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07~13年广东高考文数


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2008 年广东数学(文科 B)
1 V ? Sh 3 ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 参考公式:锥体的体积公式
如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行.若集合 A ? {参加北 京奥运会比赛的运动员},集合 B ? {参加北京奥运会比赛的男运动员},集合 C ? {参加 北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( A. A ? B B. B ? C C. B ? C ? A ) D. A ? B ? C )

2.已知 0 ? a ? 2 ,复数 z ? a ? i ( i 是虚数单位),则 | z | 的取值范围是(

5) A. (1,

3) B. (1,

, C. (1 5)

, D. (1 3)


, 3.已知平面向量 a ? (1 2) , b ? (?2,m) ,且 a ∥b ,则 2a ? 3b ? ( ? A. (?5, 10)
4.记等差数列 A.2

? B. (?4, 8)
{an }
的前 n 项和为 C.6
2

? C. (?3, 6)
,若

? D. (?2, 4)
,则该数列的公差 d ? ( )

Sn

S2 ? 4
D.7



S 4 ? 20

B.3

5.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x , x ?R ,则 f ( x) 是(



A.最小正周期为 π 的奇函数

π B. 最小正周期为 2 的奇函数 π D.最小正周期为 2 的偶函数


C.最小正周期为 π 的偶函数
2 2

6.经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0

, 7.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示, A B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何
体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为(
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付出,总会有回报! A B I C A 侧视 B C B B B B

H

G

E F 图1 8.命题“若函数 逆否命题( A.若 B.若 C.若 D.若

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

f ( x) ? log a x(a ? 0,a ? 1)
) ,则函数

,在其定义域内是减函数,则

log a 2 ? 0

”的

log a 2 ≥ 0 log a 2 ? 0

f ( x) ? log a x f ( x) ? log a x

( a ? 0 , a ? 1 )在其定义域内不是减函数

,则函数 ,则函数

( a ? 0 , a ? 1 )在其定义域内不是减函数 ( a ? 0 , a ? 1 )在其定义域内是减函数

log a 2 ≥ 0 log a 2 ? 0

f ( x) ? log a x f ( x) ? log a x
x

,则函数

( a ? 0 , a ? 1 )在其定义域内是减函数 )

9.设 a ?R ,若函数 y ? e ? ax , x ?R 有大于零的极值点,则(

A. a ? ?1

B. a ? ?1

a??
C.

1 e

a??
D.

1 e


10.设 a,b?R ,若 a? | b |? 0 ,则下列不等式中正确的是( A. b ? a ? 0 B. a ? b ? 0
3 3

C. a ? b ? 0
2 2

D. b ? a ? 0

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量, 产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由 此得到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人 数是 . 频率/组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0

45 55 65 75 85 95 图3

产品数量

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?2 x ? y ≤ 40, ? ? x ? 2 y ≤ 50, ? ? x ≥ 0, ? y ≥ 0, 12.若变量 x,y 满足 ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是
13.阅读图 4 的程序框图,若输入 m ? 4 ,n ? 3 ,则输出 a ? (注:框图中的赋值符号“ ? ”也可以写成“ ? ”或“ :? ”) 开始

. ,i ? .

, 输入 m n
i ?1

a ? m?i

n 整除 a? 是 输出 a,i 结束 图4



i ? ?1
C1,C2
的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 ,

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选择一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线

? ? 4 cos ? ? ? ≥ 0,≤? ? ? 0 2

? ?

π? ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为


15.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的 直径, PC 与圆 O 交于 B 点, PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

0 16.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ?R 的最大值是 1,其图像经过点

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?π 1? M? ,? ? 3 2?.
(1)求 f ( x) 的解析式;

(2)已知

?,? ? ? 0, ?

? ?

π? 3 12 f (? ) ? f (? ) ? 2 ? ,且 5, 13 ,求 f (? ? ? ) 的值.

17.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平 方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x( x ≥ 10) 层,则每平方米的平均建筑费用为

560 ? 48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多
少层? (注:平均综合费用 ? 平均建筑费用 ? 平均购地费用,平均购地费用

?

购地总费用 建筑总面积 )

18. 如图 5 所示, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四 边形, 其中 BD 是圆的直径, ?ABD ? 60 , ?BDC ? 45 , △ADP ∽△BAD .
? ?

P

(1)求线段 PD 的长; (2)若 PC ? 11R ,求三棱锥 P ? ABC 的体积. A B C 图5 D

19.某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 初三年级

x
370

y

z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名?

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付出,总会有回报! (3)已知 y ≥ 245 , z ≥ 245 ,求初三年级中女生比男生多的概率.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 2 b 20.设 b ? 0 ,椭圆方程为 2b ,抛物线方程为 x ? 8( y ? b) .如图 6 所示,过点

F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线, 与抛物线在第一象限的交点为 G , 已知抛物线在点 G 的
切线经过椭圆的右焦点

F1



(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2) A,B 分别是椭圆长轴的左、 设 右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P , 使得 △ ABP 为直角三角形?若存在, 请指出共有几个这样的点?并说明理由 (不必具体求出这些点 的坐标). y F G F1 A O 图6 B x

21.设数列

?an ?

1 an ? (an?1 ? 2an ?2 )(n ? 3, ?) 4, ?b ? a ? 1 a2 ? 2 3 满足 1 , , .数列 n 满足
是非零整数,且对任意的正整数 m 和自然数 k ,都有 .

b1 ? 1



bn (n ? 2,?) 3,

?1≤ bm ? bm?1 ? ? ? bm? k ≤1
(1)求数列 (2)记

?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
,求数列

cn ? nanbn (n ? 1, ?) 2,

?cn ? 的前 n 项和 S n .

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2008 年广东数学(文科 B)参考答案
一、选择题:C C B B D C A A A D

二、填空题:11.13 12.70 13.12,3 三、解答题 16.解:(1)依题意知 A ? 1

π? ? π? ? ? ? 2 3, ? ? 2 3, ? 6?, 6? ? ? 14.

15. 3

?π? ?π ? 1 π π 4π f ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ?? ? ?3? ?3 ? 2 ,又 3 3 3 ;

π 5π π ?? ? ?? ? 2 3 6 ,即 f (? ) ? cos ? ?

π? ? f ( x) ? sin ? x ? ? ? cos x 2? ? 因此 ; ? π? 3 12 ?,? ? ? 0, ? f ( ? ) ? cos ? ? ? 2? 5, 13 ,且

(2)?

? sin ? ?

4 5 sin ? ? 5, 13

3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65 ;
17.解:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x) 元,则

f ( x) ? ? 560 ? 48 x ? ? f ?( x) ? 48 ? 10800 x2

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48x ? ( x ≥1,x ? Z? ) 0 2000 x x

? 令 f ( x) ? 0 得 x ? 15 ? ? 当 x ? 15 时, f ( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ( x) ? 0
因此当 x ? 15 时, f ( x) 取最小值 f (15) ? 2000 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层. 18.解:(1)? BD 是圆的直径

??BAD ? 90? ,又 △ADP ∽△BAD ,

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?

AD DP ? BA AD ,

3 AD ( BD sin 60 ) 4 ? 3R DP ? ? ? 1 BA ( BD sin 30? ) 2R ? 2 ;
2 ? 2

4R2 ?

(2)在 Rt△BCD 中, CD ? BD cos 45 ?
?

2R

? PD2 ? CD2 ? 9R2 ? 2R2 ? 11R2 ? PC 2

? PD ? CD ,又 ?PDA ? 90?

? PD ? 底面 ABCD
S△ ABC ? ? 3 1 1 2 1 2? 3 ?1 2 AB ?BC sin(60? ? 45? ) ? R ? 2 R ? ? ? ? R ?? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? 4 ?

1 1 3 ?1 2 3 ?1 3 VP ? ABC ? ?S△ ABC ?PD ? ? R ?R? 3 R 3 3 4 4 三棱锥 P ? ABC 的体积为

?
19.解:(1)

x ? 0.19 2000 ,? x ? 380

(2)初三年级人数为 y ? z ? 2000 ? (373 ? 377 ? 380 ? 370) ? 500 , 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

48 ? 500 ? 12 2000 名
(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为 ( y,z ) ; 由(2)知 y ? z ? 500 ,且 y,z ? N ,

255) ,(246, ,(247, , 254) 253) ?? ,(255, 245) 基本事件空间包含的基本事件有: (245,
共 11 个

, 248) 247) ,(245, ,(255, 246) 245) 事件 A 包含的基本事件有:(251 249) ,(252, ,(253,
共 5 个.

? P( A) ?

5 11 . 1 y ? x2 ? b 8
7 / 64

2 20.解:(1)由 x ? 8( y ? b) 得

每天进步一点点

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付出,总会有回报! 当 y ? b ? 2 时, x ? ?4 ,?G 点的坐标为 (4,b ? 2)

y? ?

