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初高中数学衔接基础知识点专题

初高中数学衔接知识点专题

临洮二中数学组 董学峰

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】

1.绝对值

[1]绝对值的代数意义:

.即



[2]绝对值的几何意义:

的距离.

[3]两个数的差的绝对值的几何意义:表示

的距离.

[4]两个绝对值不等式:;.

2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:

[1]平方差公式:



[2]完全平方和公式:



[3]完全平方差公式:



我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

[公式 1]

[公式 2](立方和公式)

[公式 3] (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”.

3.根式

[1]式子叫做二次根式,其性质如下:

(1)

;(2)

;(3)

; (4)

[2]平方根与算术平方根的概念:

根.

[3]立方根的概念:

4.分式

. 叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方
叫做的立方根,记为

[1]分式的意义

(1)



形如的式子,若 B 中含有字母,且,则称为分式.当 M≠0 时,分式具有下列性质:

(2)



[2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时,就叫做繁分式,如, 说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.

[3]分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母 的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化 去分子中的根号的过程

【例题选讲】

例 1 解下列不等式:(1) (2)>4.

例 2 计算:

- 1 - / 19

(1)

(2)

(3)

(4)

例 3 已知,求的值.

例 4 已知,求的值.

例 5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):

(1)

(2)

(3)

(4)

例 6 设,求的值.

例 7 化简:(1)

(2)

(1)解法一:原式=

解法二:原式=

(2)解:原式=

说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简; (2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.

【巩固练习】

1. 解不等式

2. 设,求代数式的值.

3. 当,求的值.

4. 设,求的值.

- 2 - / 19

5. 计算

6.化简或计算:

(1)

(2)

(3)

(4)

★ 专题二 因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程 及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外, 还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等. 1.公式法 常用的乘法公式:

[1]平方差公式:



[2]完全平方和公式:



[3]完全平方差公式:



[4] [5](立方和公式)

[6] (立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,运用上述公式可以进

行因式分解.

2.分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的

多项式,如既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组

来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.

常见题型:(1)分组后能提取公因式 3.十字相乘法 (1)型的因式分解

(2)分组后能直接运用公式

这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:①二次项系数是 1;②常数项是两个数之积;③ 一次

项系数是常数项的两个因数之和.

∵,

∴ 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式.

(2)一般二次三项式型的因式分解

- 3 - / 19

由我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到, 如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.这种借助画十字交 叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次 三项式能否用十字相乘法分解. 4.其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法:(1)配方法 (2)拆、添项法
【例题选讲】
例 1 (公式法)分解因式:(1) ;(2)
例 2 (分组分解法)分解因式:(1) (2)

例 3 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1)

(2)

(3)

(4)

解:(1)

(2) (3)分析:把看成的二次三项式,这时常数项是,一次项系数是,把分解成与的积,而,正好是一次项

系数.

解:

(4) 由换元思想,只要把整体看作一个字母,可不必写出,只当作分解二次三项式.解:

例 4 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) ;(2)

解:(1) (2)
说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时,为提高速

度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”

凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.

例 5 (拆项法)分解因式

【巩固练习】

1.把下列各式分解因式:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2.已知,求代数式的值.

- 4 - / 19

3.现给出三个多项式,,,,请你选择其中两个进行加法运算,并把结果因式分解. 4.已知,求证:.

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

1.一元二次方程的根的判断式

一元二次方程,用配方法将其变形为:



由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把叫做一元二次方程的根的判别式,表

示为:

对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),有

[1]当 Δ 0 时,方程有两个不相等的实数根:



[2]当 Δ 0 时,方程有两个相等的实数根:



[3]当 Δ 0 时,方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系

定理:如果一元二次方程的两个根为,那么:

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦

达定理”.上述定理成立的前提是.

特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知

x1+x2=-p,x1·x2=q,即

p=-(x1+x2),q=x1·x2,

所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q=0 的两根,

所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.

【例题选讲】

例 1 已知关于的一元二次方程,根据下列条件,分别求出的范围:

(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根;

(4)方程无实数根.

例 2 已知实数、满足,试求、的值. - 5 - / 19

例 3 若是方程的两个根,试求下列各式的值:

(1) ; (2) ; (3) ;

(4) .

例 4 已知是一元二次方程的两个实数根. (1) 是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. (2) 求使的值为整数的实数的整数值. 解:(1) 假设存在实数,使成立.∵ 一元二次方程的两个实数根,∴ ,又是一元二次方程的两个实数根, ∴ ∴ ,但. ∴不存在实数,使成立. (2) ∵ ∴ 要使其值是整数,只需能被 4 整除,故,注意到,要使的值为整数的实数的整数值为. 【巩固练习】

1.若是方程的两个根,则的值为( )

A.

