9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 理学 >>

5.1对数函数的概念


y

0

x

引例1
某种细胞分裂时,1个分裂成2 ,2个分裂成4 某种细胞分裂时,1个分裂成2个,2个分裂成4 ,1个分裂成 个分裂成 个,……,那么分裂x次,得到的细胞的个数 ,……,那么分裂x y与x的函数关系式是: 的函数关系式是: x

y=2

如果知道了细胞的个数y,如何确定分裂的次数x 如果知道了细胞的个数y,如何确定分裂的次数x呢? y,如何确定分裂的次数 由对数与指数的互化可知: 由对数与指数的互化可知:

x=log2y

引例2
某种放射性物质不断变化为其他物质,且每经过一年, 某种放射性物质不断变化为其他物质,且每经过一年, 这种物质剩余的质量是原来的84%.写出这种物质的剩 这种物质剩余的质量是原来的84%.写出这种物质的剩 84%. 余量y 的函数关系式.(设初始质量为 设初始质量为1) 余量y与年数x 的函数关系式 设初始质量为

y = 0.84

x

已知经过的年数 x ,就能求出该物质的剩余量 y . 已知该物质的剩余量 y ,如何求经过的时间 x 呢?

x = log 0.84 y

问 题:

x=log2y

x = log 0.84 y
= a (a > 0且a ≠ 1)
x

即对于一般的指数函数y 中的两个变量,能否把x 中的两个变量,

= log a y

中y 当作自

变量, 变量,使得 x 是 y 的函数 ?

y
y1 y2

y=a (a?1)

x

y
y1 y2 y3

y=a (0<a<1) a )

x

y3

0

x3

x2

x1

x

x1 x2

x30

x

数集R 在y=a 中,数集R与 数集{y|y>0} {y|y>0}之间 数集{y|y>0}之间 是一一对应的关系。 是一一对应的关系。

x

y = ax

x = loga y

把y=a 化为对数式 x = log a y ,在 x = log a y 这个 关系, 关系,对于任意的 y ∈ ( 0, +∞ ) 都有唯一确定的 x 值与之对应,若把 y 当作自变量,则 x 就是 y 的函 值与之对应, 当作自变量, 数.把函数

x

x = loga y 叫对数函数(a>0且 ≠1, y>0, x∈R) a

而习惯上自变量用x表示,y表示函数,所以 习惯上自变量用x表示, 表示函数, 自变量用 这个函数就写成 y = loga x(a > 0且a ≠ 1) 我们把 的底数. 底数.

y = loga x(a > 0且a ≠ 1)

就叫作对数函数, 就叫作对数函数, 对数函数 ,a 叫作对数函数

其中定义域是 其中定义域是 ( 0, +∞ ) ,值域是 R

y=a 、 x=logay与 y=logax 有什么关系? 有什么关系?

x

x = log y
a

y=a

x

y = log x
a

x y=a

x

x=logay

y=㏒ y=㏒ax

a的取值范围 的取值范围

a>0,a≠1

a>0,a≠1 (-∞,+∞) , ) (0,+∞) , )

a>0,a≠1 (0,+∞) , ) (-∞,+∞) , )

x的取值范围 (-∞,+∞) 的取值范围 , ) y的取值范围 的取值范围 (0,+∞) , )

用描点式法画出y=log2x的图像 用描点式法画出 的图像
列 表

X Y=㏒2X

… …

1/4 1/2 1
-2 -1 0

2
1

4
2

8
3

… …

描 点
3 2 1 -1 -2 1 2 4 8

连 线

x

y

x=log2y
x0

y0 2 y1

x y0 y1

y=log2x

用 水 平 轴 表 示 轴

y=2

x

字母互换
y2

log 2 y 0
x1 x0

y2

x2

0

x

x2

x1

x0

y

y=log2x

y=log2x

是自变量, 在指数函数y=ax中,x是自变量,定义域是x∈R,y 的函数, ∈(0,+∞).根据指数与对数的 是x的函数,且值域y∈(0,+∞).根据指数与对数的 关系, 这样, 关系,由指数式y=ax可得到对数式x=logay,这样,对 ∈(0,+∞),通过式子 于任意一个y∈(0,+∞),通过式子x=logay,x在R中 都有唯一确定的值和它对应. 都有唯一确定的值和它对应.我们可以把y作为自变 的函数,这时, ∈(0,+∞))就 量,x作为y的函数,这时,x=logay(y∈(0,+∞))就 为指数函数y=ax的反函数. 的反函数. 表示, 表示, 把自变量用x表示,因变量用y表示,则对数函数 y=logax就是指数函数y=ax的反函数(a>0且a≠1). 的反函数( 反之, 反之,也可类似说明对数函数y=logax(a>0且 a≠1)是指数函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数. ≠1)是指数函数 ≠1)的反函数. 的反函数

