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高中数学第1章常用逻辑用语章末复习提升学案苏教版选修2_1

第 1 章 常用逻辑用语 1.要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换. 2.正确理解“或”的意义,日常用语中的“或”有两类用法:其一是“不可兼”的“或”; 其二是“可兼”的“或”,我们这里仅研究“可兼”的“或”. 3.有的命题中省略了“且”“或”,要正确区分. 4.常用“都是”表示全称肯定,它的存在性否定为“不都是”,两者互为否定;用“都不 是”表示全称否定,它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示. 5.在判定充分条件、必要条件时,要注意既要看由 p 能否推出 q,又要看由 q 能否推出 p, 不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证,证明时要分两个方面,防止将充分 条件和必要条件的证明弄混. 6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若 p,则 q”,其否命题形式为“若非 p,则非 q”,其命题的否定为“若 p,则非 q”,即否命题是将条件、结论同时否定,而命题的否定 是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式,此时应先分清条件 p,结论 q,改写成 “若 p,则 q”的形式再判断. 1 1.转化与化归思想 将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归 思想.一般将有待解决的问题进行转化,使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章 主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化, 使复杂问题简单化,抽象问题具体化. 例 1 判断下列命题的真假. (1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形; (2)若 x?A∩B,则 x?A 且 x?B; (3)若 x≠y 或 x≠-y,则|x|≠|y|. 解 (1)该命题的逆否命题:“若一个四边形是等腰梯形,则它的对角线相等”,它为真命 题,故原命题为真. (2)该命题的逆否命题:“若 x∈A 或 x∈B,则 x∈A∩B”,它为假命题,故原命题为假. (3)该命题的逆否命题:“若|x|=|y|,则 x=y 且 x=-y”,它为假命题,故原命题为假. 跟踪训练 1 下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:圆 x +y =r 与直线 ax+by+c=0 相切,q:c =(a +b )r (其中 r>0); (2)p:x+y≠-2,q:x,y 不都是-1. 解 (1)若圆 x +y =r 与直线 ax+by+c=0 相切, 圆心到直线 ax+by+c=0 的距离等于 r, 即 r= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |c| a +b 2 2 2 2 ,所以 c =(a +b )r ;反过来,若 c =(a +b )r ,则 2 2 2 2 2 2 2 2 |c| a2+b2 =r 成立,说明 圆 x +y =r 与直线 ax+by+c=0 相切,故 p 是 q 的充要条件. (2) 非 q:x=-1 且 y=-1,非 p:x+y=-2. ∵非 q? 非 p,而非 pD? /非 q,∴非 q 是非 p 的充分不必要条件,从而,p 是 q 的充分不必 要条件. 例 2 设命题 p: 实数 x 满足 x 2 ? ?x -x-6≤0, -4ax+3a <0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0. ? 2 2 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解 (1)由 x -4ax+3a <0 得(x-3a)(x-a)<0. 又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3, 即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1<x<3. 2 2 2 ?x -x-6≤0, ? 由? 2 ?x +2x-8>0, ? 2 ?-2≤x≤3, ? 解得? ?x<-4或x>2. ? 即 2<x≤3. 所以 q 为真时,实数 x 的取值范围是 2<x≤3. ? ?1<x<3, 若 p∧q 为真,则? ?2<x≤3 ? ?2<x<3, 所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2) 非 p 是非 q 的充分不必要条件, 即非 p? 非 q 且非 qD? /非 p. 设 A={x|x≤a 或 x≥3a},B={x|x≤2 或 x>3}, 则 A B. 所以 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1,2]. 跟踪训练 2 命题 p:? x∈R,x +1>a,命题 q:a -4>0,若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实 数 a 的取值范围. 解 若 p 为真命题,则 a<1; 若 q 为真命题,则 a >4,即 a>2 或 a<-2. 由已知条件知:p 与 q 一真一假, 当 p 为真,q 为假时有:? ? ?a<1, ?-2≤a≤2, ? ?a≥1, ? ? ?a>2或a<-2, 2 2 2 所以-2≤a<1, 当 q 为真,p 为假时有:? 所以 a>2, 综上所述,-2≤a<1 或 a>2. 2.分类讨论思想 分类讨论又称逻辑划分, 是中学数学常用思想方法之一, 分类讨论的关键是逻辑划分标准要 准确, 从而对问题进行分类求解, 常用逻辑用语一章所涉及的不等式大多是含有字母参数的, 对这类含参数的问题要进行分类讨论,讨论时要做到不重复、不遗漏. 例 3 已知 a>0,a≠1,设 p:函数 y=loga(x+1)在 x∈(0,+∞)内单调递减;q:曲线 y =x +(2a-3)x+1 与 x 轴交于不同的两点,如果 p∨q 为真,p∧q 为假,求 a 的取值范围. 解 方法一 由题意知,p 和 q 有且只有一个为真.p 为真时,0<a<1;∵y=x +(2a-3)x 1 5 1 2 +1 与 x 轴有两个不同交点,∴Δ =(2a-3) -4>0,得 a< 或 a> ,即 q 为真时,0<a< 2 2 2 5 或 a> . 2 2 2 3 1 5 1 (1)当 p 为真,


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