1 x 4 , y? |x ? 4 ? 1

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 ,即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0得 x ? 2?b, 由椭圆方程得

? F1

0) 点的坐标为 (2 ? b, ;

F1

0) 点的坐标为 (b, ,

? 2 ? b ? b ,即 b ? 1,

x2 ? y2 ? 1 2 2 因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 和 x ? 8( y ? 1) .
(2)?过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,

?以 ?PAB 为直角的 Rt△ABP 只有一个,
同理以 ?PBA 为直角的 Rt△ABP 只有一个;

? 1 2 ? ? x, x ? 1? 0) ( 0) ? ,则 A,B 坐标分别为 (? 2,, 2, 若以 ?APB 为直角,设 P 点的坐标为 ? 8
2 ??? ??? ? ? ?1 2 ? 2 AB ?AB ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? 0 1 x 4 ? 5 x 2 ? 1 ? 0 ?8 ? 4 由 得 64 ,

关于 x 的一元二次方程有一解,? x 有二解,即以 ?APB 为直角的 Rt△ABP 有二个;
2

因此抛物线上共存在 4 个点使 △ ABP 为直角三角形.

1 2 an ? (an?1 ? an?2 ) an ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ? 2 ) 3 3 21.解:(1)由 得 ( n≥3 )


a2 ? a1 ? 1 ? 0



2 ?数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 1 公比为 3 的等比数列, ?
? 2? an ?1 ? an ? ? ? ? ? 3?
n ?1

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (an ? an ?1 )
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? 2? ? 2? ? 2? ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3?

2

n? 2

? 2? 1? ? ? ? 3? ? 1? ? 2 1? 3

n ?1

8 3? 2? ? ? ?? ? 5 5? 3?

n ?1



??1≤ b2 ? b3 ≤1 ??1≤ b1 ? b2 ≤1 ? ? ??1≤ b2 ≤1 ??1≤ b3 ≤1 ?b ? Z,b ? 0 ?b ? Z,b ? 0 b2 ? ?1 b ?1 ? 2 3 ? 2 由 得 ,由 ? 3 得 3 ,
同理可得当 n 为偶数时,

bn ? ?1

;当 n 为奇数时,

bn ? 1



因此

(当n为奇数时) ?1 bn ? ? ??1 (当n为偶数时)

n ?1 ?8 3 ?2? n ? n? ? (当n为奇数时) ? 5 ?3? ?5 cn ? nanbn ? ? n ?1 3 ?2? ? 8 (当n为偶数时) ?? 5 n ? 5 n ? 3 ? ? ? ? (2)

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn
当 n 为奇数时,



8 8 8 8 ? ?8 Sn ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n ? ? 5 5 5 5 ? ?5
3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ?
0 1 2 3 n ?1

? ? ? ?

?

0 1 2 3 n ?1 4( n ? 1) 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? 3? ? 3? ? ? ?



当 n 为偶数时,

8 8 8 8 ? ?8 Sn ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n ? ? 5 5 5 5 ? ?5
3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ?
0 1 2 3 n ?1

? ? ? ?

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0 1 2 3 n ?1 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?



?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? T ? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? 令 n
1 2 3 4

0

1

2

3

n ?1

,?????????①
n

?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 2 2 ? Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ?3? ?3? ?3? ?3? ? 3 ? ??????② ① 3 得: 3 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 1 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ① ? ②得: 3
1 2 3 4 n ?1

?2? ? n? ? ?3?

n

?2? 1? ? ? n n ? 3 ? ? n ? 2 ? ? 3 ? (3 ? n) ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ?3? ?3? 1? 3 ,
?2? Tn ? 9 ? (9 ? 3n) ? ? ?3? . ?
n

n

? 4n ? 23 9(n ? 3) ? 2 ?n ? ? ? ? 5 ?3? ? 5 Sn ? ? n ? 4n ? 27 9(n ? 3) ? 2 ? ? ? ?? 5 ? 5 ?3? ? 因此

(当n为奇数时) (当n为偶数时).

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2009 年广东数学(文科)
参考公式:锥体的体积公式 v ?

1 Sh ,其中 s 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M= {-1,0,1} 和 N= { x |x 2 +x=0} 关系的韦恩(Venn) 图是( )

2.下列 n 的取值中,使 i =1(i 是虚数单位)的是( A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5
2

n



3.已知平面向量 a= x,1 ,b= , ( ) (-x, x ) 则向量 a ? b ( A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴
x



B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线 )

( ) 4.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a a>0,且a ? 1 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? (
A. log 2 x B.

1 2x

C. log 1 x
2

D.2

x ?2

5.已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 =( A.

2



1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

6.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 7.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 6 ? ( ) A.2 B.4+ 2 3 C.4— 2 3
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2 且 ?A ? 75o ,则 b=

D. 6 ? 2

付出,总会有回报! 8.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 (
x

) D. (2,??)

A. (??,2)

B.(0,3)

C.(1,4) )

9.函数 y ? 2 cos2 ( x ?

?
4

) ? 1是 (

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

? 的奇函数 2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

10.广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进行,各城市之间的路线 距离(单位:百公里)见下表.若以 A 为起点,E 为终点,每个城市经过且只经过一次, 那么火炬传递的最短路线距离是( ) A. 20.6 B.21 C.22 D.23

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 队员 i 三分球个数 1 2 3 4 5 6

a1

a2

a3

a4

a5

a6

图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图, 则图中判断框 应填 ,输出的 s= (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)

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图1 12.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽 样法,将全体职工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号?,196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 。若 用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取 人.

图 2 13.以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)若直线 ? 则常数 k = .
o

.

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂直, ? y ? 2 ? 3t

15.(几何证明选讲选做题)如图 3,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4, ?ACB ? 30 ,则 圆 O 的面积等于 .

图3

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付出,总会有回报! 三、解答题,本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos? 的值

?
2

)

? (2)若 5 cos( ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

? ,求 cos? 的值 2

17.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH, 下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

18.随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶 图如图 7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同 学被抽中的概率.

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19.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
2 2

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 , 2

椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 C k : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的 圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 C k 包围椭圆 G?请说明理由.

20.已知点(1,

1 x )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1)的图象上一点,等比数列 {a n } 的前 3

n 项 和 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 S n 满 足 S n -

S n?1 = S n + S n?1 (n ? 2).
(1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 1000 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? bnbn?1 2009

21.已知二次函数 y ? g (x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g (x) 在 x =-1 处取 得最小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx存在零点,并求出零点.
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2009 年广东数学(文科)参考答案
一、1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7.A 8. D 9.A 10.B 二、11. i ? 6 , a1 ? a2 ? ? ? a6 14. ?6 15. 16? 12. 37, 20 13. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1) 2 ?

25 2

三、16. 【解析】(1) Q a ? b ,? a g ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2cos ? b 又∵ sin
2

v

v

v v

? ? cos? ? 1 , ∴ 4cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ,即 cos 2 ? ,∴ sin 2 ? ?

1 5

4 5



? 2 5 5 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

? cos ? ? sin ? ,? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

2 ? , ∴ cos ? ? 2 2

17.【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP ? EFGH ? VABCD ? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , ? PO ? HF 又 EG ? HF ? HF ? 平面 PEG 又 BD P HF

? BD ? 平面 PEG;

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18. 【解析】(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 : 179 之间,而乙班身高集中于 170 : 180 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170)2 ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ?170 ? 10
(2) x ?

? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有:(181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件;

? P ? A? ?

4 2 ? 10 5



19.【解析】(1)设椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

? 2a ? 12 ? a?6 ? ? 2 2 2 则?c , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a
所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 AK 的坐标为 ? ? K , 2 ?

x2 y 2 ? ?1. 36 9

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2
(3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,
2 2

若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;
2 2

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?不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
20.【解析】(1) Q f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?

x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 9 3 2 . a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
2?1? a 1 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? 3?3? a1 3
Q S n ? S n ?1 ?
n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n ? N*



?

S n ? S n ?1

??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? S n ? S n ?1 ? 1 ; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2 2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2? 3 5? 2? 5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 ? n ? ?1 ? ; ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ? 2n ? 1 2009 9 2009
2

21.【解析】(1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g ? ? x ? ? 2ax ? b ; 又 g ? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2

a ?1

?

b ? ?1 , b ? 2 2
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? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1 ? 2 ? c ? m ? 1 ,

c ? m;

f ? x? ?

g ? x? x
2 0

? x?

m ?2, x
2 2 0

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?
2

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?

? 2 2m 2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 得

m ?2 ? 0, x

?1 ? k ? x 2 ? 2 x ? m ? 0

? *?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1

? 当 k ? 1 时 , 方 程 ?*? 有 一 解 ? ? ? 4 ? 4m ? 1 k ? ? 0, y ? f ? x ? k 有一零点 x ? ? x

k ? 1?

