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1.4全称量词与存在量词(2)(教学设计)


SCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第一单元《常用逻辑用语》

1.4 全称量词与存在量词(2) (教学设计) 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 教学目标 知识与技能目标 (1)通过探究数学中一些实例,使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规 律. (2)通过例题和习题的教学,使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律, 正确地对含有一个量词的命题进行否定. 过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 情感态度价值观 通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物 主义思想教育. 教学重点与难点 教学重点:通过探究,了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律,会正确地对含有一个 量词的命题进行否定. 教学难点:正确地对含有一个量词的命题进行否定. 教学过程: 一、复习回顾、创设情境 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某 个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ? ”与“ ? ”来表 示) ;由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中, p ? q, p ? q 都容易判断,但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 二、师生互动、讲解新课 问题 1(课本 P24 探究) :指出下列命题的形式,写出下列命题的否定。 (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)?x?R,x2-2x+1≥0 分析: (1)? x ? M,p(x),否定:存在一个矩形不是平行四边形; ?x ? M,?p(x) (2) ?x ? M,p(x),否定:存在一个素数不是奇数; ?x ? M,?p(x) (3) ?x ? M,p(x),否定:?x?R,x2-2x+1<0; ?x ? M,?p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 结论:从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 问题 2:写出命题的否定 2 (1)p:? x∈R,x +2x+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有些函数没有反函数; (4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分; 分析: (1)? x?R,x2+2x+2>0; (2)任何三角形都不是等边三角形; (3)任何函数都有反函数; (4)对于所有的四边形,它的对角线不可能互相垂直或平分; 从集合的运算观点剖析: 痧 U ( A ? B) ?
U

A?? UB,痧 U ( A ? B) ?

U

A?? UB

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1.全称命题、存在性命题的否定 一般地,全称命题 P:? x?M,有 P(x)成立;其否定命题┓P 为:?x∈M,使 P(x)不成立。存在性 命题 P:?x?M,使 P(x)成立;其否定命题┓P 为:? x?M,有 P(x)不成立。 用符号语言表示: P:??M, p(x)否定为? P: ??M, ? P(x) P:??M, p(x)否定为? P: ??M, ? P(x) 在具体操作中就是从命题 P 把全称性的量词改成存在性的量词,存在性的量词改成全称性的量词,并 把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则:否定全称得存在,否定存在得全称,否定肯定得否定,否 定否定得肯定. 2.关键量词的否定 词语 词语的否 定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 p且q P或q

不是

一定不是

不都是 至多有一 个

小于或等于

大于或等于 ? p 或 ? q ? p 且 ? q 所有 x 不成 立

必有一个 至少有 n 个

所有 x 成立

词语的否 一个也没 至多有 n-1 至少有两 存在一个 x 不 存在有一个 定 有 个 个 成立 成立

例 1(课本 P24-25 例 3 和例 4) :判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出它们的否定: (1) p:所有能被 3 整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; 2 (3) p:对?x∈Z,x 个位数字不等于 3; 2 (4) p:? x∈R, x +2x+2≤0; (5) p:有的三角形是等边三角形; (6) p:有一个素数含三个正因数。 变式训练 1:写出下列全称命题的否定: (1)p:所有人都晨练; (2)p:?x?R,x2+x+1>0; (3)p:平行四边形的对边相等; 2 (4)p:? x∈R,x -x+1=0; 解: (1)? P:有的人不晨练; (2)? x∈R,x2+x+1≤0; (3)存在平行四边形,它的的对边不相等; (4)?x?R,x2-x+1≠0;

课堂练习: (课本 P26 练习 NO:1;2)

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例 2:写出下列命题的否定。 (1) 所有自然数的平方是正数。 (2) 任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根。 (3) 对任意实数 x,存在实数 y,使 x+y>0. (4) 有些质数是奇数。 解: (1)的否定:有些自然数的平方不是正数。 (2)的否定:存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的根。 (3)的否定:存在实数 x,对所有实数 y,有 x+y≤0。 (4)的否定:所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,如“若 x>3,则 x2>9”。在求解中极易误 当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出其否定形式。

变式训练 2:写出下列命题的否定。 (1) 若 x2>4 则 x>2.。 (2) 若 m≥0,则 x2+x-m=0 有实数根。 (3) 可以被 5 整除的整数,末位是 0。 (4) 被 8 整除的数能被 4 整除。 (5) 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。
2 2 解(1)否定:存在实数 x0 ,虽然满足 x0 >4,但 x0 ≤2。或者说:存在小于或等于 2 的数 x0 ,满足 x0 >4 。

(完整表达为对任意的实数 x, 若 x2>4 则 x>2)
2 (2)否定:虽然实数 m≥0,但存在一个 x0 ,使 x0 + x0 -m=0 无实数根。 (原意表达:对任意实数 m,若 m≥0,

则 x2+x-m=0 有实数根。 ) (3)否定:存在一个可以被 5 整除的整数,其末位不是 0。 (4)否定:存在一个数能被 8 整除,但不能被 4 整除.(原意表达为所有能被 8 整除的数都能被 4 整除) (5)否定:存在一个四边形,虽然它是正方形,但四条边中至少有两条不相等。 (原意表达为无论哪个四 边形,若它是正方形,则它的四条边中任何两条都相等。 )