B.

C.

D.

2.若是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是( )

A. B.

C.

D.大小关系不能确定

3.设是方程的两实根,是关于的方程的两实根,则= ___ __ ,= _ ____ .

4.已知实数满足,则= ___ __ ,= _____ ,= _____ .

5.已知关于的方程的两个实数根的平方和等于 11,求证:关于的方程有实数根.

6.若是关于的方程的两个实数根,且都大于 1. (1) 求实数的取值范围;(2) 若,求的值.

★专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

【要点回顾】

1.平面直角坐标系

[1]

组成平面直角坐标系。

叫做轴或横轴,

叫做轴或纵轴,轴与轴统称坐标轴,他们的公共原点称为直角坐标系的原点。

[2] 平面直角坐标系内的对称点:

对称点或对称直线方程 轴

对称点的坐标

- 6 - / 19



原点



直线

直线

直线

2.函数图象 [1]一次函数:

直线 称是的一次函数,记为:(k、b 是常数,k≠0)

特别的,当=0 时,称是的正比例函数。

[2] 正比例函数的图象与性质:函数 y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是

的一条直线,当

时,

图象过原点及第一、第三象限,y 随 x 的增大而

;当

时,图象过原点及第二、第四象限,

y 随 x 的增大而



[3] 一次函数的图象与性质:函数(k、b 是常数,k≠0)的图象是过点(0,b)且与直线 y=kx 平行的一条直线.

设(k≠0),则当

时,y 随 x 的增大而 ;当 时, y 随 x 的增大而



[4]反比例函数的图象与性质:函数(k≠0)是双曲线,当 时,图象在第一、第三象限,在每个象限中,

y 随 x 的增大而

;当

时,图象在第二、第四象限.,在每个象限中,y 随 x 的增大而

.双曲线是轴对称图形,对称轴是直线与;又是中心对称图形,对称中心是原点.

【例题选讲】
例 1 已知、,根据下列条件,求出、点坐标. (1) 、关于 x 轴对称;(2) 、关于 y 轴对称;(3) 、关于原点对称.

例 2 已知一次函数 y=kx+2 的图象过第一、二、三象限且与 x、y 轴分别交于、两点,O 为原点,若 ΔAOB 的面积为 2,求此一次函数的表达式。
例 3 如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于,两点. (1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)根据图象回答:当取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值. 解:(1)在的图象上,, 又在的图象上,,即 ,解得:,, 反比例函数的解析式为,一次函数的解析式 为,
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(2)从图象上可知,当或时,反比例函数图象在一次函数图象的上方,所以反比例函数的值大于一次函 数的值。 【巩固练习】 1.函数与在同一坐标系内的图象可以是( ) 2.如图,平行四边形 ABCD 中,A 在坐标原点,D 在第一象限角平分线上,又知,,求点的坐标. 
3.如图,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为. (1)求的值; (2)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点 的坐标.

★专题五 二次函数 【要点回顾】 1. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 问题[1] 函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关系?
问题[2] 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图象之间存在怎样的关系?

由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法:

由于 y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c-, 所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数

y=ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的,

二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质:

[1]当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口方向

;顶点坐标为

,对称轴为直线

;当

时,y 随着 x 的增大而

;当

时,y 随着 x 的增大而

;当

时,

函数取最小值



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[2]当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口方向

;顶点坐标为

;当

时,y 随着 x 的增大而

;当

时,y 随着 x 的增大而

最大值



,对称轴为直线 ;当 时,函数取

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借 助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 2.二次函数的三种表示方式 [1]二次函数的三种表示方式:

(1).一般式:



(2).顶点式:



(3).交点式:



说明:确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,

可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式:

①给出三点坐标可利用一般式来求;

②给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.

③给出三点,其中两点为与 x 轴的两个交点.时可利用交点式来求.

3.分段函数
一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数. 【例题选讲】 例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出 当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.

例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间关 系如下表所示:

x /元

130

150

165

y/件

70

50

35

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为 多少元?此时每天的销售利润是多少?

例 3 已知函数,其中,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值.

例 4 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1); (2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2;
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(3)已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8).

