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求函数解析式的六种常用方法


求函数解析式的六种常用方法
一、换元法 已知复合函数 f [g(x)]的解析式,求原函数 f(x)的解析式.令 g(x)= t ,求 f(t) 的解析式,再把 t 换为 x 即可. 例 1 已知 f(

x +1 x2 +1 1 )= + ,求 f(x)的解析式. x x2 x

x +1 1 = t ,则 x= (t≠1) , x t ?1 1 2 ( ) +1 1 2 t ?1 ∴f(t)= + = 1+ (t ? 1) +(t-1)= t2-t+1 1 2 1 ( ) t ?1 t ?1
解: 设 故 f(x)=x2-x+1 (x≠1). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例 2 已知 f( x +1)= x+2 x ,求 f(x)的解析式. 解: f( x +1)= ( x ) 2 +2 x +1-1= ( x + 1) 2 -1, ∴ f( x +1)= ( x + 1) 2 -1 ( x +1≥1) ,将 x +1 视为自变量 x,则有 f(x)= x2-1 (x≥1). 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错. 三、待定系数法 例 3 已知二次函数 f(x)满足 f(0)=0,f(x+1)= f(x)+2x+8,求 f(x)的解析 式. 解:设二次函数 f(x)= ax2+bx+c,则 f(0)= c= 0 ① f(x+1)= a ( x + 1) +b(x+1)= ax2+(2a+b)x+a+b
2



由 f(x+1)= f(x)+2x+8 与①、② 得

?2 a + b = b + 2 ? ?a + b = 8

解得 ?

?a = 1, ?b = 7.

故 f(x)= x2+7x.

评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式. 四、消去法

1 )= x (x≠0) ,求 f(x)函数解析式. x 1 1 分析:欲求 f(x) ,必须消去已知中的 f( ) ,若用 去代替已知中 x,便可得到另一 x x
例 4 设函数 f(x)满足 f(x)+2 f( 个方程,联立方程组求解即可. 解:∵ f(x)+2 f(

1 )= x (x≠0) ① x



1 1 )= (x≠0) ② x x 2 x - (x≠0). 解 ①② 构成的方程组,得 f(x)= 3x 3
2f(x)+f(

1 代入得 x

五、特殊值法 例5 设是定义在 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对任意的实数 x,y, 有 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) ,求 f(x)函数解析式. 分析:要 f(0)=1,x,y 是任意的实数及 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) ,得到 f(x)函数解析式,只有令 x = y. 解: 令 x = y ,由 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) 得 f(0)= f(x)- x(2x-x+1) ,整理得 f(x)= x2+x+1. 六、对称性法 即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式,求另一区间上的解析式. 例 6 已知是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x-x2,求 f(x)函数解析式. 解:∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴y=f(x)的图象关于原点对称. 当 x≥0 时,f(x)=2x-x2 的顶点(1,1) ,它关于原点对称点(-1,—1) ,

?2 x ? x 2 因此当 x<0 时,y= ( x + 1) -1= x +2x.故 f(x)= ? 2 ?x + 2x
2

2

x≥0, x<0.

评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.



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