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吉林省东北师范大学附属中学净月校区2016届高三下学期最后一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


“时不我待,只争朝夕”
高三模拟考试数学(理科)试卷 第 Ⅰ卷
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 .. 一项 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). .. 1. 已知集合 M ? {?1,1}, N ? {x | A. N ? M 2. A.

1 ? 2 ? 0} ,则下列结论正确的是 x
C. M ? N D. N ? M ? R

B. N ? M ? ?

若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ,则 z 的实部为

2 ?1 2 ??? ? ???? 3. 已知菱形 ABCD 的边长为 a , ?ABC ? 60? ,则 DB ? DC ? 3 2 3 2 3 2 3 2 a a A. ? a B. ? a C. D. 4 2 2 4
1 2
B.

2 ?1

C. 1

D.

4.

若圆 C : x ? y
2

2

? 2x ? y tan? ? 0 关于直线 2 x ? y ?1 ? 0 对称,则 sin ? cos ? ?

5.

2 2 6 2 B. ? C. ? D. ? 5 5 37 3 若 A(a, b), B(c, d ) 是 f ( x) ? ln x 图象上不同两点, 则下列各点一定在函数 f ( x) 图象上
A. 的是 A. (a ? c, b ? d ) B. (a ? c, bd ) C. (ac, b ? d ) D. (ac, bd)

6.

“牟合方盖” 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个 扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所 作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是

7.

某射击手射击一次击中目标的概率是 0.7,连续两次均击中目标的的概率是 0.4,已知某 次射中,则随后一次射中的概率是 A.

7 10

B.

6 7

C.

4 7

D.

2 5

8.

函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) , 其导函数 f ?( x ) 的部分图象如图 所示,则 f (? ) ? A.

2

B.

3

C. 2 2

D. 2 3

1

9.

如下图所示的程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相 应的 y 值,则满足输出的值与输入的值是互为相反数 的 x 的个数为 A. 0 B. 1 2 C. D. 3

4 3 , 3 ?APC ? 45?, ?BPC ? 60?, PA ? AC, PB ? BC ,且平 面 PAC ? 平面 PBC ,那么三棱锥 P ? ABC 外接球的体
10. 已知在三棱锥 P ? ABC 中, VP ? ABC ? 积为 A.

4? 3

B.

8 2? 3
32? 3
x
2

C.

12 3? 3

D.

11. 设 F1 , F2 分别椭圆 C1 :

a1

2

?

y

2

b1

2

? 1( a1 ? b1 ? 0) 与双曲线 C2 :

x

2

a2

2

?

y

2

b2

2

? 1( a2 , b2 ? 0) 的

3 2 2 公共焦点, 它们在第一象限内交于点 M , 若椭圆的离心率 e1 ? [ , ?F1MF2 ? 90? , ], 4 3 则双曲线 C2 离心率 e 2 的取值范围是
A.
[

2 14 3 2 , ] 7 2

B.

[

2 14 7
2

,

2)

C. ( 2,

3 2 ] 2

D.

[

3 2
2

, ??)

12. 函数 f ( x) ?

ln x ? ( x ? b) x
? ?

(b ? R) ,若存在 x ? [ ,2] ,使得 f ( x) ? ? x ? f ?( x) ,

1 2

则实数 b 的取值范围是 A. ? ?,2

?

?

B. ? ? ?, ?

3? 2?

C. ? ? ?, ?

? ?

9? 4?

D.

?? ?, 3?

第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上).

a 1 dx ? a ,则 (1 ? x)(1 ? )3 展开式中的常数项是_________. 1 x x ?x ? y ? 1 y 1 ? 14. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,若 的最大值为 ,则实数 a ? _______. x?2 2 ? x?a ? 4 15. 已知 f ( x) ? ln( x ? ? a) ,若存在 x0 ? 0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是____. x 2 A b cos A 2? a ,则角 A 16. ?ABC 的三个内角 , B , C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a sin Asin B ?
13. 若

?

e

的取值范围是________.
2

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 中公差 d ? 0 ,有 a1 ? a4 ? 14 ,且 a1 , a2 , a7 成等比数列. (1) 求 {an } 的通项公式与前 n 项和公式 Sn ;

1 (2) 令 bn ? Sn ,求数列 { } 的前 n 项和 Tn .

n?

1 2

bnbn?1

18. (本小题满分 12 分) 某网站点击量等级规定如下: 统计该网站 4 月每天的点击量如下表:

点击次

( x 万次 点击次数 ( x 万次) 天数

等级

0 ? x ? 50
5

50 ? x ? 100
11

100 ? x ? 150
10

x ? 150
4

(1) 若从中任选两天,求点击数落在同一等级的概率; (2) 从 4 月份点击量低于 100 万次的天数中随机抽取 3 天,记这 3 天点击等级为差的天数为 随机变量 X ,求随机变量 X 的分布列与数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , DC ? PD , E 为 PC 中点,底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 . (1) 证明: BC ? 平面 PBD ; (2) 在线段 PC 上是否存在一点 Q ,使得二面角 Q ? BD ? P 为

45 ? ?若存在,求

| PQ | 的值;若不存在,请说明理由. | PC |

3

20. (本小题满分 12 分)

x2 x2 2 ? y2 ? 1 的 左 焦 点 重 合 , 点 已 知 椭 圆 C : 2 ? y ? 1(a ? 1) 的 左 顶 点 R 与 双 曲 线 a 3 A(2,1), B(?2,1), O 为坐标原点. ??? ? ??? ? (1) 设 Q 求椭圆 C 上任意一点, S (6, 0) ,求 QS ? QR 的取值范围;
(2) 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 是椭圆 C 上的两个动点,满足 kOM ? kON ? kOA ? kOB ,试探究

?OMN 的面积是否为定值,说明理由.

21. (本小题满分 12 分)

a 2 x ? x ? a (a ? R ) . 2 (1) 若函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? ?2 x 平行,求 a 的值;
已知函数 f ( x) ? x ln x ? (2) 若函数 f ( x ) 在其定义域内有两个不同的极值点, 记两个极值点分别为 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 ,
? 若已知 ? ? 0 ,不等式 e1?? ? x1 ? x2 恒成立,求 ? 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,AB 与圆 O 相切于点 B ,C , D 为圆 O 上两点, 延长 AD 交圆 O 于 点 E , BF ∥ CD 且交 ED 于点 F . (1) 求证: ?BCE ∽ ?FDB ;

4

(2) 若 BE 为圆 O 的直径, ?EBF ? ?CBD, BF ? 2 ,求 AD ? ED . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲.

? x ? 1 ? cos ? , (其中? 为参数) , 以坐标原点 O 为 ? y ? sin ? 极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? . (1) 若 A, B 为曲线 C1 , C2 的公共点,求直线 AB 的斜率;
在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? (2) 若 A, B 为曲线 C1 , C2 上的动点,当 | AB | 取最大值时,求 ?AOB 的面积. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知正实数 a, b, c . (1) 若 abc ? 1 ,证明: a ? b ? c ?

1 1 1 ? ? ; a b c
恒成立,求x 的取值范 围.

(2) 若a ? b ? c ? 1 ,且 a ? 2 b ? 2 c ?|2x ?1| ? | x? 2| ? 3

5

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