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专题03 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(原卷版)

专题 03 平面向量 【母题来源一】【2019 年高考全国 II 卷理数】已知 uuur AB =(2,3), uuur AC =(3,t), uuur BC =1,则 uuur AB uuur BC = A.?3 B.?2 C.2 D.3 【答案】C uuur uuur uuur uuur uuur 【 解 析 】 由 BC AC AB (1,t 3) , BC 12 (t 3)2 1 , 得 t 3 , 则 BC (1, 0) , uuur uuur ABgBC (2,3)g(1, 0) 21 3 0 2 .故选 C. 【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积,侧重基础知识和基本技能,难度不大. 【母题来源二】【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量 a , b 满足 | a | 1 , a b 1 ,则 a (2a b) A.4 B.3 C.2 D.0 【答案】B 【解析】因为 a 2a b 2a2 a b 2 | a |2 1 2 1 3 ,所以选 B. 【名师点睛】已知非零向量 a (x1, y1) , b (x2 , y2 ) : 几何表示 坐标表示 模 |a|= a a a x12 y12 夹角 cos a b ab cos x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 【母题来源三】【2017 年高考全国 II 卷理数】已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一 uuur uuur uuur 点,则 PA (PB PC) 的最小值是 A. 2 C. 4 3 B. 3 2 D. 1 【答案】B 【解析】如图,以 BC 为 x 轴, BC 的垂直平分线 DA 为 y 轴, D 为坐标原点建立平面直角坐标系, uuur uuur uuur 则 A(0, 3) ,B(1, 0) ,C(1,0) ,设 P(x, y) ,所以 PA (x, 3 y) ,PB (1 x, y) ,PC (1 x, y) , uuur uuur uuur uuur uuur 所 以 PB PC (2x, 2 y) , PA (PB PC) 2x2 2 y( 3 y) 2x2 2( y 3 )2 3 3 , 当 2 22 P(0, 3 ) 时,所求的最小值为 3 ,故选 B. 2 2 【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路: ①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特 征直接进行判断; ②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解 等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决. 【命题意图】高考对本部分内容的考查以运算求解和数形结合为主,重点考查平面向量数量积定义和坐标运 算以及相关的参数取值问题. 【命题规律】主要以选择或者填空的形式,考查平面向量数量积的定义、转化法、坐标运算等内容. 【答题模板】解答本类题目,以 2017 年高考真题为例,一般考虑如下三步: 第一步:根据已知条件建立平面直角坐标系 第二步:用坐标表示向量; 第三步:利用坐标表示平面数量积进而求范围. 【方法总结】 (一)平面向量的概念及线性运算 1. 解决向量的概念问题应关注六点: (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即平行向量,它们均与起点无关. 相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等 向量. (4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量 a 与 a 的关系: a 是 a 方向上的单位向量. |a| |a| (6)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小. 2. 平面向量线性运算问题的求解策略. (1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量, 三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来. (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式 等变形手段在线性运算中同样适用. (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边 形;③运用法则找关系;④化简结果. 3. 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线:对于向量 a,b,若存在实数 λ,使 a=λb,则 a 与 b 共线. uuur uuur (2)证明三点共线:若存在实数 λ,使 AB =λ AC ,则 A,B,C 三点共线. (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. uuur uuur uuur uuur uuur (4)对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点 O,OA 、OB 不共线,满足 OP =x OA +y OB(x, y∈R),则 P、A、B 共线?x+y=1. (二)平面向量基本定理及坐标表示 1. 对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向量的坐 标表示的基础. (2)平面向量一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组. (3)用平面向量基本定理可将任一向量分解成形如 a=λ1e1+λ2e2 的形式,是向量线性运算知识的延伸. 2. 平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若 a=(x1,y1),


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