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高中数学第一章计数原理课时训练02分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用新人教B版选修2_3

高中数学第一章计数原理课时训练 02 分类加法计数原理与分
步乘法计数原理的应用新人教 B 版选修 2_3
(限时:10 分钟) 1.由 1,2,3,4,5 这 5 个数字组成无重复数字的五位数中,小于 50 000 的偶数有( ) A.60 个 B.48 个 C.36 个 D.24 个 解析:分两类: 第一类,末位数字为 2,依次确定万位、千位、百位、十位上的选 择方法,可得 N1=3×3×2×1=18(个). 第二类,末位数字为 4,同第一类办法,可得 N2=3×3×2×1= 18(个). 所以,满足题目条件的数共有 N=N1+N2=36(个). 答案:C 2.如图所示,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同 的花供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的两块种不同的花,则 不同的种法总数为( ) A.96 B.84 C.60 D.48 解析:按 A,B,C,D 的顺序种花,分两类:A,C 种同一种花,共 有:4×3×3=36(种);A,C 种不同种花,共有 4×3×2×2=48(种), 共计 36+48=84(种). 答案:B 3.如图,四边形 ABCD 中,若把顶点 A,B,C,D 染上红、黄、绿 三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方 法共有__________种. 解析:不妨从点 A 涂起,则 A,C 可同色,也可不同色,故可分两 类, 第一类,若 A,C 同色,涂 A 有 3 种方法,涂 B 有 2 种方法,涂 D 有 2 种方法,共计 3×2×2=12(种)方法;
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第二类,若 A,C 不同色,涂 A 有 3 种方法,涂 C 有 2 种方法,涂 B 有 1 种方法,涂 D 有 1 种方法,共计 3×2×1×1=6(种)方法.
所以不同的染色方法共有 12+6=18(种). 答案:18 4.如图,要给地图上 A,B,C,D 四个区域分别涂上 3 种不同颜 色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的 颜色,不同的涂色方案有__________种. 解析:按地图 A,B,C,D 四个区域依次分四步完成, 第一步涂 A,有 3 种涂色方法; 第二步涂 B,有 2 种涂色方法; 第三步涂 C,有 1 种涂色方法; 第四步涂 D,有 1 种涂色方法. 所以根据分步乘法计数原理,得到不同的涂色方案共有 N= 3×2×1×1=6(种). 答案:6 5.将数字 7,8,9 与符号“×”“÷”五个字符都填入下列表格的 五个空格中,任意两个数字都不相邻,共有多少种不同的填法?
1 2345

解析:根据题意,分两步进行,第一步,填数字:数字只能填在

1,3,5 的位置,共有 3×2×1=6(种)方法;第二步,填符号,只能填

在 2,4 的位置,共有 2×1=2(种)方法,所以共有 N=6×2=12(种)不

同的填法.

(限时:30 分钟)

一、选择题

1.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中

恰有 1 门相同的选法有( )

A.6 种

B.12 种

C.24 种 D.30 种

解析:分步完成.首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4

种方法,其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门,有 3 种方法,最后乙

从剩下的 2 门课程中任选 1 门,有 2 种方法,于是,甲、乙所选的课

程中恰有 1 门相同的选法共有 4×3×2=24(种).

答案:C

2.现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座,每名同学可

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自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )

A.56

B.65

C. D.6×5×4×3×2

解析:要完成选择听讲座这件事,需要分六步完成,即 6 名同学

逐个选择要听的讲座,因为每名同学均有 5 种讲座可选择,由分步乘

法计数原理,6 位同学共有 5×5×5×5×5×5=56 种不同的选法.

答案:A

3.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数

字的三位数,其中奇数的个数为( )

A.24 B.18

C.12 D.6

解析:(1)当从 0,2 中选取 2 时,组成的三位奇数的个位只能是奇

数,只要 2 不排在个位即可,先排 2 再排 1,3,5 中选出的两个奇数,

共有 2×3×2=12(个).(2)当从 0,2 中选取 0 时,组成的三位奇数的

个位只能是奇数,0 必须在十位,只要排好从 1,3,5 中选出的两个奇

数.共有 3×2=6(个).综上,由分类加法计数原理知共有 12+6=

18(个).

答案:B

4.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种

在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有

()

A.24 种 B.18 种

C.12 种 D.6 种

解析:方法一:(直接法)若黄瓜种在第一块土地上,则有 3×2×1

=6 种不同的种植方法.同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上均有

3×2×1=6 种不同的种植方法.故不同的种植方法共有 6×3=18 种.

