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【数学(选修2-1)】双曲线与直线位置关系


一.复习引入 椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组

相切

相交

(2)消去一个未知数 (3)

?<0

?=0

?>0

二.探究新知

直线与双曲线位置关系:
Y

O

X

分类:相离;相切;相交。

三.归纳总结

1.图象法 :

根据交点个数判定
Y

相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点 相交:一个交点
Y

O

X

温馨提示:
一解不一定相切, 相交不一定两解, 两解不一定同支.
O X

x2 y2 ? ? 1只有 一个 例1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条. (1,1)


O

X

2.代数法:

判断直线与双曲线位置关系的操作流程图

把直线方程代入双曲线方程
(2次系数等于0) (2次系数不等于0)

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

(两个交点)(一个交点) (无交点)

例2.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线

(1)有两个公共点;

(2)与右支交于两点.

(1)解:将直线 y ? kx ? 1 代入双曲线方程 x 2 ? y 2 ? 4 化简整理得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 5 ? 0 (※)

要使直线与双曲线有两个相异的公共点,则(※) 有两个不相等的实数根,应满足
1? k 2 ? 0
5 5 解得 : ? ? k ? 且k ? ?1 2 2

??0

k 的取值范围
5 5 5 (? ,?1) ? ( ?1, ) ? (1, ) 2 2 2

(2)解:将直线 化简整理

2k ?5 由韦达定理得: x1 ? x2 ? ? ; x1 x2 ? x2 2-(※)= 4 2 2 1? k 1 ? k y 双曲 注: 直线与
要使直线与双曲线的右支有两个 相异的公共点,则应满足 ? ? 1? k 2 ? 0 1? k 2 ? 0 ? ? ??0 ??0 ? ? ?? ? ?( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ? ?
5 解得 1 ? k ? 2
线的右支有两个 交点,实际上给出 了 方程 解的 范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要 注意!

y ? kx ? 1代入双曲线方程 x ? y ? 4 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 5 ? 0
2 2

变式应用:
已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范 围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k< ? 5 或k> 5 ;
2 2

(2)只有一个公共点; k=±1,或 (3)交于异支两点; -1<k<1 ;

k=

5 ± 2

走向高考 若不论K为何值,直线 y ? k ? x ? 2 ? ? b 与曲线

x ? y ? 1 总有公共点,则b的取值范围是(
2 2

B)

A. ? 3, 3 , B. ? ? 3, 3 ? , C ? ?2, 2 ? , D ? ?2, 2 ? ? ?

?

?

经过双曲线x ? y ? 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2

?
3

的弦AB。求?1? AB
设l的方程为:y ? 3 x ? 2

?

?

?y ? 3 x ? 2 由? 2 ? 2x2 ? 6 2x ? 7 ? 0 x ? y2 ? 1 ?

?

?

? AB ? ?

?1 ? k ? ? x
2

1

? x2 ? ? 4 x1 x2
2

7 4 3 2 ?4 ? 4 2
2

? ?

典型例题: 例4、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交,交点为 A、B,当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐 标原点。
解:将y=ax+1代入3x2-y2=1

得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根,必须△>0,

? a ? (? 6, 6),
又设方程的两根为x1,x2,A(x1,y1),B(x2,y2),

2a ?2 ? x1 ? x2 ? , x1x 2 ? 2 2 3?a 3?a

∵原点O(0,0)在以AB为直径的圆上,

解:将y=ax+1代入3x2-y2=1 得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根,必须△>0,

? a ? (? 6, 6),

又设方程的两根为x1,x2,A(x1,y1),B(x2,y2),

2a ?2 ? x1 ? x2 ? , x1x2 ? 2 3?a 3 ? a2

∵原点O(0,0)在以AB为直径的圆上, ∴OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, ∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,

?2 2a ? (a +1) +a? +1=0 2 2 3?a 3?a
2

解得a=±1.

典型例题:

例5.以P(1,8)为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB,求直线AB的方程。
解法一: (1) 当过P点的直线AB和x轴垂直时,直线被双曲线 截得的弦的中点不是P点。 (2) 当过P点的直线AB和x轴不垂直时,设其斜率为k. 则直线AB的方程为y-8=k(x-1)
? y - 8 = k ? x -1? ? 由? 2 ,得 2 ? y - 4x = 4 ?

