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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(上海卷)精校版


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(理科) 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数学( 理科)

考生注意: 考生注意:
1.答卷前, 答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 1.答卷前,考生务必在 答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码 答卷前 2.本试卷共有 道试题, 分钟。 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结 填空题( 否则一律得零分。 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1、 不等式

2? x > 0 的解集为____ (?4,2) ___________; 4+ x

2、 若复数 z = 1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则 z ? z + z = _ 6 ? 2i _____; 3、 若动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x + 2 = 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为 _ y 2 = 8 x _____;

cos
4、 行列式

π
3

sin cos

π
6

sin

π
3

π
6

的值为___0______;

5、 圆 C: x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y + 4 = 0 的圆心到直线 l : 3 x + 4 y + 4 = 0 的距离 d = ___3_____; 6、 随机变量 ξ 的概率分布率由下图给出:

x P( ξ = x )

7 0.3

8 0.35

9 0.2

10 0.15

则随机变量 ξ 的均值是___8.2_______; 7、 2010 年上海世博会园区 每天 9:00 开园,20:00 停止入园。在右边的框图中, S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数, a 表示整点报道前 1 个小时内入园人数,则空白的执行 框内应填入

S ←S +a



8、 对任意不等于 1 的正数 a , 函数 f ( x) = log a ( x + 3) 的反函数的图像都过点 P, 则点 P 的坐标是

(0,?2)



9、从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 1 张, ,事件 A 为“抽得红桃 K” , 事件 B 为“抽得为黑桃” ,则概率 P ( A U B ) =

7 26

(结果用最

简分数表示) 。

n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 10 、 在 n 行 n 列 矩 阵 ? 3 4 5 ??? n 1 2 ? 中,记位于第 i 行第 j 列的数为 ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ?
aij (i, j = 1, 2 ???, n) 。当 n = 9 时, a11 + a22 + a33 + ??? + a99 =
*

45



11、将直线 l2 : nx + y ? n = 0 、 l3 : x + ny ? n = 0 ( n ∈ N , n ≥ 2 ) x 轴、 y 轴围成的封 闭图形的面 积记为 Sn ,则 lim S n =
n →∞

1



12、如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O,剪去

?AOB ,将剩余部分沿 OC、OD 折叠,使 OA、OB 重合,则以 A(B) 、
C、D、O 为顶点的四面体的体积为___

8 2 _____; 3

x2 13、如图所示,直线 x = 2 与双曲线 Γ : ? y 2 = 1 的渐近线交于 4

E1 , E 2 两点,记 OE1 = e1 ,OE 2 = e2 。任取双曲线 Γ 上的点
uuu uu uuu r r r P ,若 OP = ae1 + be2 ( a 、 b ∈ R ) ,则 a 、 b 满足的一个
等式是 4ab=1 。

14、以集合 U = {a, b, c, d } 的子集中选出 4 个不同的子集,需同时 满足以下两个条件: (1) φ , U 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A ? B 或 B ? A 。那么共有___36 _____种不同的选法。

每题有且只有一个正确答案。 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的 选择题(本大题满分 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑, 否则一律得零分。 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。 15 “ x = 2k π +

π
4

( k ∈ Z ) ”是“ tan x = 1 ”成立的
(B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.

[答]( A )

(A)充分不必要条件. (C )充分条件.

16 直线 l 的参数方程是 ?

? x = 1 + 2t (t ∈ R) ,则 l 的方向向量 d 可以是 ?y = 2 ? t
(C) ? 2, 1 ) (

[答]( C )

(A) 1, 2 ). (

(B) 2, 1 ). (

(D) 1, ? 2 ) (

17 .若 x0 是方程 ( ) = x 3 的解,则 x0 属于区间
x

1 2

1

[答]( C )

(A) (

1 1 ) (D) 0, ( ) 2 3 1 1 1 18.某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 , , 13 11 5
(B) ( (C) , ( 则此人能 [答]( D ) (B)作出一个锐角三角形. (D) 作出一个钝角三角形.

2 , 1 ). 3

1 2 , ). 2 3

1 3

(A)不能作出这样的三角形. (C)作出一个直角三角形.

解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题 必须在答题纸相应编号的规定区域内 解答题( 写出必要的步骤。 写出必要的步骤。 19.( 19.(本题满分 12 分) 已知 0 < x <

π
2

,化简:

x π lg(cos x ? tan x + 1 ? 2 sin 2 ) + lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 + sin 2 x) . 2 4
=0 小题, 20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个 小题,第一个小题满分 5 分,第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = n ? 5a n ?85 , n ∈ N (1)证明: {an ? 1} 是等比数列; (2)求数列 {S n } 的通项公式,并求出 n 为何值时, S n 取得最小值,并 说明理由. (2) S n = n + 75( )
*

5 6

n ?1

? 90

n = 15 取得最小值

21.(本题满分 小题, 21.(本题满分 13 分)本题共有 2 个 小题,第一个小题满分 5 分,第 2 个小题满分 8 分。

如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,骨架把 圆柱底面 8 等份,再用 S 平方米塑料片制 成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.0 1 平方米); (2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为点,安装一些霓虹灯,当灯笼的底面半径为 0.3 米时,求图中两根 直线 A1 B3 与 A3 B5 所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数表示). (1) S = ?3π ( r ? 0.4) + 0.48π
2

( 0 < r < 0 .6 )

r = 0 .4

S max = 1.51

22.( 个小题, 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 10 分。 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m > y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1)若 x ? 1 比 1 远离 0,求 x 的取值 范围;
2

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a + b 比 a b + ab 远离 2ab ab ;
3 3 2 2

(3)已知函数 f ( x ) 的定义域 D = ?? x x ≠

?? ??

? kπ π + , k ∈ Z , x ∈ R ? .任取 x ∈ D , f ( x) 等于 sin x 和 2 4 ?

cos x 中远离 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).
(1) x ∈ ( ?∞,? 2 ) U ( 2 . + ∞ ) (2)略

? ? sin x ? (3) f ( x ) = ? ? cos x ? ?

x ∈ (kπ + x ∈ (kπ ?

π π
4

, kπ + , kπ +

π

3π ) 4 )

4

4

性质: (1)偶函数 关于 y 轴对称 (3) (

(2)周期 T =

π
2

kπ π kπ kπ kπ π ? , ) 单调增 , ( , + ) 单调减 2 4 2 2 2 4

(4)最大值为 1,最小值为

2 2

23( 个小题, 23(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 已知椭圆 Γ 的方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0) ,点 P 的坐标为( ? a, b ). a2 b2
1 ( PA + PB ) ,求点 M 的坐标; 2

(1)若直角坐标平面上的点 M 、 A(0,?b), B ( a,0) 满足 PM =

b2 (2)设直线 l1 : y = k1 x + p 交椭圆 Γ 于 C 、 D 两点,交直线 l2 : y = k2 x 于点 E .若 k1 ? k2 = ? 2 ,证 a
明: E 为 CD 的中点; (3)对于椭圆 Γ 上的点 Q ( a cos θ , b sin θ ) (0 < θ < π ) ,如果椭圆 Γ 上存在不同的两个交点 P 、 P2 1

满足 PP1 + PP2 = PQ ,写出求作点 P 、 P2 的步骤,并求出使 P 、 P2 存在的 θ 的取值范围. 1 1 (1) M ( ,? )

a 2

b 2


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