1 , 函数 m

1 k ?1

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2010 年广东数学(文科)
1 参考公式:锥体的体积公式 V= 3 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合 A ? B=( A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} ) D.[2, ?? ) ) C.{1,2} ) D.{0}

2.函数, f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是( A.(2, ?? ) B.(1, ?? )
x ?x

C.[1, ?? )
x ?x

3.若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则( A. f ( x) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 均为奇函数 4.已知数列{

B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

an

}为等比数列,

Sn

是它的前 n 项和,若

a2·3 a =2a1

,且

a4



2a7

的等差中

5 项为 4 ,则 S5=(
A.35 B.33

) C.31 D.29 )

r r r r r r a ? (1,1) , b ? (2,5) , c ? (3, x) 满足条件 (8a ? b)? c ? 30 ,则 x =( 5.若向量
A.6 B.5 C.4 D.3

6. 若圆心在 x 轴上、 半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x ? 2 y ? 0 相切, 则圆 O 的 方程是 (
2


2

A. ( x ? 5) ? y ? 5 C. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

B. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

D. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(



4 A. 5

3 B. 5
3

2 C. 5

1 D. 5
) B.必要非充分条件 D.充要条件
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8.“ x >0”是“

x 2 >0”成立的(

A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件

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9







1



VABC













AA' / / BB' / /CC '



3 CC ' ? 平面ABC且3AA ' ? BB' ? CC ' ? AB ' ' ' 2 , 则多面体 ABC ? A B C 的正视图(也称主视
图)是( )

10.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

那么 d ? (a ? c) ? ( A.a B.b

) C.c D.d

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法, 对全市居民某 年的月均用水量进行了抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别为

x1

,?,

x4

(单位:吨).根据图 2 所示的程序框图,若

x1

, .

x2



x3



x4



分别为 1, 1.5 , 1.5 , 2 ,则输出的结果 s 为

12.某市居民 2005~2009 年家庭年平均 收入 x(单位:万元)与年平均支 出 Y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 年份 收入 x 支出 Y 2005 11.5 6.8 2006 12.1 8.8 2007 13 9.8 2008 13.3 10 2009 15 12 , 家庭年平均收入与年平均支

根据统计资料, 居民家庭年平均收入的中位数是 出有 .

21 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! 13.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B, 则 sinA= . (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图 3,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,

a CB⊥AB,AB=AD=a,CD= 2 ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点, 则
EF= . 15. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系 (ρ ,? ) 0 ? ?<2? ) ( 中,曲线

? ? cos ? ? sin ? ? ? 1



? ? sin ? ? cos ? ? ? 1

的交点的极坐标为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

?? ? ? f ? x ? ? 3sin ? ? x ? ? x ? ? ??, ?? ? 6 ? , ?>0 , ? 16.设函数 ,且以 2 为最小正周期.
(1)求 (2)求

f ?0? f ? x?

; 的解析式;

?? ? ? 9 f ? ? ?? (3)已知 ? 4 12 ? 5 ,求 sin ? 的值.

17. 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电 视观众,相关的数据如下表所示:

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名, 大于 40 岁的观众应该抽取几 名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率。

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18.如图 4,AEC 是半径为 a 的半 圆,AC 为直径, E 为 AC 点 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一 点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

?

?

19.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合 物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C .另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个 单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C . 如果一个单 位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并 且花费最少,应当为该儿童分别 预订多少个单位的午餐和晚餐?

20.已知函数 f ( x) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常数 k 为负数,且 f ( x) 在区 间

? 0, 2? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) .

求 f (?1) , f (2.5) 的值;

? ?3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的单调性; (2)写出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. (3)求出 f ( x) 在

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21.已知曲线

Cn:y ? nx 2

,点

Pn ( xn , yn )( xn ? 0, yn ? 0)
ln
的方程,并求出

是曲线

Cn

上的点(n=1,2,?).

(1)试写出曲线

Cn

在点

Pn

处的切线

ln

与 y 轴的交点

Qn

的坐标;

(2)若原点 O(0, 0) 到

ln

的距离与线段

Pn Qn

的长度之比取得最大值,试求试点

Pn

的坐标

( xn , yn )



(3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数,

xn



yn

是满足(2)中条件的点

Pn

的坐标,

?
证明:
n ?1

s

( m ? 1) xn ? ( k ? 1) yn ? 2

ms ? ks

( s ? 1, 2,…)

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2010 年广东卷数学(文科)参考答案
题号 选项 11. 1.5 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 13. 6 D 7 B 14. 8 A 15. (1, 9 D 10 A

12. 13;正(或正的)

16.解:(1)由已知可得: f (0) ? 3 sin (2)∵ f (x) 的周期为

?
6

1 2

a 2

?
2

)

?

2? ? ? ? ,即 ∴? ? 4 故 f ( x) ? 3 sin(4 x ? ) ? ? 2 6 2 a ? a ? ? ? (3)∵ f ( ? ) ? 3 sin[4 ? ( ? ) ? ] ? 3 sin(a ? ) ? 3 cos a 4 12 4 12 6 2 9 3 ∴由已知得: 3 cos a ? 即 cos a ? 5 5
∴ sin a ? ? 1 ? cos a ? ? 1 ? ( ) ? ?
2 2

3 2

3 5

4 4 4 故 sin a 的值为 或 ? 5 5 5

17.解:(1)画出二维条形图,通过分析数据的图形,或者联列表的对角线的乘积的差的 绝对值来分析,得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关; (2)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人,大于 40 岁的观众共有 27 人。 故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取

5 ? 27 ? 3 人. 45

(3)法一:由(2)可知,抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3; 20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分别高为 a, b ,若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ,则包含 的总的基本事件有: (1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。 其 中 恰 有 1 名 观 众 的 年 龄 为 20 岁 至 40 岁 包 含 的 基 本 事 件 有 :

(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个.
故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)=

6 3 ? ; 10 5

18.法一:(1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面 FBD 又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?
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( 5a ) 2 ? a 2 ? 2 a

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付出,总会有回报! 在 Rt?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ VF ? BDE ?

1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 又∵ EB ? 平面 FBD , 故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,
∴ EF ? ∴ S ?FED ?

6a, DE ? 5a ,在 Rt?FCD 中, FD ? 5a ,

21 2 a , 2
1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21

∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

4 21 a. 21

19.解:设应当为该儿童分别预订 x 个单位的午餐, y 个单位的晚餐,所花的费用为 z ,则 依题意得:

?12 x ? 8 y ? 64 ? 3 x ? 2 y ? 16 ? 0 ? 6 x ? 6 y ? 42 ? x ? y ? 7 ? 0 ? ? ? ? x, y 满足条件 ?6 x ? 10 y ? 54 即 ?3 x ? 5 y ? 27 ? 0 , ? ? x? N x? N ? ? y?N y?N ? ? ? ?
目标函数为 z ? 2.5 x ? 4 y , 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(图略),把 z ? 2.5 x ? 4 y 变形为

5 z 5 z y ? ? x ? ,得到斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 ,随 z 变化的一族平行直线. 8 4 8 4 5 z 由 图 可 知 , 当 直 线 y ?? x? 经 过 可 行 域 上 的 点 8 4
M (即直线x ? y ? 7 ? 0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小,即 z 最小. 解方程组: ?

? x? y?7 ? 0 , 得点 M 的坐标为 x ? 4, y ? 3 ?3 x ? 5 y ? 27 ? 0

所以, z min ? 22

答:要满足营养要求,并花费最少,应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐,3 个单位的晚 餐,此花的费用最少为 22 元. 20.解:(1)∵ f ( x) ? kf ( x ? 2) ,且 f (x) 在区间[0,2]时 f ( x) ? x( x ? 2) ∴ f (?1) ? kf (?1 ? 2) ? kf (1) ? k ? 1 ? (1 ? 2) ? ?k

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1 f ( x) k 1 1 3 ∴ f (2.5) ? f (0.5 ? 2) ? f (0.5) ? ? 0.5 ? (0.5 ? 2) ? ? k k 4k
由 f ( x) ? kf ( x ? 2) 得 f ( x ? 2) ? ( 2 ) 若

x ? [0,2]





x ? 2 ? [2,4] f ( x ? 2) ?

1 1 1 f ( x) ? x( x ? 2) ? [( x ? 2) ? 2][( x ? 2) ? 4] k k k 1 ∴当 x ? [2,4] 时, f ( x) ? ( x ? 2)( x ? 4) k
∴ f ( x ? 2) ? ( x ? 2)[( x ? 2) ? 2] ? x( x ? 2)

若 x ? [?2,0) ,则 x ? 2 ? [0,2) ∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? kx( x ? 2) 若

x ? [?4,?2)





x ? 2 ? [?2,0)



f ( x ? 2) ? k ( x ? 2)[( x ? 2) ? 2] ? k ( x ? 2)( x ? 4)
∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? k ( x ? 2)( x ? 4)
2

∵ (2,3] ? [2,4], [?3,?2) ? [?4,?2)

?k 2 ( x ? 2)( x ? 4), x ? [?3,?2) ? k x( x ? 2), x ? [?2,0) ? ∴当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? ? x( x ? 2), x ? [0,2] ? 1 ? ( x ? 2)( x ? 4), x ? (2,3] ? k
∵ k ? 0 ,∴当 x ? [?3,?2) 时, f ( x) ? k ( x ? 2)( x ? 4) , 由二次函数的图象可知, f (x) 为
2

增函数; 当 x ? [?2,0) 时, f ( x) ? kx( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [?2,?1) 时,

f (x) 为增函数,当 x ? [?1,0) 时, f (x) 为减函数;
当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [0,1) 时, f (x) 为 减函数;当 x ? [1,2] 时, f (x) 为增函数; 当 x ? (2,3] 时, f ( x) ?