例 5 在国内投递外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分,超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分,依此类推,每封 xg(0<x≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出函数 表达式,作出函数图象.
分析:由于当自变量 x 在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段函数给 出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当 x 在各个小范围内(如 20<x≤40)变化时,它所对应的 函数值(邮资)并不变化(都是 160 分).
解:设每封信的邮资为 y(单位:分),则 y 是 x 的函数.这个函数的解析式为

由上述的函数解析式,可以得到其图象如图所示.

【巩固练习】

1.选择题:

(1)把函数 y=-(x-1)2+4 的图象的顶点坐标是

()

(A)(-1,4) (B)(-1,-4) (C)(1,-4) (D)(1,4)

(2)函数 y=-x2+4x+6 的最值情况是

()

(A)有最大值 6

(B)有最小值 6

(C)有最大值 10

(D)有最大值 2

(3)函数 y=2x2+4x-5 中,当-3≤x<2 时,则 y 值的取值范围是 ( )

(A)-3≤y≤1

(B)-7≤y≤1

(C)-7≤y≤11

(D)-7≤y<11

2.填空:

(1)已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(1,0),且过点 C(2,4),则该二次函数的表达

式为



(2)已知某二次函数的图象过点(-1,0),(0,3),(1,4),则该函数的表达式为



3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点 A(0,),B(1,0),C(,2);

(2)已知抛物线的顶点为(1,),且与 y 轴交于点(0,1);

(3)已知抛物线与 x 轴交于点 M(,0),(5,0),且与 y 轴交于点(0,);

(4)已知抛物线的顶点为(3,),且与 x 轴两交点间的距离为 4.

4.如图,某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡.已 知墙的长度为 6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大?
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5.如图所示,在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P,从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后, 回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,ΔPAC 的面积为 y.
(1)求函数 y 的解析式; (2)画出函数 y 的图像; (3)求函数 y 的取值范围.

★ 专题六 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1.二次函数的最值. 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时,函数在处取得最小值,无最大值;当时,函数在
处取得最大值,无最小值. 2.二次函数最大值或最小值的求法.
第一步确定 a 的符号,a>0 有最小值,a<0 有最大值;
第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
3.求二次函数在某一范围内的最值.
如:在(其中)的最值. 第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴:; 第二步:讨论: [1]若时求最小值或时求最大值,需分三种情况讨论:
①对称轴小于即,即对称轴在的左侧; ②对称轴,即对称轴在的内部; ③对称轴大于即,即对称轴在的右侧。 [2] 若时求最大值或时求最小值,需分两种情况讨论: ①对称轴,即对称轴在的中点的左侧; ②对称轴,即对称轴在的中点的右侧; 说明:求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置,具体情况,参 考例 4。

【例题选讲】

例 1 求下列函数的最大值或最小值.

(1);

(2).

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例 2 当时,求函数的最大值和最小值.
例 3 当时,求函数的取值范围.
例 4 当时,求函数的最小值(其中为常数). 分析:由于所给的范围随着的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位置. 解:函数的对称轴为.画出其草图.
(1) 当对称轴在所给范围左侧.即时:当时,; (2) 当对称轴在所给范围之间.即时: 当时,; (3) 当对称轴在所给范围右侧.即时:当时,.
综上所述: 例 5 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元) 满足一次函数.
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?
【巩固练习】 1.抛物线,当= _____ 时,图象的顶点在轴上;当= _____ 时,图象的顶点在轴上;当= _____ 时,图 象过原点. 2.用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 ________ . 3.设,当时,函数的最小值是,最大值是 0,求的值.
4.已知函数在上的最大值为 4,求的值.
5.求关于的二次函数在上的最大值(为常数).
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★ 专题七 不 等 式

【要点回顾】 1.一元二次不等式及其解法 [1]定义:形如

为关于的一元二次不等式.

[2]一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称:三个二次).

(ⅰ)一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象. ①如果图象与轴有两个交点,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来
判断) .则

②如果图象与轴只有一个交点,此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式来 判断) .则:

③如果图象与轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) .则:

(ⅱ)解一元二次不等式的步骤是: (1) 化二次项系数为正; (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根.那么“”型的解为(俗称两根之外);“”型
的解为(俗称两根之间); (3) 否则,对二次三项式进行配方,变成,结合完全平方式为非负数的性质求解.
2.简单分式不等式的解法 解简单的分式不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应当注意分母不
为零. 3.含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为的形式. [1]当时,不等式的解为:; [2]当时,不等式的解为:; [3]当时,不等式化为:; ① 若,则不等式的解是全体实数;② 若,则不等式无解.

【例题选讲】

例 1 解下列不等式:(1)

(2)

⑴解法一:原不等式可以化为:,于是:或所以,原不等式的解是.