请填写下列表格: 请填写下列表格

X Y=㏒2X X Y=2
x

… … … y …

1/4 1/2 1
-2 -2
1 4

2
0 0 1 1 2

4
2 2 4

8
3 3 8

… … … …

-1 -1

1 y=㏒2X1 ㏒ 2

你能发现什么规律吗? 你能发现什么规律吗?
互为反函数的两个函数y=a 的两个函数中,如果(m,n) 互为反函数的两个函数y=a 与y=logax的两个函数中,如果(m,n) 是y=ax图像上的一点,那么(n,m)必是y=logax图像上的一点. y=ax图像上的一点,那么(n,m)必是y=log 图像上的一点. 图像上的一点 (n,m)必是 反过来,如果(m,n)是 图上的一点,那么y=a 反过来,如果(m,n)是y=logax图上的一点,那么y=a 图像必过点 (m,n) (n,m),如何证明?? (n,m),如何证明?? 如何证明
x x

证明:因为(m,n)是y=a 图像上的一点 m 所以n=a , m=logan 即y=logax经过点(n,m)

x

下列那几个函数是对数函数( 例1 下列那几个函数是对数函数( (1)(3)(4) (1)y=log32x (2)y=log(-4)x (3)y=lgx 其中a>0.5 a>0.5且 (4)y=log(2a-1)x (其中a>0.5且a≠1) (2a-



计算: 例2 计算: (1)计算对数函数 ㏒2x对应于x )计算对数函数y=㏒ 对应于 时的函数值; 取1,2,4时的函数值; , , 时的函数值 对应x (2)计算对数函数 l g x对应 )计算对数函数y= 对应 时的函数值. 取1,10,100,0.1时的函数值 , , , 时的函数值 解(1)当x=1时,y= ㏒2x =㏒21=0, ) 时 ㏒ 当x=2时,y= ㏒2x =㏒22=1, 时 ㏒ 当x=4时,y= ㏒2x =㏒24=2; 时 ㏒ ; (2)当x=1时,y= l g x = l g 1=0, ) 时 当x=10时,y= l g x = l g 10=1 时 当x=100时,y= l g x = l g 100=2 时 当x=0.1时,y= l g x = l g 0.1=-1. 时

例3、已知对数函数 y=log2x , 求值域. {0.5,0.25,1,2,4}, 求值域. 0.5,0.25, 当x=0.5,y=log20.5=log22-1=-1 当x=0.25,y=log20.25=log22-2=-2 当x=1,y=log21=0 当x=2,y=log22=1 当x=4,y=log24=log222=2 所以,值域为{-1,-2,0,1,2} 所以,值域为{

设定义域为

例4 求下列函数的反函数

(1) y=5 =

x
x

2 x ( ) (2) y = 3
解 指数函数 底数是 2/3 ,它的反函 就是对数函数

解 指数函数 y=5 =

底数是5, 底数是 ,它的反函 就是对数函数

y = log 5 x

y = log 2 x
3

(3) y = log 1 x
3

(4) y=lgx =
解 对数函数 y=lgx = 底数是 10, 它的反 , 数就是指数函数

解 对数函数 y = log 1 x 3 1 底数是 , 它的反函数 3 就是指数函数

1 x y=( ) 3

y = 10

x

例5.求下列函数的定义域 : (1) y = log a x ;
2

( 2) y = log a ( 4 ? x ).

例1答案 : (1){x | x ≠ 0}; (2){x | x < 4};

课堂练习: 课堂练习: (1){ x | ?3 < x < 3}; 1 ( 2){ x | x > 且x ≠ 1}; 3

课堂练习:求下列函数的定义域 : (1) y = log a (9 ? x );
2

1 (2) y = log x ; 3x ? 1

1 对数函数y=f(x)的图像过点( y=f(x)的图像过点 ,-4 例6、对数函数y=f(x)的图像过点( ,-4), 16

则f(1/2)=( A.A.-1

A

) C -4. D 1/16 )

B.1

例7、已知f(x)=log2x,则f(3/8)+f(2/3)=( 已知f(x)=log2x,则 f(x)=log2x,
3 2 3 2 f ( ) + f ( ) = log + log 28 23 8 3 3 2 = log ( × ) 2 8 3 1 = log 24 = ?2



谢!


赞助商链接

更多相关文章:
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图