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2019年高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示优化练习新人教A版必修1

1.1.1 集合的含义与表示

精品试卷

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1.已知集合 M={3,m+1},且 4∈M,则实数 m 等于( )

A.4

B.3

C.2

D.1

解析:由题设可知 3≠4,

∴m+1=4,

∴m=3.

答案:B

2.若以集合 A 的四个元素 a、b、c、d 为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( )

A.梯形

B.平行四边形

C.菱形

D.矩形

解析:由集合中元素互异性可知,a,b,c,d 互不相等,从而四边形中没有边长相等的边.

答案:A

3.集合{x∈N+|x-3<2}用列举法可表示为( )

A.{0,1,2,3,4}

B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2,3,4,5}

D.{1,2,3,4,5}

解析:∵x-3<2,∴x<5,又∵x∈N+,∴x=1,2,3,4.

答案:B

4.若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )

A.5

B.4

C.3

D.2

解析:利用集合中元素的互异性确定集合.

当 x=-1,y=0 时,z=x+y=-1;当 x=1,y=0 时,z=x+y=1;当 x=-1,y=2 时,z=x+y=1;当 x=1,

y=2 时,z=x+y=3,由集合中元素的互异性可知集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},即元素个数为 3.

答案:C

5.由实数 x,-x,|x|, x2,-3 x3所组成的集合中,最多含有的元素个数为( )

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个

解析:确定集合中元素的个数,应从集合中元素的互异性入手考虑.若是相同的元素,则在集合中只能出现一次.因

为 x2=|x|,-3 x3=-x,所以当 x=0 时,这几个数均为 0.当 x>0 时,它们分别是 x,-x,x,x,-x.当 x<0 时,它们分别是 x,-x,-x,-x,-x.均最多表示两个不同的数,故所组成的集合中的元素最多有 2 个.故选 A.
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答案:A

精品试卷

6.设 a,b∈R,集合{0,ba,b}={1,a+b,a},则 b-a=________.

解析:由题设知 a≠0,则 a+b=0,a=-b,所以ba=-1,∴a=-1,b=1,

故 b-a=2.

答案:2 7.已知-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为________. 解析:由-5∈{x|x2-ax-5=0}得(-5)2-a×(-5)-5=0,所以 a=-4,

所以{x|x2-4x+4=0}={2},所以集合中所有元素之和为 2.

答案:2

8.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中

元素的个数为________.

解析:∵P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5}, Q={1,2,6},∴当 a=0 时,a+b 的值为 1,2,6;当 a=2 时,

a+b 的值为 3,4,8;当 a=5 时,a+b 的值为 6,7,11.

∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},故 P+Q 中有 8 个元素.

答案:8 9.集合 A={x|kx2-8x+16=0},若集合 A 只有一个元素,试求实数 k 的值,并用列举法表示集合 A.

解析:(1)当 k=0 时,原方程变为-8x+16=0,x=2.

此时集合 A={2}.

(2)当 k≠0 时,要使一元二次方程 kx2-8x+16=0 有一个实根.

只需 Δ =64-64k=0,即 k=1. 此时方程的解为 x1=x2=4,集合 A={4},满足题意. 综上所述,实数 k 的值为 0 或 1.当 k=0 时,A={2};

当 k=1 时,A={4}.

10.已知集合 A 含有两个元素 a-3 和 2a-1,

(1)若-3∈A,试求实数 a 的值;

(2)若 a∈A,试求实数 a 的值.

解析:(1)因为-3∈A,

所以-3=a-3 或-3=2a-1.

若-3=a-3,则 a=0.

此时集合 A 含有两个元素-3,-1,符合题意.若-3=2a-1,则 a=-1.

此时集合 A 含有两个元素-4,-3,符合题意,综上所述,满足题意的实数

a 的值为 0 或-1.

(2)因为 a∈A,

所以 a=a-3 或 a=2a-1.

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当 a=a-3 时,有 0=-3,不成立.

精品试卷

当 a=2a-1 时,有 a=1,此时 A 中有两个元素-2,1,符合题意.综上知 a=1.

[B 组 能力提升]

1.有以下说法:

①0 与{0}是同一个集合;

②由 1,2,3 组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1};

③方程(x-1)2(x-2)=0 的所有解的集合可表示为{1,1,2};

④集合{x|4<x<5}是有限集.

其中正确说法是( )

A.①④

B.②

C.②③

D.以上说法都不对

解析:0∈{0};方程(x-1)2(x-2)=0 的解集为{1,2};集合{x|4<x<5}是无限集;只有②正确.

答案:B

2.已知集合 P={x|x=|aa|+|bb|,a,b 为非零常数},则下列不正确的是(

)

A.-1∈P

B.-2∈P

C.0∈P

D.2∈P

解析:(1)a>0,b>0 时,x=|aa|+|bb|=1+1=2;

(2)a<0,b<0 时,x=|aa|+|bb|=-1-1=-2;

(3)a,b 异号时,x=0.

答案:A

3.已知集合 M={a|a∈N,且5-6 a∈N},则 M=________.

解析:5-a 整除 6,故 5-a=1,2,3,6,a∈N 所以 a=4,3,2.

答案:{4,3,2}

4.当 x∈A 时,若 x-1?A 且 x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”,

则集合 A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________.

解析:由“孤立元素”的定义知,对任意 x∈A,要成为 A 的孤立元素,必须是集合 A 中既没有 x-1,也没有 x+1,

因此只需逐一考查 A 中的元素即可.0 有 1“相伴”,1,2 则是前后的元素都有,3 有 2“相伴”,只有 5 是“孤立的”,

从而集合 A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}.故填{5}.

答案:{5}

5.已知集合 A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.

(1)若 1∈A,求 a 的值;

(2)若集合 A 中只有一个元素,求实数 a 组成的集合;

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(3)若集合 A 中含有两个元素,求实数 a 组成的集合.

精品试卷

解析:(1)因为 1∈A,所以 a×12+2×1+1=0,

所以 a=-3.

(2)当 a=0 时,原方程为 2x+1=0,

解得 x=-12,符合题意;

当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 有两个相等实根,

即 Δ =22-4a=0,所以 a=1. 故当集合 A 只有一个元素时,实数 a 组成的集合是{0,1}. (3)由集合 A 中含有两个元素知,方程 ax2+2x+1=0 有两个不相等的实根, 即 a≠0 且 Δ =22-4a>0, 所以 a≠0 且 a<1.

故当集合 A 中含有两个元素时,实数 a 组成的集合是{a|a≠0 且 a<1}.

6.设 S 是由满足下列条件的实数所构成的集合:

①1?S;②若 a∈S,则1-1 a∈S.

请解答下列问题:

(1)若 2∈S,则 S 中必有另外两个数,求出这两个数;

(2)求证:若 a∈S,且 a≠0,则 1-1a∈S.

解析:(1)∵2∈S,2≠1,∴1-1 2=-1∈S.∵-1∈S,-1≠1,∴1-

1 -

=12∈S.

又∵12∈S,12≠1,∴1-1 12=2∈S.∴集合

S

中另外两个数为-1

1 和2.

(2)由 a∈S,则1-1 a∈S,可得

1 1

∈S,即

1 1

=1-1-a-a 1=1-1a∈S.∴若 a∈S,且 a≠0,则 1-1a∈S.

1-1-a

1-1-a

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