解法二:解相应的方程得:,所以原不等式的解是.

(2) 解法一:原不等式可化为:,即于是:

,所以原不等式的解是.

解法二:原不等式可化为:,即,解相应方程,得,所以原不等式的解是.

说明:解一元二次不等式,实际就是先解相应的一元二次方程,然后再根据二次函数的图象判断出不

等式的解.

例 2 解下列不等式:(1)

(2)

(3)

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例 3 已知对于任意实数,恒为正数,求实数的取值范围.

例 4 解下列不等式: (1)

(2)

例 5 求关于的不等式的解. 解:原不等式可化为: (1) 当时,,不等式的解为; (2) 当时,. ① 时,不等式的解为; ② 时,不等式的解为; ③ 时,不等式的解为全体实数. (3) 当时,不等式无解.
综上所述:当或时,不等式的解为;当时,不等式的解为;当时,不等式的解为全体实数;当时,不等 式无解.

【巩固练习】

1.解下列不等式:

(1)

(2)

(3)

(4)

2.解下列不等式:

(1)

(2)

(3) (4)

3.解下列不等式:

(1)

(2)

4.解关于的不等式.

5.已知关于的不等式的解是一切实数,求的取值范围.

6.若不等式的解是,求的值.

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7.取何值时,代数式的值不小于 0?

● 各专题参考答案 ●

专题一数与式的运算参考答案

例 1 (1)解法 1:由,得; ①若,不等式可变为,即; ②若,不等式可变为,即,解得:.综上所述,原不等式的解为. 解法 2: 表示 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离,所以不等式的几何意义即为 x 轴上坐标 为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离小于 1,观察数轴可知坐标为 x 的点在坐标为 3 的点的左侧,在坐标 为 1 的点的右侧.所以原不等式的解为. 解法 3:,所以原不等式的解为. (2)解法一:由,得;由,得; ①若,不等式可变为,即>4,解得 x<0,又 x<1,∴x<0;②若,不等式可变为,即 1>4,∴不存在满 足条件的 x; ③若,不等式可变为,即>4, 解得 x>4.又 x≥3,∴x>4. 综上所述,原不等式的解为 x<0,或 x>4. 解法二:如图,表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|,即|PA|=|x-1|;|x-3|表 示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|. 所以,不等式>4 的几何意义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2, 可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧. 所以原不等式的解为 x<0,或 x>4. 例 2(1)解:原式=

说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.
(2)原式= (3)原式= (4)原式= 例 3 解: 原式= 例 4 解: 原式= ①

②,把②代入①得原式=

例 5 解:(1)原式=

(2)原式= 说明:注意性质的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.

(3)原式=

(4) 原式=

例 6 解:

原式= 说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒

推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.

【巩固练习】

1. 2. 3.或

4.

5. 6.

