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天津市青光中学2011-2012学年高二数学 222椭圆的简单几何性质(1)(课件) (人教A版选修2-1)_图文

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复习: 老师都说好! 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

1.椭圆的定义:
到两定点F 的距离之和为常数(大于|F 到两定点 1、F2的距离之和为常数(大于 1F2 |)的 ) 动点的轨迹叫做椭圆。 动点的轨迹叫做椭圆。

| PF | + | PF |= 2a(2a >| F F |) 1 2 1 2

2.椭圆的标准方程是: 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在 轴上时 当焦点在Y轴上时 当焦点在 轴上时

x y + 2 =1(a > b > 0) 2 a 2 b 2 y x + 2 =1(a > b > 0) 2 a b

3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a
2

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二、椭圆
x 1、范围: 2 ≤ 1, 、范围: a
2

简单的几何性质
y2 ≤ 1得: 2 b

-a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 椭圆落在 ± 组成的矩形中 y
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

3

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椭圆的对称性

Y P1(-x,y) , )

P(x,y) ( , )

O P2(-x,-y) , )

X

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2、对称性: 、对称性
从图形上看,椭圆关于 轴 从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 轴 原点对称。 从方程上看: 从方程上看: 换成-x方程不变 轴对称; (1)把x换成 方程不变,图象关于 轴对称; ) 换成 方程不变,图象关于y轴对称 换成-y方程不变 轴对称; (2)把y换成 方程不变,图象关于 轴对称; ) 换成 方程不变,图象关于x轴对称 (3)把x换成 ,同时把 换成 方程不变,图象关于原点成中 换成-x,同时把y换成 方程不变, 换成-y方程不变 ) 换成 y 心对称。 心对称。
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

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3、椭圆的顶点 金太阳新课标资源网

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x a

2 2

y + = 1( a > b > 0 ) 2 b
y
B2 (0,b)

2

?,说明椭圆与 轴的交点 轴的交点? 令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? , ?, 轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? , ? 轴的交点 *顶点:椭圆与它的对称轴 顶点: 顶点 的四个交点, 的四个交点,叫做椭圆的 顶点。 顶点。

A1

b

a F2

, A2 (a,0)

, *长轴、短轴:线段A1A2、 (-a,0) F1 长轴、短轴:线段 长轴 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 、 分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。 轴长和短半轴长。

o c
B1 (0,-b)

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根据前面所学有关知识画出下列图形
x y + =1 (1) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x y + =1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

2

2

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

7

4、椭圆的离心率 金太阳新课标资源网

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c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比: 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e = 叫做椭圆的离心率。 叫做椭圆的离心率。 a [1]离心率的取值范围:0<e<1 离心率的取值范围: 离心率的取值范围
[2]离心率对椭圆形状的影响: 离心率对椭圆形状的影响: 离心率对椭圆形状的影响 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭 就越小, ) , , 就越小 圆就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 ) 就越大, , , 就越大 圆就越圆 [3]e与a,b的关系 的关系: 与 的关系 2 2 2

c e= = a

a ?b b = 1? a a
2

2

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标准方程

x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b

范围 对称性

|x|≤ a,|y|≤ b
轴成轴对称; 关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) 、 、 、 (c,0)、(-c,0) 、 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

顶点坐标 焦点坐标 半轴长

离心率 a、b、c的关系

e =

c a

a2=b2+c2
9

2 标准方程金太阳新课标资源网

x y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b

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x y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b a

范围

|x|≤ a,|y|≤ b
对称性

|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 、 、 (0,a)、(0,-a) 、 (0 , c)、(0, -c) 、 同前 同前 同前
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轴成轴对称; 关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

顶点坐标

(a,0)、(-a,0)、 、 、 (0,b)、(0,-b) 、 (c,0)、 (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

焦点坐标

半轴长

离心率

e =

c a

a、b、c的关系

a2=b2+c2

例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,

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它的长轴长是: 它的长轴长是 焦距是: 焦距是

10 。短轴长是 短轴长是: 短轴长是


6

3 离心率等于: 离心率等于 5

8

。 。

焦点坐标是: 焦点坐标是 ( ±3, 0) 外切矩形的面积等于: 外切矩形的面积等于

。顶点坐标是 ( ±5, 0) (0, ±4) 顶点坐标是: 。 顶点坐标是

80



解题的关键: 、 2 解题的关键:21、将椭圆方程转化为标 x y 明确a、 准方程 + = 1 明确 、b
25 16

2、确定焦点的位置和长轴的位置 、
11

1.

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已知椭圆方程为6x2+y2=6

它的长轴长是:2 6 它的长轴长是: 焦距是: 焦距是:

。短轴长是: 短轴长是: .离心率等于: 离心率等于: 。顶点坐标是: 顶点坐标是:
30 6


。 。 。

2
2 5

焦点坐标是: 焦点坐标是:

(0,± 5) 外切矩形的面积等于: 外切矩形的面积等于: (0, ± 6) (±1 ,0)

4 6
其标准方程是 x2 y2 + = 1 1 6
2 2

a = 6 b = 1 则c = a ? b = 5
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例2.过适合下列条件的椭圆的标准方程: 过适合下列条件的椭圆的标准方程: Q (1)经过点P (?3, 0) 、 (0, ?2) ; 3 (2)长轴长等于 20 ,离心率等于 5 . 解:(1)由题意, a = 3 b = 2,又∵长轴在 x 由题意,
x2 y2 轴上,所以, 轴上,所以,椭圆的标准方程为 + = 1 c 3 9 4 . e 2 由已知, (2)由已知, a = 20 , = a = 5

c ∴ a = 10 , = 6 ,∴ b 2 = 10 2 ? 6 2 = 64
2 2



y 2 x2 x y + =. 1 + =1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64

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例3.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P(3,0),求 椭圆的方程。

x 答案: 答案: + y 9

2

2

= 1

x y + = 1 9 81

2

2

分类讨论的数学思想 分类讨论的数学思想

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小结:

本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围、 本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量 基本量a 及顶点、 了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系, 焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助, 决椭圆中的相关问题有很大的帮助,给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中, 何的学习中,我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件, 来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练掌 数与形的联系 在本节课中,我们运用了几何性 的联系。 握数与形的联系。在本节课中,我们运用了几何性 待定系数法来求解椭圆方程 在解题过程中, 来求解椭圆方程, 质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中, 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。 函数与方程以及分类讨论的数学思想 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
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