 2 = FD 2 + AD 2 ? 2FD × AD × COS∠FDA = 4 + 1 ? 2 × 2 × 1 ×

1 = 3即 2

AF = 3 ∴ AF 2 + AD 2 = FD 2 ,∴ AF ⊥ AD, Q DC ⊥ FD , DC ⊥ AD , AD ∩ FD = D, AD ? 平面 ADF , DF ? 平面 ADF , 又 AF ? 平面 ADF ,∴ DC ⊥ AF , Q AD ∩ DC = D, AD ? 平面 ABCD , DC ? 平面 ABCD , ∴ AF ⊥ 平面 ABCD (3)Q DC ⊥ EC , DC ⊥ BC , EC ? 平面 EBC , BC ? 平面 EBC , EC I BC = C ,
∴ DC ⊥ 平面 EBC , Q DF // EC , AD // BC , ∠FDA = 60 0 ∴ ∠ECB = 60 0 , 又 ∵
EC=1,BC=1,∴ S ?ECB

∴V E ? BCD

1 1 3 3 ? EC ? BC ? sin∠ECB = × 1 × 1 × = 2 2 2 4 1 3 3 = V D ? EBC × 1 × = 3 4 12

20.解: (I)设 M ( x1 , y1 ),Q F2 (1,0), | MF2 |=

5 5 2 . 由抛物线定义, x1 + 1 = ,∴ x1 = , 3 3 3 2 6 2 2 6 Q y12 = 4 x1 ,∴ y1 = . …………3 分, ∴ M ( , ),QM 点 C1 上, 3 3 3

1 4 8 + 2 = 1, 又b 2 = a 2 ? 1 ∴ 9a 4 ? 37 a 2 + 4 = 0, ∴ a 2 = 4或a 2 = < c 2 舍去. 2 9 9a 3b 2 2 x y ∴ a 2 = 4, b 2 = 3 ∴ 椭圆 C1 的方程为 + = 1. …………4 分 4 3 (II)Q 直线BD的方程7 x ? 7 y + 1 = 0, ABCD 为菱形,∴ AC ⊥ BD ,设直线 AC 的方 ?y = ?x + m ? 程 为 y = ?x + m ? x 2 ? 7 x 2 ? 8mx + 4m 2 ? 12 = 0, Q A, C 在 椭 圆 C1 上 , y2 =1 ? + 3 ?4 8m ∴ ? > 0,∴ m 2 < 7,∴ ? 7 < m < 7 . 设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) ,则 x1 + x 2 = . ……8 分 7 8m 6m y1 + y 2 = (? x1 + m) + (? x 2 + m) = ?( x1 + x 2 ) + 2m = ? + 2m = . ∴ AC 的中点 7 7 4m 3m 4m 3m 坐标为 ( , ) ,由 ABCD 为菱形可知,点 ( , ) 在直线 BD: 7 x ? 7 y + 1 = 0 上, 7 7 7 7 4m 3m ∴7 ? ?7? + 1 = 0, m = ?1, Q m = ?1 ∈ ( ? 7 , 7 ), 7 7 ∴直线 AC 的方程为 y = ? x ? 1,即x + y + 1 = 0. …………12 分 21.解: (I)定义域为 (?1, +∞) . 1 2 x( x + 2) f ′( x) = 2(1 + x) ? = . x +1 x +1 2 x( x + 2) > 0 ,所以 x < ?2 或 x > 0 . 令 f ′( x ) > 0 ,则 x +1 因为定义域为 (?1, +∞) ,所以 x > 0 . 2 x( x + 2) < 0 ,所以 ?2 < x < 0 . 令 f ′( x ) < 0 ,则 x +1 因为定义域为 (?1, +∞) ,所以 ?1 < x < 0 . 所以函数的单调递增区间为 (0, +∞ ) ,单调递减区间为 (?1, 0) . (II) g ( x ) = (2 ? a ) x ? 2 ln(1 + x ) ( x > ?1 ) . 2 (2 ? a ) x ? a g ′( x) = (2 ? a ) x ? = . 1+ x 1+ x a > 0. 因为 0<a<2,所以 2 ? a > 0 , 2?a a 令 g ′( x ) > 0 可得 x > . 2?a a a ) 上为减函数,在 ( , +∞) 上为增函数. 所以函数 g ( x ) 在 (0, 2?a 2?a a 3 < 3 ,即 0 < a < 时, ①当 0 < 2?a 2 a a 3] ) 上为减函数,在 ( , 3) 上为增函数. 在区间 [0, 上, g ( x ) 在 (0, 2?a 2?a a 2 ) = a ? 2 ln 所以 g ( x ) min = g ( . 2?a 2?a a 3 3) ≥ 3 ,即 ≤ a < 2 时, g ( x) 在区间 (0, 上为减函数. ②当 2?a 2


所以 g ( x) min = g (3) = 6 ? 3a ? 2 ln 4 . 综上所述,当 0 < a < 当

3 2 时, g ( x ) min = a ? 2 ln ; 2 2?a

3 ≤ a < 2 时, g ( x) min = 6 ? 3a ? 2 ln 4 . 2 22.证明:⑴连接 CH , Q AC = AH , AK = AE , ∴ 四边形 CHEK 为等腰梯形, 注意到等腰梯形的对角互补, 故 C , H , E , K 四点共圆,----------- 3 分 同理 C , E , H , M 四点共圆,即 E , H , M , K 均在点 C , E , H 所确定的圆上----- 5 分 ⑵连结 EM ,由⑴得 E , H , M , C , K 五点共圆,----------- 7 分 Q CEHM 为 等腰梯形,∴ EM = HC , 故 ∠MKE = ∠CEH , 由 KE = EH 可得 ∠KME = ∠ECH , 故 ?MKE ? ?CEH , 即 KM = EC = 3 为所求. ------ ---10 分
C K M

A

B E H

23.解: (1) 60

o

2 , 2 π 2 2 2 2 ρ = 2 cos(θ ? ) 的直角坐标方程为 ( x ? ) +(y ? ) = 1, 4 2 2 2 2 6 10 所以圆心 ( , ) 到直线 l 的距离 d = ,∴| AB |= 2 2 4 2 1 7 24.解: (1) ? = 16 ? 4( a + a ? 3 ) ≥ 0 即 ? ≤ a ≤ 2 2 ? 1 7? 所以 A = ? ? , ? ---------5 分 ? 2 2? 2 (2)令 f ( a ) = ?2a t + 1 + t 即 f (a ) min < 0 即可
(2) l 的直角坐标方程为 y =

3x +

7 f ( ) = t 2 ? 7 t + 12 < 0 ∴ 3 < t < 4 2 所以 ? 4 < t < ?3或3 < t < 4 ----10 分



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