1 ( x ? 2)( x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f (x) 为增函数。 k

(3)由(2)可知,当 x ? [?3,3] 时,最大值和最小值必在 x ? ?3 或 ? 1,1,3 处取得。(可画

27 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! 图分析) ∵ f (?3) ? ?k , f (?1) ? ?k , f (1) ? ?1 , f (3) ? ?
2

1 k

∴当 ? 1 ? k ? 0 时, y max ? f (3) ? ?

1 , y min ? f (1) ? ?1; k

当 k ? ?1时, y max ? f (?1) ? f (3) ? 1, y min ? f (?3) ? f (1) ? ?1; 当 k ? ?1 时, y max ? f (?1) ? ?k , y min ? f (?3) ? ?k .
2

21.解:(1) y ? ? 2nx ,设切线 l n 的斜率为 k ,则 k ? y ? | x ? x n ? 2nxn ∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? y n ? 2nxn ( x ? xn ) 又∵点 Pn 在曲线 C n 上, ∴ y n ? nxn
2

∴ 曲 线 C n 在 点 Pn 处 的 切 线 l n 的 方 程 为 : y ? nxn ? 2nxn ( x ? x n ) 即
2

2nxn x ? y ? nxn ? 0
2

令 x ? 0 得 y ? ?nxn ,∴曲线 C n 在 y 轴上的交点 Qn 的坐标为 (0,?nxn )
2 2

(2)原点 O(0,0) 到直线 l n 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比为:

| ?nxn |
2

4n 2 x n ? 1
2

x n ? (nxn ? nxn )
2 2

2 2

?

nxn 1 ? 4n x n
2 2

?

1 1 ? 4nxn nxn

?

1 4

当且仅当

1 1 1 2 ? 4nxn 即 x n ? 时,取等号。此时, y n ? nxn ? nxn 2n 4n

故点 Pn 的坐标为 (
s

1 1 , ) 2n 4n
(m ? 1) x n ? (k ? 1) y n | ?| ms ? ks | (s ? 1,2, ?) 2
s

(3)证法一:要证

?|
n ?1

只要证

m ?1 ? k ?1 ?
n ?1

1 2 n

? s | m ? k | (s ? 1,2,?)

只要证

?2
n ?1

s

1 n

? s?

m ?1 ? k ?1 m? k

(s ? 1,2,?)

28 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

?

1 2 n
s

?
1

1 n? n

?

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1 ,又?

m ?1 ? k ?1 m? k

?1

所以: ?
n ?1

2 n

? 1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( s ? s ? 1) ? s (s ? 1,2,?)

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2011 年广东卷数学(文科)
参考公式:锥体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。 3
^

线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式 b ?

^

^

^

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

其中 x, y 表示 ,a ? y ?b ,

^

^

2

样本均值。 样 本 数 据 的 标 准 差 为

1 n ? ( xi ? x)2 n i ?1



n 是 正 整 数 , 则

a n - bn ? (a - b)(a n-1 ? a n-2b ???? ab n-2 ? b n-1 ) 。
一、选择题: 1.设复数 z 满足 iz ? 1 ,其中 i 为虚数单位,则 z =( A. ?i B. i C. ?1 2.已知集合 A ? ) D. 1

?? x, y ? | x、y 为实数,且 x
B.3 C.2

2

? y 2 ? 1? , B ? ?? x, y ? | x、y 为实数,且

x ? y ? 1? ,则 A ? B 的元素个数为(
A.4

) D.1

3.已知向量 a ? (1, 2), b ? (1, 0), c ? (3, 4) ,若 ? 为实数, (a ? ? b) // c ,则 ? =( A.

?

?

?

?

?

?



1 4

B.

1 2

C. 1 )

D. 2

4 .函数 f ( x) ? A. (??, ?1)

1 ? lg( x ? 1) 的定义域是( 1? x
B. (1, ??)

C. (?1,1) ? (1, ??) )

D. (??, ??)

5.不等式 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集是( A. (? ,1)

1 2

B (1, ??) C. (??,1) ? (2, ??)

D. (??, ? ) ? (1, ??)

1 2

?0 ? x ? 2 ? 6.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定,若 M ? x, y ? 为 D ? ?x ? 2 y ???? ??? ? ? 上的动点,点 A 的坐标为 2,1 ,则 z ? OM ? OA 的最大值为( )

?

?

A.3

B.4

C. 3 2
30 / 64

D. 4 2

每天进步一点点

每天都有新高度!

付出,总会有回报! 7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么 一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A.20 B.15 C.12 D.10 8.设圆 C 与圆 外切,与直线 y ? 0 相切.则 C 的圆心轨迹为( )

A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆 9.如图 1-3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别为等边三角 形、等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

2

主视图

2 左视图
B. C.

俯视图

A.

D. 2

10. f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数. 设 如下定义两个函数 ? f ? g ??x ? 和 ? f ? g ??x ? ; 对任意 x ? R , ? f ? g ??x ? ? f ?g (x) ? ; ? f ? g ??x ? ? f ?x ?g (x) .则下列等式恒成立的是 ( )

A. ?? f ? g ? ? h ??x ? ? ?? f ? h ? ? ?g ? h ??(x) B. ?? f ? g ? ? h ??x ? ? ?? f ? h ? ? ?g ? h ??(x) C. ?? f ? g ? ? h ??x ? ? ?? f ? h ? ? ?g ? h ??(x) D.

?? f ? g ? ? h??x? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??(x)

二、填空题:. 11.已知 ?a n ?是递增等比数列, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ?
3 12.设函数 f ( x) ? x cos x ? 1. 若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) ?





13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1
31 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! 号到 5 号每天打时间 x(单位:小时)与当于投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为 号打 6 小时篮球的投篮命中率为

,用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 .

14. (坐标系与参数方程选做题) 已知两曲线参数方程分别为 ?

? x ? 5 cos? ? y ? sin ?

(0≤? <??



5 ? ?x ? t 2 和? 4 ?y ? t ?
(t∈R),它们的交点坐标为 .

D E A

C F B

15.(几何证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E、F 分别 为 AD、BC 上点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.已知函数 f ? x ? ? 2sin ? (1)求 f ? 0 ? 的值; (2)设 ? , ? ? ?0,

?? ?1 x ? ? , x?R. 6? ?3

? ? 10 6 ? ?? ? ? ? ? , f ? 3? ? 2 ? ? 13 , f ? 3? ? 2? ? ? 5 , 求 sin ?? ? ? ? 的值. ? 2?

17.在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n ? n ? 1, 2,?, 6 ? 的 同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1)求第 6 位同学成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间 ? 68, 75 ? 中的概率. 18.如图所示,将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面

? ? ? ? 向 右 平 移 到 的 A, A? , B, B? 分 别 为 CD, C ?D?, DE , D?E ?, 的 中 点 , O1 , O1? , O2 , O '2 分 别 为
CD, C ?D? , DE , D?E ? 的中点.
32 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! (1) 证明: O '1 , A? , O2 , B 四点共面; (2) 设 G 为 AA? 中点,延长 A ' O '1 到 H ? , 使得 O '1 H ? ? A?O '1 ,证明: BO '2 ? 面H?B?G .

A?
C?
O1?

D?

O2?

E?

H?
G

B?

A
C
O1

D B
图5

O2

E

19.设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x 的单调性.

20.设 b>0,数列 {a n } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {a n } 的通项公式;

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? n ? 1

(2)证明:对于一切正整数 n , 2an ? b

n ?1

?1.

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付出,总会有回报! 21.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段

OP 的垂直平分线上一点,且满足 ?MPO ? ?AOP . (1) 当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2) 已知 T (1, ?1) .设 H 是 E 上动点,求 | HO | ? | HT | 的最小值,并给出此时点 H 的坐 标; (3) 过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l1 的斜率 k 的取值范围.

