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内蒙古第一机械制造集团有限公司2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

内蒙古第一机械制造集团有限公司 2014-2015 学年高一上学期期 末数学试卷
一.选择题 1. (5 分)下列五种写法,其中错误写法的个数为() (1){0}∈{0,2,3}; (2)??{0}; (3){1,2,0}(4)0∈?; (5)0∩?=? A.1 B. 2 C. 3 D.4 2. (5 分)幂函数 f(x)的图象过点(3, A.f(x)=3
x

) ,则 f(x)的解析式为() C.f(x)=x D.f(x)=( )
x

B.f(x)=x

3

3. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,给出下列命题,正确的 是() A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B. 若 m∥α,m⊥β,则 α⊥β C. 若 α⊥β,α⊥γ,则 β⊥γ D.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β 4. (5 分)已知底面是边长为 1 的正方形,侧棱长为 均在同一个球面上,则该球的体积为() A. B.4π C . 2π 且侧棱与底面垂直的四棱柱的各顶点

D.

5. (5 分)如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角 形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为()

A.

B. 4

C.

D.2

6. (5 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为() A.3 B. 2 C. 3 D.4 8. (5 分)设函数 y=x 与 y=( ) A.(0,1)
3 x﹣2

的图象的交点为(x0,y0) ,则 x0 所在的区间是() C.(2,3) D.(3,4)
x

B.(1,2)

9. (5 分)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=( ) ,则函数 f(x) 的反函数的零点为() A.2 B . ﹣2
2

C. 3

D.0

10. (5 分)设二次函数 f(x)=﹣x +x+a(a<0) ,若 f(m)>0,则 f(m+1)的值为() A.正数 B. 负数 C. 非负数 D.正数、负数或零都有可能 11. (5 分)已知四棱锥 S﹣ABCD 的所有棱长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角 的正弦值为() A. B. C. D.

12. (5 分)点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题: ①三棱锥 A1﹣D1DP 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 A1PB⊥平面 PDB1. 其中正确的命题的序号是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 20 分) 13. (3 分)若集合 A={﹣1≤x<2},B={x|x≤a},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是.

14. (5 分)已知直线 l 的倾斜角为

,直线 l1 经过点 A(3,2)B(a,﹣1) ,且与 l 垂直,

直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b=.

15. (5 分)设函数 关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为.

若 f(﹣4)=f(0) ,f(﹣2)=﹣2,则

16. (5 分)如图 1,一个底面是正三角形,侧棱与底面垂直的棱柱形容器,底面边长为 a,高 为 2a,内装水若干.将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图 2,这时水面恰好为中截面(D, D′E,E′分别是棱 CB,C′B′,CA,C′A′的中点) ,则图 1 中容器内水面的高度为.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 72 分) 17. (10 分)直线 l 过点 (﹣3,﹣2)且在两坐标轴上的截距相等,求这条直线的方程. 18. (12 分)已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈α,BD⊥l,D 为垂足, 若 AB=2,AC=BD=1,求 D 到平面 ABC 的距离.

19. (14 分)已知△ ABC 顶点 A(1,4) ,角 B,C 平分线方程为 l1:x+y﹣1=0 和 l2:x﹣2y=0, 求边 BC 所在的直线方程. 20. ( 12 分) 如图, 四边形 ABCD 是菱形, 四边形 MADN 是矩形, 平面 MADN⊥平面 ABCD, E,F 分别为 MA,DC 的中点,求证: (Ⅰ)EF∥平面 MNCB; (Ⅱ)平面 MAC⊥平面 BND.

21. (12 分)已知函数 f(x)=log2(1﹣x)﹣log2(1+x) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)方程 f(x)=x+1 是否有根?如果有根 x0,请求出一个长度为 的区间(a,b) ,使 x0∈ (a,b) ;如果没有,请说明理由?(注:区间(a,b)的长度=b﹣a) . 22. (12 分)在三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥底面 ABC,∠ABC=90°,且 SA=AB,点 M 是 SB 的中点,AN⊥SC 且交 SC 于点 N. (1)求证:SC⊥平面 AMN; (2)当 AB=BC=1 时,求三棱锥 M﹣SAN 的体积.

内蒙古第一机械制造集团有限公司 2014-2015 学年高一上 学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题 1. (5 分)下列五种写法,其中错误写法的个数为() (1){0}∈{0,2,3}; (2)??{0}; (3){1,2,0}(4)0∈?; (5)0∩?=? A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 元素与集合关系的判断;子集与真子集.

