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2014届高考人教B版数学一轮复习方案课时作业 第23讲 正弦定理和余弦定理的应用 Word版含答案]


课时作业(二十三) [第 23 讲 正弦定理和余弦定理的应用] (时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身

[中教网]

1.为了测某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为 30°, 塔基的俯角为 45°,那么塔 AB 的高为( A.201+ 3 m 3 B.201+ 3 m 2 )

C.20(1+ 3) m D.30 m 2.已知两座灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 10° D.南偏西 10° 3.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新的方向走了 3 km,结果他离出 发点恰好为 3 km,则 x=( A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.3 或 3 ) )

图 K23-1 4.[2012·粤西北九校联考] 如图 K23-1,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的 同侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 A,C 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105° 后,就可以计算出 A,B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m B.50 3 m 25 2 D. m 2 )

能力提升

[zzstep. com]

图 K23-2 5.[2012·大连联考] 如图 K23-2,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C, 使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置 D,测得∠BDC=45°,则塔 AB 的高是( A.10 m B.10 2 m D.10 6 m )

C.10 3 m

6.[2012·太原模拟] 一艘海轮从 A 处出发,以 40 n mile/h 的速度沿南偏东 40°方 向直线航行,30 min 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南 偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2 n mile B.10 3 n mile C.20 2 n mile D.20 3 n mile 7.在某个位置测得某山峰仰角为 θ ,对着山峰在地面上前进 600 m 后测得仰角为 2θ , 继续在地面上前进 200 3 m 以后测得山峰的仰角为 4θ ,则该山峰的高度为( A.200 m B.300 m C.400 m D.100 3 m 8.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为 危险区,城市 B 在 A 的正东 40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为( A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 9.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°,塔顶仰角为 45°,此人沿南偏东 40°方向前 进 10 m 到 D,测得塔顶 A 的仰角为 30°,则塔高为( A.15 m C.10 m B.5 m D.12 m ) ) ) )

10.如图 K23-3,为了了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点 进行测量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE= 200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为________.

图 K23-3

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图 K23-4

11.如图 K23-4,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一 个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min,从

D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min.若此人步行的速度为 50 m/min,则该扇形的半径为________ m.

12. [2012·临沂二模] 已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处, 且 A 船到灯塔的距离为 2 km,

B 船在灯塔 C 北偏西处 40°, A, B 两船间的距离为 3 km, 则 B 船到灯塔的距离为________ km.
π 13.△ABC 中,A= ,BC=3,则△ABC 的周长为________(用 B 表示). 3 14.(10 分)[2013·松原质检] 如图 K23-5,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底

B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,现测得∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在点 C 测得
塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔高 AB.

图 K23-5

15.(13 分)[2012·长春质检] 在某海岸 A 处,发现北偏东 30°方向,距离 A 处( 3+

1) n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 15°的方向,距离 A 处 6 n mile 的 C 处的 缉私船奉命以 5 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 5 n mile/h 的速度从 B 处按照北偏东 30°方向逃窜,问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船,并指出缉私船 航行方向.

图 K23-6

[中教网]

难点突破 16.(12 分)[2012·郑州质检] 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图 K23-7 所示, 城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志, 小李、 小王设计的底座形状分别为 △ABC,△ABD,经测量 AD=BD=7 m,BC=5 m,AC=8 m,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设 计使建造费用最低(请说明理由),最低造价为多少?( 3=1.732, 2=1.414)

图 K23-7

课时作业(二十三) 【基础热身】 1.A [解析] 如图,h=20tan30°+20tan45°=201+ 3 (m),故选 A. 3

1 2.B [解析] 如图,∠CBA= (180°-80°)=50°,60°-50°=10°,故选 B. 2

[z。zs。tep.com ]

3.C [解析] 作出图形,由余弦定理有 x +3 -2×3×xcos30°=3,得 x -3 3x+6 =0,解得 x= 3或 2 3. 4.A [解析] 在△ABC 中,由正弦定理得 = ,AB=50 2. sin30° sin45° 【能力提升】 5.D [解析]在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC =30°,

2

2

2

AC

AB

BC CD CDsin45° AB = ,BC= =10 2.在 Rt△ABC 中,tan60°= ,AB= sin45° sin30° sin30° BC

BCtan60°=10 6.

6.A [解析] 如图所示, 由已知条件可得,∠CAB=30°, ∠ABC=105°,

AB=40× =20(n mile).

1 2

∴∠BCA=45°. ∴由正弦定理可得 = . sin45° sin30° 1 20× 2 ∴BC= =10 2(n mile). 2 2 7.B [解析] 如图,△BED,△BDC 为等腰三角形,BD=ED=600,BC=DC=200 3.