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2013 年广东文数参考答案
一 选择题: A C B C 二 填空题 2 D B D -9 A 0.5 C B 0.53 (1,

2 5 ) 5

7:5

16 (1) f (0) ? 2 sin(? (2)

?
6

) ? ?1

? 1 ? ? 10 5 ? f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? ? sin ? ? 2 3 2 6 13 13 ? 6 3 ? f (3? ? 2? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 cos ? ? ,? cos ? ? 2 5 5 ? 12 4 ?? , ? ? [0, ],? cos ? ? ,sin ? ? 2 13 5 63 ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 65
17 (1)由题意得:75=

70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? x6 , 得x6 ? 90 6

S=

(70 ? 75) 2 ? (76 ? 75) 2 ? (72 ? 75) 2 ? (70 ? 75) 2 ? (72 ? 75) 2 ? (90 ? 75) 2 ?7 6

(2)设 5 位同学为:A, B,C, D, E 其中 A70 分,B76 分,C72 分,D70 分,E72 分 基本事件:AB, AC,AD,AE, BC,BD,BE,CD,CE, DE ,共 10 种。 恰好一位同学成绩在区间(68,75)的基本事件为:AB, BC,BD,BE,共 4 种。 所以:P=

m 4 2 ? ? n 10 5

18(1)易得:

O1` A` ? 面C `CEE ` , BO2 ? 面C `CEE `, O1` A` // BO2 ? O1` , A` , B, O2四点共面。 ? (2)H `B ` ? O2`B `, H `B ` ? BB ` ,? H `B ? 面O2`B `B,? O2`B ? H `B 延长AO1至H , 使O1 H ? AO1 , 连接HH `, HO1`,O1 A` , O1 A`与GH `交于点I,显然:O2`B // HO1` // O1 A` 1 在正方形AA`H `H中, GH ` A` ? tan O1 A` A ? ,??GH ` A` ? ?O1 A` A tan 2 ` ` ` ` ` ` ` ??GH A ? ?H A O1 ? ?O1 A A ? ?H A O ? 900 ,??H `IA` ? 900,即H `G ? A`O1 ? O2`B ? H `G,? BO `2 ? 面H `B `G
19 ( 文科)设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) x 的单调性.
2

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2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 ( x ? 0) x 1 当a ? 1时,f ?( x) ? ,所以f ?( x ) ? 0在(0, ?)成立。 ? x 所以f ( x)在(0, ?)递增。 ? 解:f ?( x) ? 当a ? 1时,令g(x)= 2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 1 当? ? 0时,即 ? a ? 1时,a (1 ? a ) ? 0, f ?( x) ? 0在(0, ?)成立, 2 ? 3 所以f ( x)在(0, ?)递增。 ? 1 3 3 3 当? ? 0时,即a ? , 令g(x)=0得x= , 所以f ?( x) ? 0在(0,), ( , ?)成立, ? 3 2 2 2 3 又因为f(x)在x= 有意义,所以f ( x)在(0, ?)递增。 ? 2 1 当? ? 0时,即0<a ? 或a ? 1, 令g(x)=0得 3 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 x1 ? , x2 ? 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 1 若0<a ? ,则2a (1 ? a ) ? 0, 0 ? x2 ? x1 , 3 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 f ?( x)>0在(0, ),( , ?)成立, ? 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 f ?( x)<0在( , )成立, 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 所以f(x)在(0, ),( , ?)单调递增, ? 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 在( , )单调递减。 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 若a ? 1,则2a (1 ? a ) ? 0, x1 ? 0 ? x2 , 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 f ?( x)>0在(0, )成立,f ?( x )<0在( , ?)成立, ? 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 所以f(x)在(0, )递增,在( , ?)递减。 ? 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a )

36 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

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1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 综上所述:当0<a ? ,f(x)在(0, ),( , ?)单调递增, ? 3 2a(1 ? a) 2a(1 ? a) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 在( , )单调递减。 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a) 1 当 ? a ? 1时,f ( x)在(0, ?)递增。 ? 3 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 当a>1时,f(x)在(0, )递增,在( , ?)递减。 ? 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a )

20.设 b>0,数列 {a n } 满足 a1 ? b , an ? (3)求数列 {a n } 的通项公式;

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

(4)证明:对于一切正整数 n , 2an ? b 解:

n ?1

?1.

显然an ? 0



? an ? ?

nban ?1 1 a ? n ?1 (n ? 2),? ? n ?1 an ?1 ? n ? 1 an nban ?1

n an ?1 ? n ? 1 1 1 n ? 1 ? ? ? , an ban ?1 b b an ?1

?n? n n ?1 当b ? 1时, ? ? 1,所以数列 ? ? 是以1为首项,以1为公差的等差数列。 an an ?1 ? an ? ? n ? 1 ? n ? 1) ? n,? an ? 1 ( an n 1 n ?1 n 1 n ?1 1 ?? ? ( ? ?) ,即 ? ? ? 1)? ( an b an ?1 an b an ?1 b

当b ? 1时,令

1 1 1 n 1 1 n ?1 1 由( ? 1 ? ? 得:? ? ) , 所以 ? ? ( ? ) b b 1? b an 1 ? b b an ?1 1 ? b ?n 1 ? 1 1 1 所以数列 ? ? 为首项,以 为公比的等比数列。 ? 是以 ? b 1? b b ? an 1 ? b ? n 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ) )?1 ? ? ( n ? ), ( n an 1 ? b b 1? b b 1? b b

37 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

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b ?1 ?1, n(1 ? b) n(1 ? b)b n ? n ? an ? ? ,综上所述:an ? ? n(1 ? b)b 1 n 1 ? bn ,b ? 1 ? ( )?1 ? 1 ? bn b (2)当b ? 1时,an ? b n ?1 ? 1显然成立。 2 当b ? 1时,an ? 2 2n(1 ? b)b n 2nb n ? ,要证2an ? b n ?1 ? 1, 1 ? bn 1 ? b ? b 2 ? ??? ? b n ?1

2nb n 只要证:n ?1 ? 1 ? b ? b 2 ? ??? ? b n ?1 b ?1 n 2nb 2n 2n ? ? ? n b n ?1 , 设S=1 ? b ? b 2 ? ??? ? b n ?1 , n ?1 b ?1 b ? 1 1 2 n ?1 n b b
则2 S ? (1 ? b n ?1 ) ? (b ? b n ? 2 ) ? ??? ? (b n ?1 ? 1) ? 2 b n ?1 ? 2 b n ?1 ? ??? ? 2 b n ?1 ? 2n b n ?1 ? S ? n b n ?1 ,? 2nb n ? n b n ?1 ? 1 ? b ? b 2 ? ??? ? b n ?1 , 即2an ? b n ?1 ? 1 n ?1 b ?1
中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段

21.在平面直角坐标系 xOy

OP 的垂直平分线上一点,且满足 ?MPO ? ?AOP . (4) 当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (5) 已知 T (1, ?1) .设 H 是 E 上动点,求 | HO | ? | HT | 的最小值,并给出此时点 H 的坐 标; (6) 过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l1 的斜率 k 的取值范围. 解:(1)如图 1,符合 ?MPO ? ?AOP 的点 M 可以在 PO 的左侧和右侧。 当 M 在 PO 左侧时,显然点 M 是 PO 垂直平分线与 X 轴的交点,所以易得 M 的轨迹方程为: y=0(x<-1) 当 M 在 PO 右侧时,? ?MPO ? ?AOP ,所以 PM//x 轴,设 M(x,y),则 P(-2,y) 因为 M 在 PO 的垂直平分线上,所以 MP ? MO , 即: x ? 2 ?

x 2 ? y 2 , 得: x ? 1) ? y 2 (x ? ?1) 4(

综上所述:当点 P 在 l 上运动时,点 M 的轨迹 E 的方程为: y=0(x<-1) 和 4 x ? 4 ? y (x ? ?1) 如图:
2

38 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

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y X=-2 P

M

M A O x

(2)当 H 在方程 y=0(x<-1)运动时,显然 HO ? HT ? CO ? CT
2 当 H 在方程 4 x ? 4 ? y (x ? ?1) 上运动时, HO ? HT ? HP ? HT ,由图知当 P,H,T 三

点 共 线 时 , H P?

H 取得最小值,即 T

HO ?

HT 最小值,显然此时 取得

4 4 H T C O? C T设 H(x,-1),因为 H 在 4 x ? 4 ? y 2 上, x= ? ,所以 H( ? ,-1) ? , 得 3 3 4 综上所得:( HO ? HT )min=1-(-2)=3。H( ? ,-1) 3
H O?
(3)设直线 l1:y+1=k(x-1),联立 4 x ? 4 ? y 得: k x ? 2(k ? 2k ? 2) x ? k ? 2k ? 3 ? 0
2 2 2 2 2

当 k=0 时,显然只有一个交点,不成立。 当 k ? 0 时, ? ? 16(2k ? k ? 1) ? 0恒成立。 所以当 k ? 0 时,直线 l1 与轨迹 E 至少有两个
2

交点。

?1 ? 0 1 ?? 1? ?1 ( ) 2 1 由图可知,当直线 l1 与轨迹 E 有且仅有两个交点时,k ? ? ?, ] ? 0, ?) ( ? ( ? 2
可见 l1 与 y=0(x<-1) 不能有交点,当直线 l1 过点 C 时,k=

39 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

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2012 年广东数学(文科 B 卷)
一、选择题: 1.设 i 为虚数单位,则复数 3 ? 4i ( )

i
A. ?4 ? 3i

?

B. ?4 ? 3i

C. 4 ? 3i

D. 4 ? 3i ) D. U

2.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? ( A. ?2, 4, 6? B. ?1,3,5? C. ?1, 2, 4?

3.若向量 AB ? (1, 2), BC ? (3, 4) ,则 AC ? ( A. (4, 6) B. (?4, ?6) )
3

??? ?

??? ?

????

) D. (2, 2)

C. (?2, ?2)

4.下列函数为偶函数的是( A. y ? sin x B. y ? x

C. y ? e

x

D. y ? ln

x2 ? 1

?x ? y ? 1 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ?1 ? 0 ?
A. 3 B. 1
°

)

C. ?5
°

D ?6 )

6.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC =(

A. 4 3

B. 2 3

C.