专题: 集合. 分析: 根据集合的表示方法,元素 和集合,集合和集合之间的关系进行判断即可. 解答: 解:写法错误的有(1) , (4) , (5) ,共 3 个, 故选:C. 点评: 本题考查了集合的表示方法,元素和集合,集合和集合之间的关系 2. (5 分)幂函数 f(x)的图象过点(3, A.f(x)=3
x

) ,则 f(x)的解析式为() C.f(x)=x D.f(x)=( )
x

B.f(x)=x

3

考点: 幂函数的概念、 解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设出幂函数 f(x)的解析式,由图象过点(3, a 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , 其图象过点(3, ) , a ∴3 = ; 解得 a= , ∴f(x)= .

) ,求出解析式来.

故选:C. 点评: 本题考查了根据函数图象上的点求函数解析式的应用问题,是基础题目. 3. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,给出下列命题,正确的 是() A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B. 若 m∥α,m⊥β,则 α⊥β C. 若 α⊥β,α⊥γ,则 β⊥γ D.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行的性质定理,线面垂直的第二判定定理,面面垂直的判定定理,可判 断 B 中结论正确,而由空间点线面关系的几何特征,可判断其它结论均不一定成立. 解答: 解:若 m?β,α⊥β,则 m 与 α 的关系不确定,故 A 错误; 若 m∥α,则存在直线 n?α,使 m∥n,又由 m⊥β,可得 n⊥β,进而由面面垂直的判定定理 得到 α⊥β,故 B 正确; 若 α⊥β,α⊥γ,则 β 与 γ 关系不确定,故 C 错误; 若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α 与 β 可能平行,也可能相交(此时交线与 m,n 均平行) ,故 D 错误; 故选:B 点评: 本题考查平面的基本性质和推论,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答,注意 合理地进行等价转化.

4. (5 分)已知底面是边长为 1 的正方形,侧棱长为 均在同一个球面上,则该球的体积为() A. B.4π C . 2π

且侧棱与底面垂直的四棱柱的各顶点

D.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由正四棱柱的底面边长与侧棱长,可以求出四棱柱的对角线的长,就是外接球的直 径,然后求出球的体积. 解答: 解:因为正四棱柱底面边长为 1,侧棱长为 , 所以它的体对角线的长是:2. 所以球的直径是:2,半径为 1. 所以这个球的体积是: .

故选:D. 点评: 本题考查正四棱柱的外接球的体积.考查空间想象能力与计算能力,是基础题. 5. (5 分)如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角 形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为()

A.

B. 4

C.

D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 根据已知中的三视图及相关视图边的长度,我们易判断出该几何体的形状及底面积 和高的值,代入棱锥体积公式即可求出答案. 解答: 解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 ,2,底面边长为 2 故底面棱形的面积为 侧棱为 2 故 V= 故选 C ,则棱锥的高 h= =2 =2 =3

点评: 本题考查的知识点是 由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的 形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键. 6. (5 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 由题意,由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法 求解直线与平面所成的夹角. 解答: 解:以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空 间直角坐标系(图略) , 则 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,C1(0,2,1) ∴ =(﹣2,0,1) , , >═ =(﹣2,2,0) , = . 且为平面 BB1D1D 的一个法向量.

∴cos<

∴BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 故答案为 D. 点评: 此题重点考查了利用空间向量,抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平 面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题. 7. (5 分)若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为() A.3 B. 2 C. 3 D.4 考点: 两点间距离公式的应用;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出两直线的距离为 = ,原点到直线的 l2:x+y﹣5=0 距离 = ,运

用线段的关系求解. 解答: 解:∵l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 是平行直线, ∴可判断:过原点且与直线垂直时,中的 M 到原点的距离的最小值

∵直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0, ∴两直线的距离为 = ,

∴ AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为

+

=3



故选:A 点评: 本题考查了两点距离公式,直线的方程,属于中档题.
3 x﹣2

8. (5 分)设函数 y=x 与 y=( ) A.(0,1)

的图象的交点为(x0,y0) ,则 x0 所在的区间是() C.(2,3) D.(3,4)

B.(1,2)

