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【学海导航】江苏省高中数学第一轮总复习 第3章第17讲 数列的概念课件 苏教版_图文

考纲泛读 高考展望 数列是每年高考的必 考内容,复习备考应从“ 注意思想方法,强化运算 能力,重点知识重点复习 ”的角度做好充分准备. (1)数列的有关概念,等差 、等比数列的性质及应用 将作为基本题型出现在填 空题中. ①了解数列的概念和简 单的表示方法(列表、图 象、通项公式). ②了解数列是自变量为 正整数的一类函数. ③理解等差数列、等比 数列的概念. ④掌握等差数列、等比 数列的通项公式与前n项 和公式. 考纲泛读 ⑤能在具体的问题情景中 识别数列的等差关系或等 比关系,并能用有关知识 解决相应的问题. ⑥了解等差数列与一次函 数、等比数列与指数函数 的关系. ⑦理解合情推理与演绎推 理,并能运用它们进行一 些简单的推理. 高考展望 (2)数列解答题常用到递推 、函数与方程、归纳与猜想 、等价转化、分类讨论、整 体代换等数学思想. (3)对于给出递推关系式求 通项公式的问题,要掌握一 些诸如观察法、递推法、公 式法、归纳猜想法等基本的 数学方法. 考纲泛读 ⑧了解直接证明 的两种基本方法— —分析法和综合法 ,了解其思考过 程与特点. ⑨了解间接证明 的一种基本方法— —反证法,了解其 思考过程与特点. 高考展望 (4)等差、等比数列的混合运算 问题、可化为等差、等比数列 的问题以及数列与函数、不等 式结合的问题是2012年高考值 得重点关注的. “推理与证明”主要体现数学 思维的特点,它既是知识,又 是方法,同时也是能力.在高 考试题中,单独考查“推理与 证明”的可能性不大,一般是 渗透在解答题中. 数列的概念及 通项公式 【例1】 写出下列各数列的一个通项公式: 1 1 1 1 1 ? , , ? , ?1? ? ,, 2 4 8 16 32 ?. ? 2 ? 3,33,333,3333,33333, 1 【解析】 (1)an ? (?1) ? n ; 2 n 10 ? 1 ? 2 ? an= 3 n 已知数列的前几项,写出数列的通项公式, 主要从以下几个方面来考虑: ①负号用(-1)n或(-1)n+1来调节,这是因为 n和n+1奇偶相间; ②分式形式的数列,分子、分母分别找通项, 要充分借助分子、分母的关系; ③对于比较复杂的通项公式,要借助于等差 数列与等比数列和其他方法来解决.此类问题虽 无固定模式,但也有规律可找,主要靠观察、比 较、归纳、转化等方法. 【变式练习】 1 写出下列各数列的一个通项公式: 5 7 2 , ?; ?1? 4,- ,,- 2 4 ?. ? 2 ?10,11,10,11,10,11, n?3 【解析】 ?1? an=(-1) ? n ?10(n为正奇数) . ? 2 ? an=? ?11(n为正偶数) n+1 由数列的前n项的和Sn, 求通项公式 【例2】 已知数列{an}前n项的和Sn=3n+2n+ 1,求此数列的通项公式an. 【解析】当n=1时,a1=S1=6; 当n ? 2时,an=S n-S n-1 =(3 +2n+1)-[3 +2( n-1)+1] =2 ? 3 +2. n-1 n n-1 由于a1不适合此式, ?6? n ? 1? 所以an=? . n ?1 ?2 ? 3 ? 2? n ? 2,n ? N*? 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn ,求通项公 式an的方法是:首先求出a1,再由an=Sn- Sn-1(n≥2)求an.但这样求得的an是从第2项开 始的,未必是数列的通项公式,所以必须 验证a1是否适合,如果适合,则写成an=Sn -Sn-1(n∈N*),否则,只能写成an= ?a1 ? n ? 1? 的形式. ? ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2, n ? N*? 【变式练习2】 已知数列 {an} 前 n 项的和为 n2 + pn + 1 , 数列{bn}前n项的和为3n2-2n.若a10=b10, 求数列{an}的通项公式an. 【解析】由已知得an=(n 2+pn+1)-[(n-1) 2 +p (n-1)+1]=2n-1+p ( n ? 2), 则a10=19+p; bn=(3n 2-2n)-[3( n-1) 2-2( n-1)]=6n-5( n ? 2), 则b10=55. 所以数列?an ?的前n项和S n=n 2+36n+1, 则an=2n+35(n ? 2,n ? N* ). 由于a1=S1=38不适合上式, ?38( n ? 1) 所以an=? . ? 2n ? 35(n ? 2, n ? N*) 由简单的递推公 式,求通项公式 【例3】 求下列各数列的通项公式: (1)a1=2,an=2· 3n-1+an-1(n≥2); (2)Sn=2an+1. 【解析】 ?1?由an=2 ? 3n-1+an-1 (n ? 2),得an-an-1 =2 ? 3n-1 (n ? 2),即得a2-a1=2 ? 3,a3-a2=2 ? 32, a4-a3=2 ? 33, ?,an-an-1=2 ? 3n-1, 将以上各式相加, n ?1 3(1 ? 3 ) n 2 3 n-1 得an-a1=2(3+3 +3 +?+3 )=2 ? =3 -3. 1? 3 ? 2 ?当n=1时,S1=2a1+1=a1,解得a1=-1; 当n ? 2时,an=Sn-Sn-1=(2an+1)-(2an-1+1) =2an-2an-1, 即an=2an-1 ? 又a1=-1,所以an=(-1) ? 2n-1. 由递推公式求通项公式,一 般要掌握累加法、累乘法、构造 新数列的方法、利用通项与前 n 项和的关系等几种方法. 【变式练习3】 求下列各数列的通项公式: (1) 已知 a1 = 1 , (2n + 1)an = (2n - 3)an-1(n≥2); (2)a1=3,an+1=2an+5. 【解析】 ?1?由(2n+1)an=(2n-3)an-1, an 2n


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