3

D.

3 2

7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( ) A. 72? B. 48? C. 30? D. 24? 8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交
2 2

于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于( A. 3 3 B. 2 3 C.

) D. 1 )

3

9.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( A. 105 B. 16 C. 15 D. 1 10 . 对 任 意 两 个 非 零 的 平 面 向 量 ? , ? , 定 义 ? ? ? ?

? ? ? ?? . 若 平 面 向 量 a, b 满 足 ? ??

? ? ? ? ? ?? ?n ? a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ? ? 0, ? ,且 ? ? ? 和 ? ? ? 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 ? 4? ?2 ?
40 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

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? ? a ?b ? (
A.

) B.

5 2

3 2

C. 1

D.

1 2

二、填空题: (一)必做题(11~13 题) 11.函数 y ?

x ?1 的定义域为________________________. x

12.若等比数列 {a n } 满足 a 2 a 4 ?

1 2 ,则 a1 a3 a5 ? _______________. 2

13.由整数组成的一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , 其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这 组数据位_______________________.(从小到大排列) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和曲线 C 2 的

? ?x ? 1 ? ? ? ? ? x ? 5 cos? 参数方程分别为 ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? )和 ? 2 ? y ? 5 sin? ?y ? ? ? ? ?
曲线 C1 和曲线 C 2 的交点坐标为 15.(几何证明选讲选做题) .

2t 2 ( t 为参数),则 2t 2

如图 3, 直线 PB 与圆 O 相切与点 B, 是弦 AC 上的点, PBA ? ?DBA , A mA , n D 若 D ?C ? 则 AB= .

? ,

A P D O · C
B 图3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.已知函数 . x ? x ? R ,且 ? f ( x) ? A cos( ? ), f( )? 2 4 6 3

(1) 求 A 的值;
41 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! (2) 设 ? , ? ? [0,

?
2

], f (4? ?

4? 30 2? 8 ? ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos( ? ? ) 的值. 3 17 3 5

17. 某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示, 其中成绩分组区间 是: ?50,60 ? , ?60,70 ? , ?70,80 ? , ?80,90 ? , ?90,100 ? . (1) 求图中 a 的值 (2) 根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ? x ? 与数学成绩相应分数段的人数 ? y ? 之比如下表所示,求数学成绩在 ?50,90 ? 之外的人数. 分数段 x :y

?50,60?
1:1

?60,70?
2:1

?70,80?
3:4

?80,90?
4:5

18. 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是

1 AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高. 2 (1) 证明:PH ? 平面 ABCD;
DC 上的点且 DF= (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB.

19.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ,数列 ? sn ? 的前 n 项和为 ?Tn ? ,满足 Tn ? 2S n ? n , n ? N .
2 *

(1) 求 a1 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式.
42 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

20. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C1 : 且点 P(0,1) 在 C1 上. (1) 求椭圆 C1 的方程;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1, 0) , a 2 b2

(2) 设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

21. (本小题满分 14 分) 设 0 ? a ? 1, 集合 A ? x ? R x ? 0 , A ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6a ? 0 ,D ? A ? B .
2

?

?

?

?

(1) 求集合 D (用区间表示) ; (2) 求函数 f ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点.
3 2

43 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

2012 年广东文数参考答案
一、选择题答案: 1-5:DAADC 6-10:BCBCD 第 10 解析: 由定义知:

b?a ? a?b ?

b ? a | b | ? | a | cos? n | a | 2 cos? ? ? ? ? ? (1) a?a |a|?|a| 2 |b| n a ? b | a | ? | b | cos? n |a| 2 cos2 ? n ? ? ? ? cos?将( )代入得: 1 ? , b?b |b|?|b| 2 |b| n 2

因为 ? ? ,取 ( ,) ??

? ?

?
3

4 ,2

,n 取 1,即可得答案

1 2

二、填空题答案: 11: [?1,0) ? (0,??) 12: (注意,写成集合形式也给分 {x | ?1 ? x ? 0} ? {0 ? x ? ??}

1 4
(2,1)

13: 1 1 3 3 14: 参数方程极坐标:

15:几何证明选做题: mn 三、解答题 16:

? 1 ? ? 1 f ( ) ? A cos( ? ? ) L L L L L L L L L L L L L L L L1 3 4 3 6 ? 2 ? A cos ? A ? ? 2 LLLLLLLLLLLLLLLL3 4 2 ? A ? 2LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL4

44 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

4 ? f (4? ? ? ) 3 1 4 ? ? 2 cos[ (4? ? ? ) ? ] 4 3 6 ? 2 cos( ? ?

?
2

)??????????????? 5分 30 ??????????????? 6分 17

? ?2 sin ? ? ? ? sin ? ?

15 ??????????????? 7分 17

2 f (4? ? ? ) 3 1 2 ? ? 2 cos[ (4 ? ? ? ) ? ] 4 3 6 8 ? 2 cos ? ? 5 4 ? cos ? ? ??????????????????????? 8分 5 由于?,? ? [0, ], 2 ? cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( 15 2 8 ) ? ??????????????? 9分 17 17

?

4 3 (2): sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? ???????????????10分 ? 5 5 ? cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ???????????????11分 ? 8 4 15 3 ? ? ? 17 5 17 5 13 ? ? ???????????????????????????12分 85 ?
17、解: (1):

10 ? (a ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? a) ? 1?????????????2分 a ? 0.005 ?????????????????????????3分

(2):50-60 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005 ? 100 % ? 100 ? 5人????? 3.5 分 60-70 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.04 ?100 % ?100 ? 40人?????? 4 分 70-80 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.03 ? 100 % ? 100 ? 30人 80-90 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.02 ? 100 % ? 100 ? 20人??????5分

45 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! 90-100 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005 ? 100 % ? 100 ? 5人??????5.5

55 ? 5 ? 65 ? 40 ? 75 ? 30 ? 85 ? 20 ? 95 ? 5 ???????????7.5 100 ? 73????????????????????????????8分 x?
(3):依题意: 50-60 段数学成绩的人数=50-60 段语文成绩的人数为=5 人????????????9 分 60-70 段数学成绩的的人数为= 50-60 段语文成绩的人数的一半= 70-80 段数学成绩的的人数为=

1 ? 40 ? 20人 ??10 分 2

4 ? 30 ? 40人 ???????????????11 分 3 5 80-90 段数学成绩的的人数为= ? 20 ? 25人 ???????????????12 分 4
90-100 段数学成绩的的人数为= 100 ? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10人 ????????13 分 18、解:

( ) PH为?PAD中的高 1? ? PH ? AD 又AB ? 面PAD, PH ? 平面PAD ? PH ? AB ? PH ? 平面ABCD
(2):过 B 点做 BG BG ? CD,垂足为G ; 连接 HB,取 HB 中点 M,连接 EM,则 EM 是 ?BPH 的中位线
?由(1)知:PH ? 平面ABCD

? EM ? 平面ABCD
?EM? 平面BCF

即 EM 为三棱锥 E - BCF 底面上的高
1 1 EM= PH ? 2 2

S?BCF ?

1 FC ? BG = 1 ? 1 ? 2 2

2?

2 2

???????????????????????????

6分
1 VE ? BCF ? ? S BCF ? EM 3 1 2 1 ? ? ? 3 2 2 2 ? 12

??????????????????????????????????????? ??????8 分
46 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

(3):取 AB 中点 N,PA 中点 Q,连接 EN,FN,EQ,DQ

? AB // CD, CD ? 平面PAD ? AB ? 平面PAD, PA ? 平面PAD ? AB ? PA 又 ? EN 是?PAB的中位线 ? EN // PA ? AB ? EN 1 AB 2 ?四边形NADF是距形 又 ? DF ? ? AB ? FN EN ? FN ? N

? AB ? 平面NEF 又EF ? 平面NEF ? EF ? AB ?四边形NADF是距形 ? AB ? NF NF ? NE ? N ? AB ? 平面NEF

19、解:(1):

a1 ? 2a1 ? 12 ??????????????????3 分

a1 ? 1 ??????????????????????5 分
(2)

Tn ? 2S n ? n 2 ??? ① Tn ?1 ? 2S n ?1 ? (n ? 1) 2 ??? ②??????????6 分
①-②得:

S n ? 2an ? 2n ? 1 ?????? ③?????????7 分
在向后类推一次

S n ?1 ? 2an ?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ??? ④??????????8 分
③-④得:

an ? 2an ? 2an?1 ? 2 ????????????????9 分 an ? 2an ?1 ? 2 ???????????????????10 分 an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) ?????????????????12 分 {an ? 2}是以首项为a1 ? 2 ? 3, 公比为2的数列 ????13 分
47 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