?k

2

- 4 ? x + 2k ? k - 8 ? x + ?8 - k ? - 4 = 0
2 2

例5.以P(1,8)为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB,求直线AB的方程。

?k

2

- 4 ? x + 2k ? k - 8 ? x + ? 8 - k ? - 4 = 0
2 2

?1?
?2 ?

设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则x1 , x2是方程 ?1?的两个不等实根.
∴Δ = 4k ? 8 - k ? -4 ? k 2 -4 ? ??8 - k 2 ? -4 ? > 0 ? ?
2 2

?弦AB的中点是P ?1,8? ,

∵中点坐标公式与韦达定理,得 - 2 =1 k -4 1 由? 2 ? ?3? 得k = 2 1 ? 直线AB的方程为y-8 = ? x ? 1? 2

k ? 8- k ?

?3?

即直线AB的方程为x-2y+15 = 0

解法二:设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 ?y12 ? 4 x12 ? 4 ? , ? 2 2 ?y 2 ? 4 x2 ? 4 ?
? ? y1 ? y1 ?? y1 ? y1 ? ? 4 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? , ?弦AB的中点是P ?1,8? , ?16 ? y1 ? y1 ? ? 8 ? x1 ? x2 ? ,

? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 16.

y1 ? y1 1 ? 直线AB的斜率为 ? , x1 ? x2 2 1 ? 直线AB的方程为y-8 = ? x ? 1? 2

即直线AB的方程为x-2y+15 = 0

变式:已知双曲线x2-y2/2=1,试问 过点A(1,1),能否作直线l,使与双曲线 交于P1、P2两点,且点A是线段P1P2的 中点?这样的直线l如果存在,求出它 的方程;如果不存在,说明理由。

证明: (1)若L有斜率,设L的方程为:y=kx+b
? y=kx+b ? 2 2 ? (5k 2 ? 3)x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 15 ? 0 ?y x ? ?1 ? 5 ? 3

10kb ? L与渐近线相交于C, D两点,? 5k ? 3 ? 0,? xC ? xD ? 3 ? 5k 2
2

10kb ? L与C相交于A, B两点,? 5k ? 3 ? 0,? x A ? xB ? 3 ? 5k 2 ? y=kx+b ? 2 2 ? (5k 2 ? 3)x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 0 ?y x ? ?0 ? 5 ? 3
2

可见AB,CD的中点横坐标都相同,从而中点重合.
(2)若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.

高考真题
(2008· 天津卷)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是 Fl(-3,0),一条渐近线方程是 5x ? 2 y ? . 0 (1)求双曲线C的方程; (2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同 的点M、N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的 三角形的面积为
81 ,求k的取值范围. 2

【分析】双曲线的方程是确定的,直线的方程是不定 的.利用MN的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找k 、m的关系式,根据两者的约束条件"直线l与双曲线交 于不同的两点",确定k的取值范围.

解析
x2 y2 (1)设双曲线C的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). a b
a 2 ? b2 ? 9

由题意,得

b 5 ? a 2

解得

a2 ? 4 b2 ? 5

x2 y2 所以双曲线C的方程为 ? ? 1. 4 5

(2)设直线l的方程为y ? kx ? m(k ? 0).
y ? kx ? m
联立

x y ? ?1 4 5

2

2

得(5 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4kmx ? 4m2 ? 20 ? 0.

因为直线l交双曲线于M、N不同的两点,

所以? ? (?8km) 2 ? 4(5 ? 4k 2 )( 4m2 ? 20) ? 0
即m 2 ? 4k 2 ? 5且k 2 ? 5 4

设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), MN的中点( x 0 , y0 ),
4km 5m x1 ? x2 ? , y0 ? kx0 ? m ? . 所以x0 ? 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2 5m 1 4km 从而线段MN的垂直平分线的方程为y ? ? ? (x ? ) 2 2 5 ? 4k k 5 ? 4k

9km 9m 此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为 ( ,0), (0, ), 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 1 9km 9m 81 (5 ? 4k 2 ) 2 由提设可得 | |?| |? 所以m 2 ? ? 4k 2 ? 5, 2 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2 |k| 5 5 解得0 ? k ? 或k ? . 2 4
5 5 5 5 所以k ? (??,? ) ? (? ,0) ? (0, ) ? ( ,??). 4 2 2 4

【回顾与反思】本题主要考查直线与直线,直线与双曲线 的位置关系问题,考查学生的推理与运算能力,今后仍是 高考考查的重点.


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