专题二因式分解答案

例 1 分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现,可看着是或. 解:(1) .
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(2)
例 2(1)分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式. 解:
(2)分析:先将系数 2 提出后,得到,其中前三项作为一组,它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差 形式,可继续分解因式. 解: 例 5 解:
【巩固练习】 1. . 2.; 3. 其他情况如下:;
. 4.
专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案
例 1 解:∵,∴(1) ; (2) ;(3) ;(4). 例 2 解:可以把所给方程看作为关于的方程,整理得: 由于是实数,所以上述方程有实数根,因此:, 代入原方程得:.综上知: 例 3 解:由题意,根据根与系数的关系得:
(1) (2) (3) (4) 说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:,,,等等.韦达定理体现了整体思想. 【巩固练习】 1. A; 2.A; 3.; 4.; 5. (1)当时,方程为,有实根;(2) 当时,也有实根.6.(1) ; (2) .
专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案
例 1 解:(1)因为、关于 x 轴对称,它们横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以,,则、. (2)因为、关于 y 轴对称,它们横坐标互为相反数,纵坐标相同,所以,,,则、. (3)因为、关于原点对称,它们的横纵坐标都互为相反数,所以,,则、.
例 2 分析:因为直线过第一、三象限,所以可知 k>0,又因为 b=2,所以直线与 y 轴交于(0,2),即可知 OB=2,而 ΔAOB 的面积为 2,由此可推算出 OA=2,而直线过第二象限,所以 A 点坐标为(-2,0),由 A、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式。 解:∵B 是直线 y=kx+2 与 y 轴交点,∴B(0,2),∴OB=2, ,过第二象限, 【巩固练习】 1. B 2. D(2,2)、C(8,2)、B(6,0). 3.(1).(2)点的坐标是或.
专题五二次函数参考答案
例 1 解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,∴函数图象的开口向下;对称轴是直线 x=-1;顶点坐标为 (-1,4); 当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4;
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当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而减小; 采用描点法画图,选顶点 A(-1,4)),与 x 轴交于点 B 和 C,与 y 轴的交点为 D(0,1),过这五点画出图 象(如图 2-5 所示).
说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选 点的盲目性,使画图更简便、图象更精确. 例 2 分析:由于每天的利润=日销售量 y×(销售价 x-120),日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数,所以, 欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系,然后,再由它们之 间的函数关系求出每天利润的最大值. 解:由于 y 是 x 的一次函数,于是,设 y=kx+(B),将 x=130,y=70;x=150,y=50 代入方程,有 解得 k=-1,b=200.∴ y=-x+200. 设每天的利润为 z(元),则 z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600, ∴当 x=160 时,z 取最大值 1600. 答:当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元. 例 3 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对 a 的取值进行讨论.
解:(1)当 a=-2 时,函数 y=x2 的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最小值 都是 4,此时 x=-2;
(2)当-2<a<0 时,由图 2.2-6①可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=a 时,函数 取最小值 y=a2;
(3)当 0≤a<2 时,由图 2.2-6②可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=0 时,函数取 最小值 y=0;
(4)当 a≥2 时,由图 2.2-6③可知,当 x=a 时,函数取最大值 y=a2;当 x=0 时,函数取最小 值 y=0.
说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所研究的二次 函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时,通常需要借助于 函数图象来直观地解决问题. 例 4(1)分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函 数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵坐标为 2.又顶点在直线 y=x+1 上,所以,2=x+1,∴x=1.∴顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为,∵二次函数的图 像经过点(3,-1),∴,解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为,即 y=-2x2+8x-7. 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的 顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问 题. (2) 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的 交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.
解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0),展开, 得 y=ax2+2ax-3a, 顶点的纵坐标为 ,由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2,∴|-4a|=2,即 a=.所以,二次函数的表达式为 y=,或 y=-.
分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1,又由顶点到 x 轴的距 离为 2,可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图 象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.
解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线 x=-1.又顶点到 x 轴的距离为 2,∴顶点的纵坐标为 2,或-2.于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2,由于函数图象 过点(1,0),∴0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2.∴a=-,或 a=.所以,所求的二次函数为 y=-(x+1)2+2,或 y=(x+1)2-2.
说明:上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来 解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. (3)解:设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得
解得 a=-2,b=12,c=-8.所以,所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8.
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【巩固练习】

1.(1)D (2)C (3)D 3.(1).(2).

2.(1)y=x2+x-2

(3).(4)

4.当长为 6m,宽为 3m 时,矩形的面积最大. 5.(1)函数 f(x)的解析式为 (2)函数 y 的图像如图所示 (3)由函数图像可知,函数 y 的取值范围是 0<y≤2.

(2)y=-x2+2x+3

专题六二次函数的最值问题参考答案

例 1 分析:由于函数和的自变量 x 的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点, 就可以确定函数有最大值或最小值. 解:(1)因为二次函数中的二次项系数 2>0,所以抛物线有最低点,即函数有最小值.因为=,所以当 时,函数有最小值是. (2)因为二次函数中的二次项系数-1<0,所以抛物线有最高点,即函数有最大值.因为=,所以当时, 函数有最大值. 例 2 解:作出函数的图象.当时,,当时,.

说明:二次函数在自变量的给定范围内,对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函 数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值.
根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况:

例 3 解:作出函数在内的图象.

可以看出:当时,,无最大值.所以,当时,函数的取值范围是.

例 5 解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为元,那么件的销售利润为,又.

(2) 由(1)知对称轴为,位于的范围内,另抛物线开口向下

当时,

当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.

【巩固练习】

1.4 14 或 2, 2.

3.. 4.或.

5.当时,,此时;当时,,此时.

专题七不等式答案

例 2 解:(1) 不等式可化为∴ 不等式的解是 (2) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是;(3) 不等式可化为. 例 3 解:显然不合题意,于是: 例 4 分析:(1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理;或者 因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求解. (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数.
解:(1) 解法(一)原不等式可化为: 解法(二) 原不等式可化为:. (2) 解:原不等式可化为:

说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0. (2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:
【巩固练习】 1.; 2.;
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3.(1) 无解 (2) 全体实数

4.(1)当时,;(2)当时,;(3) 当时,取全体实数.

5.; 6.

7..

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