? an ? 2 ? 3 ? 2 n ?1 ? an ? 3 ? 2 n?1 ? 2 ??????????????????14 分
20、解:(1):依题意:c=1,????????????????????????1 分 则: a ? b ? 1,????????????????????????????2 分
2 2
2 2 设椭圆方程为: x ? y ? 1 ????????????????????????3 分 2 2

b ?1

b

将 P(0,1) 点坐标代入,解得: b 2 ? 1 ??????????????????????4 分 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 故椭圆方程为: x 2 ? y 2 ? 1 ??????????????????????????5 分
2

(2)设所求切线的方程为: y ? kx ? m ?????????????????6 分
?y ? kx? m ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ? 2

消除 y
(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kmx ? (2m2 ? 2) ? 0

?1 ? (4k m) 2 ? 4(2k 2 ? 1)( 2m2 ? 2) ???7 分
化简得:

m2 ? 2k 2 ? 1????? ①?????????????????????8 分
同理:联立直线方程和抛物线的方程得:

?y ? kx? m ? 2 ? y ? 4x
消除 y 得:

k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m 2 ? 0 ? 2 ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m2 ? 0
化简得: ?????????????????????9 分

km ? 1????????
② ????????????????????????????10 分
4 2

将②代入①解得: 2k ? k ? 1 ? 0 解得: k ?
2

1 2 2 , (k 2 ? ?1舍去),故k ? , 或者k ? ? 2 2 2

当k ? 1时,m ? 2 ,当k ? ?1时,m ? ? 2 ?????????????????????12 分

48 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

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故切线方程为: y ? 20、解:(1)

2 2 x ? 2或者y ? ? x ? 2 ?????????????14 分 2 2

集合 B 解集:令 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0

? ? [?3(1 ? a)]2 ? 4 ? 2 ? 6a
? 3(3a ? 1)(a ? 3)

(1):当

1 ? ? 0 时,即: ? a ? 1时 ,B 的解集为: {x | x ? R} 3

此时 D ? A ? B ? A ? {x ? R | x ? 0) (2)当 ? ? 0时,解得a ?

1 , (a ? 3舍去) 3

此时,集合 B 的二次不等式为:

2x2 ? 4x ? 2 ? 0 ,
( x ? 1) 2 ? 0 ,此时,B 的解集为: {x ? R, 且x ? 1}
故: D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) (3)当 ? ? 0时, 0 ? a ? 即 此时方程的两个根分别为:

1 (a ? 3舍去) 3

x1 ?

( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 4 ( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 4

x2 ?

很明显, 0 ? a ? 时, x2 ? x1 ? 0 故此时的

1 3

D ? A? B ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) ? (0, ( ? a ) ? 3(1 ? 3a )(3 ? a ) 31 ( ? a ) ? 3(1 ? 3a )(3 ? a ) 31 )?( ,??) 4 4

综上所述: 当0 ? a ?

1 3 3 时, D ? (0, (1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ) ? ((1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ,??) 3 4 4

49 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! 当a ? 当

1 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) 3

1 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) 3

(2) 极值点,即导函数的值为 0 的点。 f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 6 x 2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 0 即 x 2 ? (1 ? a) x ? a ? 0

( x ? a)( x ? 1) ? 0
此时方程的两个根为:

x1 ? a x2 ? 1
(ⅰ)当 0 ? a ?

1 时, D ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) 3

( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 ( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 即:D ? 0, ( ) ( ? ,??) 4 4

x1 ? a 3 ? a ? 3(1 ? 3a )(3 ? a ) 4 将分子做差比较: ? (3 ? a ) 2 ? 3(1 ? 3a )(3 ? a ) ? 8a (3 ? a ) 1 3 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ?0 ? a ? ? x1 ? a
故当 x ? a,是一个极值点

x1 ?1 ?

( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 (3a ? 1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ?1 ? 4 4
分子做差比较:
2

(3a ? 1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ? 8(3a ? 1) ? 0
所以 x1 ? 1

50 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

又 x2 ?1 ?

( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 ?1 4

?

3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a ) 4

分子做差比较法:

3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a)2 ? 8(1 ? 3a) ? 0 ,
故 x2 ? 1 ,故此时 x ? 1 时的根取不到, (ⅱ) 当a ?

1 1 16 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) ,此时,极值点取不到 x=1 极值点为( , ? ) 3 27 3

(ⅲ) 当

1 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) ,极值点为:1 和 a 3 1 时, f (x) 有 1 个 极值点a, 3

总上所述: 当0 ? a ? 当

1 ? a ? 1时 , f (x) 有 2 个极值点分别为1 和 a 3

51 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

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2013 年广东数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 S ? {x | x ? 2 x ? 0, x ? R} , T ? {x | x ? 2 x ? 0, x ? R} ,则 S ? T ? (
2 2



A. {0} 2.函数 f ( x) ? A. (?1, ??)

B. {0, 2}

C. {?2,0} )

D. {?2, 0, 2}

lg( x ? 1) 的定义域是( x ?1

B. [?1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??)

D. [?1,1) ? (1, ??) )

3.若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是( A.2 4.已知 sin( B.3 C.4 D.5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? ( ) 2 5 2 1 1 2 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是(
开始 输入n i=1, s=1 i≤n 是 s=s+(i-1) i=i +1 否 输出s 结束



图 1
A.1 B.2 C.4 D.7 6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是( A.



1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

52 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

2

1 正视图

1 侧视图

俯视图 图 2

7.垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x ? y ? 1相切于第一象限的直线方程是(
2 2



A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 )

8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1,0) ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是( 2
D.



A.

x2 y2 ? ?1 3 4
?

B.

x2 y2 ? ?1 4 3
? ?

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3

10.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
53 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! 11.设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ? a3 ? | a4 |? 12.若曲线 y ? ax ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ?
2



?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ? y ?1 ?
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)



已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐 标系,则曲线 C 的参数方程为 15.(几何证明选讲选做题) .

如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ?
B C



E A 图 3 D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?

(2) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

17.(本小题满分 13 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

54 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

[80,85) 的有几个?
(3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的 概率.

18.(本小题满分 13 分) 如图 4, 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D, E 分别是 AB, AC 边上的点,AD ? AE ,F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥

A ? BCF ,其中 BC ?

2 . 2

(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

A

G

E

D

G

D

E
F C

B

F 图 4

C
B 图 5

55 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! 19.(本小题满分 14 分)

n 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 满 足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, ? N
2

?

, 且

a2 , a5 , a14 构成等比数列.
(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

20.(本小题满分 14 分) 已 知 抛 物 线 C 的 顶 点 为 原 点 , 其 焦 点 F ? 0, c?? c? 0? 到 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 的 距 离 为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2
(1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? kx ? x
3 2

?k ? R ? .

(1) 当 k ? 1时,求函数 f (x) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f (x) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M , f
'

? x ? ? 3x 2 ? 2kx ? 1

56 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

2013 年广东文数参考答案
一、选择题 1.A 由题意知 S ? ?0, ?2? , T ? ?0, 2? ,故 S ? T ? ?0? ; 2.C 由题意知 ?

?x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 且 x ? 1 ,所以定义域为 ? ?1,1? ? ?1, ?? ? ; ?x ?1 ? 0

3.D 因为 i ? x ? yi ? ? 3 ? 4i ,所以 xi ? y ? 3 ? 4i ,根据两个复数相等的条件得:? y ? 3 即

y ? ?3 , x ? 4 ,所以 x ? yi ? 4 ? 3i , x ? yi 的模 ? 42 ? (?3) 2 ? 5 ;
4.C sin ?

? 1 ? 5? ? ?? ? ? ? ? ? ? sin( ? ? ) ? cos ? ? ( ? ? ) ? ? cos(?? ) ? cos ? ? ; 2 2 5 ? 2 ? ?2 ?

5. i ? 1 时,s ? 1 ? (1 ? 1) ? 1 ;i ? 2 时,s ? 1 ? (2 ? 1) ? 2 ;i ? 3 时,s ? 2 ? (3 ? 1) ? 4 ; C; 6.B 由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为 1 的等腰直角三角形,高为 2 , 所以该三棱锥的体积 V ?

1 1 1 ? ?1?1? 2 ? ; 3 2 3

7.A 设所求直线为 l ,因为 l 垂直直线 y ? x ? 1 ,故 l 的斜率为 ?1 ,设直线 l 的方程为
2 2 化为一般式为 x ? y ? b ? 0 ; 因为 l 与圆相切 x ? y ? 1相切, 所以圆心 (0, 0) y ? ?x ? b ,

到直线 l 的距离 ?

?b 2

? 1, 所以 b ? ? 2 , 又因为相切与第一象限, 所以 b ? 0 , b ? 2 , 故

所以 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ; 8.B 若 ? 与 ? 相交,且 l 平行于交线,则也符合 A,显然 A 错;若 l ? ? , l / / ? ,则 ? ? ? , 故 C 错; ? ? ? ,l //? ,若 l 平行交线,则 l / / ? ,故 D 错; 9 . D 由 焦 点 可 知 F ?1, 0 ? 可 知 椭 圆 焦 点 在 x 轴 上 , 由 题 意 知 c ? 1,

c 1 ? ,所以 a 2

a ? 2, b ? 22 ? 12 ? 3 ,故椭圆标准方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

10.B ①②容易判断是对的,③给定单位向量 b 和正数 ? ,可知 ? b 的方向确定, ? c 的模 确定,如图,若 ? c ? AB ,则等式不能成立;④给定正数 ? 和 ? ,则 ? b 和 ? c 的模确定,

?