方法二:(间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种种在三块地上,有

4×3×2=24 种方法,其中不种黄瓜有 3×2×1=6 种方法,故共有不

同的种植方法 24-6=18 种.

答案:B

5.如图所示,用不同的五种颜色分别为 A,B,C,D,E 五部分着

色,相邻部分不能用同一种颜色,但同一种颜色可以反复使用,也可

不使用,则符合这些要求的不同着色的方法共有( )

A.500 种 B.520 种

C.540 种 D.560 种

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解析:按照分步计数原理,先为 A 着色共有 5 种,再为 B 着色共 有 4 种(不能与 A 相同),接着为 C 着色有 3 种(不与 A,B 相同),同理 依次为 D,E 着色各有 3 种,所以不同着色的方法共有 N=5×4×33= 540(种).
答案:C 二、填空题 6.湖北省(鄂)分别与湖南(湘)、安徽(皖)、陕西(陕)三省交界 (如图),且湘、皖、陕互不交界,在地图上分别给各省地域涂色,要 求相邻省涂不同色,现有五种不同颜色可供选用,则不同的涂色方法 有________种. 解析:由题意知本题是一个分步乘法计数问题,首先涂陕西,有 5 种结果,再涂湖北省,有 4 种结果,第二步涂安徽,有 4 种结果,再 涂湖南有 4 种,即 5×4×4×4=320. 答案:320 7.某城市在中心广场建造了一个花园,花园分为 6 个部分(如图 所示),现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能 栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有________种(用数字作答). 解析:根据 6 个部分的对称性,按同色、不同色进行分类: (1)4,6 同色,1 有四种颜色可选,5 有三种颜色可选,4 有两种颜 色可选,2 有两种颜色可选,3 只有一种颜色可选,共有 4×3×2×2×1=48(种). (2)4,6 不同色,1 有四种颜色可选,5 有三种颜色可选,4 有两种 颜色可选,6 有一种颜色可选,若 2 与 4 同色,则 3 有两种,若 2 与 4 不同色,则 3 有一种,共有 4×3×2×1×(2+1)=72(种). 故共有 120 种不同的栽种方法. 答案:120 三、解答题 8.从 1 到 200 的自然数中,各个数位上都不含有数字 8 的自然数 有多少个? 解析:从整体看需分类完成, 用分类计数原理.从局部看需分步 完成,用分步计数原理. 第一类:一位数中除 8 外符合要求的有 8 个(0 除外); 第二类:两位数中,十位上数字除 0 和 8 外有 8 种情况,而个位 数字除 8 外,有 9 种情况.共有(8×9)个符合要求; 第三类:三位数中,百位上数字是 1 的,十位和个位上数字除 8
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外均有 9 种情况,共有(9×9)种.而百位数字上是 2 的只有 200 符合.

所以总共有 8+8×9+9×9+1=162(个).

9.某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所

示的 6 个点 A,B,C,A1,B1,C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段

两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有

多少种?

解析:第一步,在点 A1,B1,C1 上安装灯泡,A1 有 4 种方法,

B1 有 3 种方法,C1 有 2 种方法,共有 4×3×2=24(种)方法.

第二步,从 A,B,C 中选一个点安装第 4 种颜色的灯泡,有 3 种

方法.

第三步,再给剩余的两个点安装灯泡,共有 3 种方法,

由分步乘法计数原理可得,共有 4×3×2×3×3=216(种)方法.

10.已知集合 A={a,b,c},集合 B={-1,0,1}.

(1)从集合 A 到 B 能构造多少个不同的映射?

(2)满足 f(a)+f(b)+f(c)=0 的映射有多少个?

解析:(1)每个元素 a,b,c 都可以有 3 个象和它对应,故从 A 到

B 能构造 3×3×3=27 个不同的映射.

(2)列表如下:

f(a) 0 0

0

1

1 -1 -1

f(b) 0 1 -1 0 -1 1

0

f(c) 0 -1 1 -1 0

0

1

从表中可知满足 f(a)+f(b)+f(c)=0 的映射有 7 个.

11.用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域涂一种

颜色.

14

23

(1)共有多少种不同的涂色方法?

(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的

涂色方法?

解析:(1)由于 1 至 4 号区域各有 5 种不同的涂法,故依分步计数

原理知,不同的涂色方法有 54=625(种).

(2)第一类:1 号区域与 3 号区域同色时,有 5×4×1×4=80(种)

涂法;

第二类:1 号区域与 3 号区域异色时,有 5×4×3×3=180(种)涂

法.

依据分类计数原理知,不同的涂色方法有 80+180=260(种).

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