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2019学年高中数学北师大版必修5课时作业:第2章 解三角形 15 Word版含答案

2019 学年北师大版数学精品资料
§15 正余弦定理的应用 时间:45 分钟 满分:80 分

班级________ 姓名________分数________

一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分) 1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( 2 2 A.- 3 C.- 6 3 2 2 B. 3 D. 6 3 ) )

2.不解三角形,判断下列命题中正确的是( A.a=7,b=14,A=30°,有两解 B.a=30,b=25,A=150°,有一解 C.a=6,b=9,A=45°,有两解 D.b=9,c=10,B=60°,无解

3.在△ABC 中,已知 a tanB=b tanA,则△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.在△ABC 中,(a+b-c)(a+b+c)=ab,则∠C 为( A.60° B.90°

2

2

)

)

C.120° D.150° 5. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 a -b = 3bc, sinC=2 3sinB, 则∠A=( A.30° ) B.60°
2 2

C.120° D.150° 6.在△ABC 中,b=2 3,A=30°,则 a 的取值范围是( A. [1,+∞) B. [ 3,2 3] )

C. [ 3,+∞)

D. [1,3)

二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分) 7.设 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,则直线 sinA·x+ay+c=0 与 bx- sinB·y+sinC=0 的位置关系是________. 1 8.在△ABC 中,若 tanA= ,C=150°,BC=1,则 AB=________. 3 9.在△ABC 中,已知∠A>∠B>∠C,且∠A=2∠C,b=4,a+c=8,则 c=________. 三、解答题:(共 35 分,其中第 10 小题 11 分,第 11、12 小题各 12 分) 10.在△ABC 中,b=asinC,c=acosB,试判断△ABC 的形状.

11.在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A, (1)求 cosA 的值; (2)求 c 的值.

是否存在这样的三角形,三边是连续的三个偶数,且最大角是最小角的 2 倍?若存在, 求此三角形的面积;若不存在,说明理由.

一、选择题

a b bsinA 3 2 1.D 依题意得 0°<B<60°, = ,sinB= = ,cosB= 1-sin B= sinA sinB a 3
6 ,选 D. 3 2.B 选项 A 中,a=bsinA,只有一解;选项 B 中 A 为钝角且 a>b,故只有一解;选 项 C 中 a<bsinA,无解;选项 D 中 csinB<b<c,有两解. 3.D 由已知得

a2sinB b2sinA = , cosB cosA
2 2 2 2

4R sin AsinB 4R sin BsinA 由正弦定理得 = ,∴sinAcosA=sinBcosB, cosB cosA ∴sin2A=sin2B,∴2A=2B 或 2A=π -2B, π 即 A=B 或 A+B= ,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 2 4.C 由已知,得(a+b) -c =ab, ∴c =a +b +ab=a +b -2abcosC.
2 2 2 2 2 2 2

1 ∴cosC=- . 2 ∵∠C∈(0°,180°), ∴∠C=120°. 5.A 根据正弦定理,由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b,把它代入 a -b = 3bc,得
2 2

a2 - b2 = 6b2. 即 a2 = 7b2 , 结 合 余 弦 定 理 得 cosA =
∵0°<A<180°,∴A=30°.

b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 3 = = ,又 2bc 2 2b·2 3b

2 3sin30° 3 6.C a= = ≥ 3.(也可画图求解) sinB sinB 二、填空题 7.垂直 sinA b 解析:两条直线的斜率分别是- , . a sinB 根据正弦定理,bsinA=asinB, sinA b 得- · =1,即两条直线垂直. a sinB 8. 10 2

1 10 AB BC BCsinC 10 解析:由 tanA= ,得 sinA= .由正弦定理得, = ,则 AB= = . 3 10 sinC sinA sinA 2 9. 16 5
2 2 2

sin2C sinC a a +4 -c 2 解析:由正弦定理 = ,cosC= = ,把 a=8-c 代入整理得 5c - a c 2c 8a 16 36c+64=0,c= 或 4(∵A>C,∴a>c,舍去 4). 5 三、解答题 10.由余弦定理知 cosB= =a , ∴△ABC 是以 A 为直角的直角三角形.又∵b=asinC, ∴b=a· ,∴b=c, ∴△ABC 也是等腰三角形. 综上所述,△ABC 是等腰直角三角形. 11.(1)由已知△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A,
2

a2+c2-b2 a2+c2-b2 2 2 ,代入 c=acosB,得 c=a· ,∴c +b 2ac 2ac

c a

a b 3 2 6 2 6 6 由正弦定理 = ,∴ = = ,cosA= . sinA sinB sinA sin2A 2sinAcosA 3
(2)由余弦定理可得 a =b +c -2bccosA 即 9=(2 6) +c -2×2 6×c× 即 c -8c+15=0,c=3 或 c=5. 当 c=3 时,此时 B=90°,A=C=45°,△ABC 为等腰直角三角形,但此时不满足 a +c =b ,故舍去, 综上,c=5. 12.存在符合题意的三角形.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 3

n n+4 设此三角形三边分别 n,n+2,n+4,(n 为偶数)最小角为 a.由正弦定理 = , sina sin2a
∴cosa= =

n+4 n+ 2+ n+ ,又由余弦定理 cosa= 2n n+ n+

2

-n

2



n+

+ n+

2

n+ n+

2

-n

2

n+4 , 2n
解得 n=8,所以三边为 8,10,12,可得三角形面积 S=15 7.



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