?

?

?

?

?

57 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! 若 ? b ? ? c ? a ,则等式不成立。

?

?

?

11. 15 ;由题意知 a1 ? 1 , a2 ? ?2 , a3 ? 4 , a4 ? ?8 ,所以; a1 ? a2 ? a3 ? a4

? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 15 ; 1 1 2 2 12. ;因为 y ? ax ? ln x ,所以 y? ? 2ax ? ,因为曲线 y ? ax ? ln x 在点 ?1, a ? 处的 2 x 1 切线平行于 x 轴,所以 y? x ?1 ? 2a ? 1 ? 0 ,所以 a ? ; 2
13.5 ;作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为 (?1,1),(?1, 2),(1,1),(1, 4) ,代入可知 z 的最大值为 z ? 1 ? 4 ? 5 ;

14 . ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数);因为曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ;所以 ? ? y ? sin ?

x ? ? cos ? ? 2cos2 ? ? 1 ? cos 2? ① , y ? ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2? ②;①可变形
得 : c o s? ? x ? 2 ③ , ② 可 变 形 得 : sin 2? ? y ; 由 sin 2? ? cos 2? ? 1 得 : 1
2 2

? x ? 1 ? cos ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ;故 C 的参数方程为 ? ? y ? sin ?
15.

21 0 ;因为在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 3 , BE ? AC ,所以 ?BCA ? 30 , 2

58 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! 所以 CE ? CB ? cos 300 ?

3 3 ;在 ?CDE 中,因为 ?ECD ? 600 ,由余弦定理得: 2
2 0

?3 3? DE ? CE ? CD ? 2 ? CE ? CD ? cos 60 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?
2 2 2

? 3?

2

? 2?

3 3 1 21 ? 3 ? ? ,所 2 2 4

以 CD ?

21 ; 2

16. (1) f ?

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ?3? ? 3 12 ? ?4?
3 4 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

(2)? cos ? ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
17.(1)重量在 ? 90,95 ? 的频率 ?

20 ? 0.4 ; 50

(2)若采用分层抽样的方法从重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 的苹果中共抽取 4 个,则重量在

?80,85 ? 的个数 ?

5 ? 4 ?1; 5 ? 15

(3)设在 ?80,85 ? 中抽取的一个苹果为 x ,在 ?95,100? 中抽取的三个苹果分别为 a, b, c , 从抽出的 4 个苹果中,任取 2 个共有 ( x, a), ( x, b), (x , c ), (a ,b ), (a ,c ), (b ,c ) 6 种情况,其中 符合“重量在 ?80,85? 和 ?95,100 ? 中各有一个”的情况共有 ( x, a),( x, b),( x, c) 种;设“抽 出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 中各有一个”为事件 A ,则事件

A 的概率 P( A) ?

3 1 ? ; 6 2
? AD AE ? DB EC ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中

18. (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ; (2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ?

1 . 2

? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ? 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2
? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
59 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报! (3)由(1)可知 GE / /CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? 3 ? 324 ? 3 2 3 2 3 ? ?
2 2 19. (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ?

4a1 ? 5

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

?当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,? a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1
2

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? . 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 0?c?2 2 ? 3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) 2

20.(1)依题意 d ?

?抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ;
(2)设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y 0 ) , 由x
2

? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

x1 ( x ? x1 ) , 2

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2
60 / 64

每天进步一点点

每天都有新高度!

付出,总会有回报!

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 2 4
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . 2

x x0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1 联立 ?

? x2 ? 4 y ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0

,消去 x 得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0 ,
2 2 2

?

?

2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

? x0 ? y0 ? 2 ? 0

1? 9 ? ? AF ? BF ? y ? 2 y0 ? x ? 1=y ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
2 0 2 0 2 0 2

2

2 0

9 1 ?当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2
21.(1)当 k ? 1 时 f
'

? x ? ? 3x 2 ? 2 x ? 1, ? ? 4 ? 12 ? ?8 ? 0

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
(2)当 k ? 0 时, f
2

'

? x ? ? 3x 2 ? 2kx ? 1 ,其开口向上,对称轴 x ? k

(i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即

3

1? ,且过 ? 0,

' ? 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单调递增,

从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k ,
61 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

k
k 3

-k

x?

k

付出,总会有回报! 当 x ? ?k 时, f ? x ? 取得最大值 M ? f ? ?k ? ? ?k ? k ? k ? ?2k ? k .
3 3 3

( ii ) 当

?

4k 2 ?

1 2 ?

?

?4 k

?? ?

k 3

?

? , 即? 0 ? ? 3 3 k

时 , 令

f ' ? x ? ? 3x 2 ? 2kx ? 1 ? 0
解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 , , x2 ? 2 1 3 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ? 合图像判断)

1 2k ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结 , x1 ? x2 ? 3 3

? m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ?? , M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
? f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x?



最 小



m ? f ?k ? ? k ,
3 2 ? f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ? k ? ? ?2k ? k
3

解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ? ? k , ?k ? ,都有

f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x 2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,
故 f ? x? ? f ?k ?

f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x 2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k ) 2 ? k 2 ? 1] ? 0
3 故 f ? x ? ? f ? ?k ? ,而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k ? k ? 0

所以 f ( x) max ? f (?k ) ? ?2k ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k
3

(1)

解法 3:因为 f ?( x) ? 3x ? 2kx ? 1 , ? ? (?2k ) ? 4 ? 3 ?1 ? 4(k ? 3) ;
2 2 2

① 当 ? ? 0 时,即 ? 3 ? k ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增,此时无最小 值和最大值;

62 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!

2k ? 2 k 2 ? 3 k ? k 2 ? 3 ? ② 当 ? ? 0 时,即 k ? ? 3 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 6 3
或 x?

k ? k2 ?3 2k ? 2 k 2 ? 3 k ? k 2 ? 3 ? ; 令 f ?( x )? 0, 解 得 x ? 或 3 6 3

x?

k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 ?x? ; 令 f ?( x )? 0, 解 得 ;因为 3 3 3

k ? k2 ?3 k ? k2 k ? k 2 ? 3 k ? k 2 2k ? ? 0 ? ?k , ? ? ?k 3 3 3 3 3
作 f ? x ? 的最值表如下:

x

k

? k ? k2 ?3 ? ? k, ? ? ? 3 ? ?

k ? k2 ?3 3

? k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 ? , ? ? ? ? 3 3 ? ?

k ? k2 ?3 3

? k ? k2 ?3 ? , ?k ? ? ? ? 3 ? ?

?k

f ?( x)

?

0

?

0

?

f ( x)

k

?

极大值

?

极小值

?

?2k 3 ? k

则 m ? min ? f (k ), f ?

? ? ? ?

? ? k ? k 2 ? 3 ?? ? ? ? ? , M ? max ? f (?k ), ? ? 3 ? ? ? ?? ?

? k ? k 2 ? 3 ?? ? f? ?? ; ? ? 3 ? ?? ?

因为
2 ? k ? k 2 ? 3 ? ? k ? k 2 ? 3 ? ?? k ? k 2 ? 3 ? ? k ? k2 ?3 ? ? ?? f? ??? ? ? ? k ?? ? ? 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 3 3 3 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

?

?2k 3 ? (2k 2 ? 6) k 2 ? 3 ? 9k ; 27

3 2 ? k ? k2 ?3 ? ?2k 3 ? (2k 2 ? 6) k 2 ? 3 ? 18k ?2k ? (2k ? 6) k ? 18k f? ? ? ? f (k ) ? ? ? 3 27 27 ? ?

?

? ?24k 8 ? ? ? k ? 0 ,所以 m ? min ? f (k ), 27 9 ? ?

? k ? k 2 ? 3 ?? ? f? ? ? ? f (k ) ? k ; ? ? 3 ? ?? ?

因为
63 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!

付出,总会有回报!
2 ? k ? k 2 ? 3 ? ? k ? k 2 ? 3 ? ?? k ? k 2 ? 3 ? ? k ? k2 ?3 ? ? ?? f? ??? ? ? ? k ?? ? ? 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 3 3 3 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

?

?2k 3 ? (2k 2 ? 6) k 2 ? 3 ? 9k ; 27

? k ? k2 ?3 ? ?2k 3 ? (2k 2 ? 6) k 2 ? 3 ? 9k ? 54k 3 ? 27k f? ? f ( ?k ) ? ? ? ? 3 27 ? ?
3 2 52k 3 ? (2k 2 ? 6) k 2 ? 3 ? 36k 52k ? (2k ? 6) k ? 36k 50k 3 ? 42k ? ? ? ? 0; 27 27 27

所以 M ? max ? f (?k ), f ?

? ? ? ?

? k ? k 2 ? 3 ?? ? ? ? ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k ; ? ? 3 ? ?? ?
3

综上所述,所以 m ? k , M ? ?2k ? k .

64 / 64 每天进步一点点 每天都有新高度!



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