AB

BC

在△BCD 中,由余弦定理可得 600 +(200 3) -(200 3) 3 cos2θ = = , 2 2×600×200 3 ∴2θ =30°,4θ =60°. 在 Rt△ABC 中,AB=BC·sin4θ =200 3× 3 =300,故选 B. 2
2 2 2

[z+zs+te p.com]

8.B [解析] 设 A 地东北方向上点 P 到 B 的距离为 30 km,AP=x,在△ABP 中,PB =AP +AB -2AP·ABcosA, 即 30 =x +40 -2x·40cos45°,化简得 x -40 2x+700=0. 设该方程的两根为 x1,x2,则
2 2 2 2 2 2

2

CD 20 2 2 |x1-x2| =(x1+x2) -4x1x2=400,|x1-x2|=20,即 CD=20,故 t= = =1.故选 B. v 20

9.C [解析] 如图,设塔高为 h, 在 Rt△AOC 中,∠ACO=45°, 则 OC=OA=h.

在 Rt△AOD 中,∠ADO=30°, 则 OD= 3 h. 在△OCD 中,∠OCD=120°,CD=10, 由余弦定理得 OD =OC +CD -2OC·CDcos∠OCD, 即( 3h) =h +10 -2h×10×cos120°, ∴h -5h-50=0,解得 h=10 或 h=-5(舍). 16 10. 65 [解析] 作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.由题中数据可得,MD=AC=50+120
2 2 2 2 2 2 2

=170,MF=CF-CM=CF-AD=110-80=30,DN=AB=50,EN=BE-BN=200-80=120,所 以 DF= MF +MD = 30 +170 =10 298,
2 2 2 2

DE= DN2+EN2= 502+1202=130, EF= (BE-FC)2+BC2= 902+1202=150.
在△DEF 中,由余弦定理得, cos∠DEF=
2

DE2+EF2-DF2 2DE·EF
2 2
[中*教*网 z*z*s* tep]



130 +150 -10 ×298 16 = . 2×130×150 65

11.50 7

[解析] 依题意得 OD=100 m,CD=150 m,连接 OC,易知∠ODC=180°-
2 2 2

∠AOB=60°,因此由余弦定理有 OC =OD +CD -2OD·CDcos∠ODC, 1 2 2 2 即 OC =100 +150 -2×100×150× ,解得 OC=50 7(m). 2 12. 6-1 [解析] 由题意知,∠ACB=80°+40°=120°,AC=2,AB=3,设 B 船到
2 2 2 2

灯塔的距离为 x,即 BC=x.由余弦定理可知 AB =AC +BC -2AC·BCcos120°,即 9=4+x 1 2 -2×2x- ,整理得 x +2x-5=0,解得 x=-1- 6(舍去)或 x=-1+ 6. 2

? π? 13.6sin?B+ ?+3 6? ?
sinB,

[解析] 在△ABC 中,由正弦定理得

AC

sinB



3 3 2

,化简得 AC=2 3

AB

? ? π ?? sin?π -?B+ ?? 3 ?? ? ?



3 3 2

,化简得 AB=2 3sin?

?2π -B?, ? ? 3 ?

所以三角形的周长为: 3+AC+AB=3+2 3sinB+2 3sin?

?2π -B? ? ? 3 ?

? π? =3+3 3sinB+3cosB=6sin?B+ ?+3. 6? ?
14.解:在△BCD 中,∠CBD=π -α -β . 由正弦定理得 = . sin∠BDC sin∠CBD 所以 BC=

BC

CD

CDsin∠BDC s·sinβ = . sin∠CBD sin(α +β ) s·tanθ sinβ
. sin(α +β )

在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=

15.解:设缉私船至少经过 t h 可以在 D 点追上走私船,则 CD=5 3t,BD=5t. 在△ABC 中,由余弦定理得,

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos(15°+30°)=4,∴BC=2,
由正弦定理得, ∴sin∠ABC= = , sin45° sin∠ABC

BC

AC

3 ,∠ABC=60°, 2
[z。zs。tep.c om]

∴点 B 在 C 的正东方向上,∠DBC=120°.

又在△DBC 中,由正弦定理得 = , sin120° sin∠BCD 1 ∴sin∠BCD= ,∴∠BCD=30°, 2 2 ∴∠BDC=30°,∴BD=BC,即 5t=2,∴t= . 5 又∠BCD=30°, 2 故缉私船至少经过 h 可以追上走私船,缉私船的航行方向为北偏东 60°. 5 【难点突破】

CD

BD

16.解:(1)在△ABC 中,由余弦定理得 cosC=

AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 = .① 2AC·BC 2×8×5

在△ABD 中,由余弦定理得 cosD=

AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 = .② 2AD·BD 2×7×7
2

由∠C=∠D 得 cosC=cosD,AB =49,所以 AB 长度为 7 m. (2)小李的设计符合要求.理由如下:

S△ABD= AD·BDsinD,S△ABC= AC·BCsinC,
因为 AD·BD>AC·BC,所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 建造环境标志费用较低. 因为 AD=BD=AB=7,所以△ABD 是等边三角形,∠D=60°, 1 故 S△ABC= AC·BCsinC=10 3, 2 所以,总造价为 5 000×10 3=86 600(元).

1 2

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