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第一章 1.1 1.1.1 任意角


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[读教材·填要点] 1.角的有关概念
有关概念 定义 描述 角可以看成平面内 一条射线 绕着 端点 从一个 位置旋转到另一个位置所成的 图形 其中O为 顶点 ,OA为 始边 ,OB 为 终边 角 α 或∠α,或简记为 α

图示 记法

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2.角的分类
名称 定义

正角
负角 零角

按 逆 时针方向旋转形成的角
按 顺 时针方向旋转形成的角 一条射线 没有 作任何旋转形成的角

3.象限角 若角的顶点在原点,角的始边与 x轴的非负半轴 重合, 那么,角的 终边 在第几象限,就称这个角是第几象限角.如

果角的终边在 坐标轴 上,则这个角不属于任何一个象限.
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4.终边相同的角 设α表示任意角,所有与角α终边相同的角,连同角α在内, 可构成一个集合S={β|β= α+k· 360°,k∈Z },即任一与角α终 整数个周角 的和.

边相同的角,都可以表示成角α与

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[小问题·大思维 ] 1.小于90°的角一定是锐角吗?

提示:不一定.由角的概念的推广可知,小于90°
的角可能是零角或负角,故它不一定是锐角. 2.第二象限角一定比第一象限角大吗? 提示:不一定.如170°角为第二象限角,390°角 为第一象限角,显然170°<390°.

3.终边相同的角一定相等吗?
提示:不一定.但相等的角终边一定相同.

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4.终边在x轴上或y轴上的角的集合如何表示?在坐标轴上

呢?
提示:终边在x轴上角的集合表示为{α|α=k· 180°,k∈Z}; 终边在y轴上角的集合表示为{α|α=90°+k· 180°,k∈Z};终 边在坐标轴上角的集合表示为{α|α=k· 90°,k∈Z}. 5.如图,写出射线从OA旋转到OB1、OB2时所成的角.

提示:负角β=-(360°-210°)=-150°,
正角γ=210°-150°=60°.

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[研一题] [例1] 有下列说法: ①相差360°整数倍的两个角,其终边不一定相同; ②{α|α是锐角}?{β|0°≤β<90°}; ③第一象限角都是锐角;

④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号是________. [悟一法]
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[研一题 ] [例2] 若角θ为第四象限角,则90°+θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
本例中条件选项不变,问题变为“则180°-θ是”.(

(

)

)

[悟一法 [通一类 ] ] 2.设角α与β的终边互相垂直,且α是第二象限角,则β 是 A.第一象限角 B.第三象限角 ( )

C.第一或第三象限角

D.第一或第四象限角
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[研一题] [例3] 如图所示,分别写出适合下列

条件的角的集合: (1)终边在射线OM上; (2)终边在射线ON上;

(3)终边在阴影区域内(含边界).

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[悟一法]

已知终边所处的位置,写角的集合时,可先写出
0°~360°范围内的角,然后再加k· 360°(k∈Z)组成集 合即可.

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[通一类 ] 3.写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合.
解:终边在直线OM上的角的集合为 M={α|α=45°+k· 360°,k∈Z}∪ {α|α=225°+k· 360°,k∈Z} ={α|α=45°+2k· 180°,k∈Z}∪ {α|α=45°+(2k+1)· 180°,k∈Z} ={α|α=45°+n· 180°,n∈Z}. 同理可得终边在直线ON上的角的集合为 {α|α=60°+n· 180°,n∈Z}, 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°+n· 180°≤α≤60°+n· 180°,n∈Z}.
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α 已知 α 为第二象限角,问 是第几象限角? 2

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[通一类 ] 1.设集合A={α|α=90°+k· 180°,k∈Z}∪{α|α= k· 180°,k∈Z},集合B={β|β=k· 90°,k∈Z},则 ( A.A? B C.A∩B=? B.B? A D.A=B )

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