例 3: 写出下列命题的非命题与否命题,并判断其真假性。 (1)p:若 x>y,则 5x>5y; (2)p:若 x2+x﹤2,则 x2-x﹤2; (3)p:正方形的四条边相等; (4)p:已知 a,b 为实数,若 x2+ax+b≤0 有非空实解集,则 a2-4b≥0。 解: (1)? P:若 x>y,则 5x≤5y; 假命题 否命题:若 x≤y,则 5x≤5y;真命题 (2)? P:若 x2+x﹤2,则 x2-x≥2;真命题 否命题:若 x2+x≥2,则 x2-x≥2) ;假命题。 (3)? P:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题。 否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。假命题。 (4)? P:存在两个实数 a,b,虽然满足 x2+ax+b≤0 有非空实解集,但使 a2-4b﹤0。假命题。 否命题:已知 a,b 为实数,若 x2+ax+b≤0 没有非空实解集,则 a2-4b﹤0。真命题。

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变式训练 3: (1)命题“?x?R,x2-x+3>0”的否定是 (2) “末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的 否定形式是 否命题是 解: (1)答:? x?R,x2-x+3≤0) (2)答:否定形式:末位数是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除 否命题:末位数不是 0 且不是 5 的整数,不能被 5 整除)

例 4:写出下列命题的否定,并判断其真假: 2 (1)p:?m∈R,方程 x +x-m=0 必有实根; (2)q:??R,使得 x2+x+1≤0; 2 解: (1)?p:?m∈R,方程 x +x-m=0 无实根;真命题。 (2)?q:??R,使得 x2+x+1>0;真命题。 变式训练 4:写出下列命题的“非 P”命题,并判断其真假: (1)若 m>1,则方程 x2-2x+m=0 有实数根. (2)平方和为 0 的两个实数都为 0. (3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角. (4)若 abc=0,则 a,b,c 中至少有一为 0. (5)若(x-1)(x-2)=0 ,则 x≠1,x≠2. 解: ⑴ 若 m>1,则方程 x -2x+m=0 无实数根,(真); ⑵平方和为 0 的两个实数不都为 0(假); ⑶若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角不都是锐角(假); ⑷若 abc=0,则 a,b,c 中没有一个为 0(假); ⑸若(x-1)(x-2)=0,则 x ? 1 或 x ? 2 ,(真).
2

评注:命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由: 1.任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若 P 则 q”提出来的。 2.命题的否定(非)是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与 原命题可能是同真同假,也可能是一真一假。 3. 原命题“若 P 则 q” 的形式,它的非命题“若 p,则?q” ;而它的否命题为 “若┓p,则┓q”,既否 定条件又否定结论。 三、课堂小结、回顾反思 在教学中,务必理清各类型命题形式结构、性质关系,才能真正准确地完整地表达出命题的否定,才 能避犯逻辑性错误,才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上,达到培养和发展学生的逻辑思维能力。 四、布置作业: A 组: 1、 (课本 P26 习题 1.4A 组 NO:3)

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2、 (课本 P26 习题 1.4B 组 NO:1)

3.命题 p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有实数根,则“非 p”形式的命题是(B ) 2 A.存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 无实根; 2 B.不存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; 2 C.对任意的实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; 2 D.至多有一个实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; 4.命题“存在实数 x ,使 x > 1”的否定是(C) (A)对任意实数 x , 都有 x >1 (B)不存在实数 x ,使 x ? 1 (C)对任意实数 x , 都有 x ? 1 (D)存在实数 x ,使 x ? 1 5.已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是(C) (A) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 (B) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 (C) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0 (D) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0 6.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(B) A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 【答案】B 7.已知命题 P: ? n∈N,2n>1000,则 ? p 为(A) (A) ? n∈N,2n≤1000 (B) ? n∈N,2n>1000 (C) ? n∈N,2n≤1000 (D) ? n∈N,2n<1000 8.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定 是(D) .. (A)所有不能被 2 整除的数都是偶数 (B)所有能被 2 整除的数都不是偶数 (C)存在一个不能被 2 整除的数是偶数 (D)存在一个能被 2 整除的数不是偶数 9.若函数 f ( x) ? x ?
2

2

a (a ? R) ,则下列结论正确的是(C ) x
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

A. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x ) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x ) 是奇函数

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C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的考查结合函数的性 质进行了交汇设问. 【解析】对于 a ? 0 时有 f ? x ? ? x2 是一个偶函数 10.命题“存在 x0 ? R, 2
x0

? 0”的否定是
x

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(D)
x0

(A)不存在 x0 ? R, 2 0 >0 (C)对任意的 x ?R, 2 ? 0
x

(B)存在 x0 ? R, 2

?0
x

(D)对任意的 x ? R, 2 >0

【考点定位】本小考查四种命题的改写,基础题。 解析:由题否定即“不存在 x0 ? R ,使 2 11.下列命题中的假命题 是(C) ... A. ?x ? R,lg x ? 0 C. B. ?x ? R, tan x ? 1 D. ?x ? R,2x ? 0
x0

,故选择 D。 ?0”

?x ? R, x3 ? 0

【答案】C 【解析】对于 C 选项 x=1 时, ? x ? 1? =0 ,故选 C
2

B 组: 1.下列 4 个命题

1 1 p1 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? ( ) x 2 3 1 p3 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? ㏒ 1/2x 2
其中的真命题是

p2 : ?x ? (0,1), ㏒ 1/2x>㏒ 1/3x
1 1 p4 : ?x ? (0, ), ( ) x ? ㏒ 1/3x 3 2

(A) p1 , p3

( B) p1 , p4

(C) p2 , p3

(D) p2 , p4
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

1 【解析】取 x= ,则㏒ 1/2x=1,㏒ 1/3x=log32<1,p2 正确 2

当 x∈(0, 【答案】D

1 3

1 x )时,( ) <1,而㏒ 1/3x>1.p4 正确 2



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