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据 y=x 与 y=( )
3 3 x﹣2

的图象的交点的横坐标即为 g(x)=x ﹣2

3

2 ﹣x

的零点,将问

题转化为确定函数 g(x)=x ﹣2 得到答案. 解答: 解:∵y=( )
3 2﹣x x﹣2

2﹣x

的零点的所在区间的问题,再由函数零点的存在性定理可

=2

2﹣x

令 g(x)=x ﹣2 ,可求得:g(0)<0,g(1)<0,g(2)>0,g(3)>0,g(4)>0, 易知函数 g(x)的零点所在区间为(1,2) . 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理.考查考生的灵活转 化能力和对零点存在性定理的理解.
x

9. (5 分)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=( ) ,则函数 f(x) 的反函数的零点为() A.2 B . ﹣2

C. 3

D.0

考点: 反函数;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 x<0 时的解析式求出 x>0 时的函数解析式,从而得到函数 f(x)的解析式,取 x=0 求得 f(0)的值,从而得到函数 f(x)的反函数的零点. 解答: 解:设 x>0,则﹣x<0,∴ .





由 x=0,得 f(0)=0.

∴函数 f(x)的反函数的零点为 0. 故选:D. 点评: 本题考查了函数的解析式及其求法,考查了函数零点的求法,考查了互为反函数的 两个函数图象间的关系,是基础题. 10. (5 分)设二次函数 f(x)=﹣x +x+a(a<0) ,若 f(m)>0,则 f(m+1)的值为() A.正数 B. 负数 C. 非负数 D. 正数、负数或零都有可能 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)=﹣x +x+a(a<0) ,可知 f(0)=(1)=a<0,再判断出 0<m<1,从而解 出问题. 2 解答: 解:∵f(x)=﹣x +x+a(a<0) , ∴f(0)=(1)=a<0,又∵f(m)>0, 则 0<m<1, 则 m+1>1, 则 f(m+1)<f(1)<0, 故为负数, 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的性质,用到了数形结合的思想,属于基础题. 11. (5 分)已知四棱锥 S﹣ABCD 的所有棱长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角 的正弦值为() A. B. C. D.
2 2

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 作 SO⊥平面 ABCD,交平面 ABCD 于点 O,以 O 为原点,OS 为 z 轴,建立如图所 示的空间直角坐标系,利用向量法能求出 AE,SD 所成的角的正弦值. 解答: 解:作 SO⊥平面 ABCD,交平面 ABCD 于点 O, 以 O 为原点,OS 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 令四棱锥的棱长为 2, 则 A(1,﹣1,0) ,D(﹣1,﹣1,0) ,S(0,0, ) , E( ∴ ) , =(﹣ , , ) , =(﹣1,﹣1,﹣ ) ,

∴设 AE,SD 所成的角为 θ, cosθ=|cos< >|= = ,

sinθ=

=

. .

∴AE,SD 所成的角的正弦值为 故选:B.

点评: 本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要注意线线、线面、面面间的 位置关系和性质的合理运用,注意空间思维能力的培养. 12. (5 分)点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题: ①三棱锥 A1﹣D1DP 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 A1PB⊥平面 PDB1. 其中正确的命题的序号是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 利用 ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,根据正方体的性质及线面平行、线面垂直、面面 平行和垂直的判定和性质,逐一核对四个命题得答案. 解答: 解:如图,

对于①,∵BC1∥平面 A1DD1,∴P 到面 A1DD1 的距离不变,三棱锥 A1﹣D1DP 的体积不变, ①正确;

对于②,∵平面 A1BC1∥平面 ACD1,∴A1P∥平面 ACD1,②正确; 对于③,∵在同一平面内,过直线外一点与已知直线垂直的直线只有一条,∴DP⊥BC1 不正 确,③不正确; 对于④,∵BD1⊥平面 A1BC1,由线面垂直的判断知,平面 A1PB⊥平面 PDB1,④正确. 故正确的命题为①②④. 故选:B. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了空间先和面的位置关系,训练了系数的 空间想象能力和思维能力,是中档题. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 20 分) 13. (3 分)若集合 A={﹣1≤x<2},B={x|x≤a},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是 a≥﹣1. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接由交集的运算得答案. 解答: 解:A={﹣1≤x<2}, B={x|x≤a}, 由 A∩B≠?, 得 a≥﹣1. 故答案为:a≥﹣1. 点评: 本题考查了交集及其运算,是基础的会考题型.

14. (5 分)已知直线 l 的倾斜角为

,直线 l1 经过点 A(3,2)B(a,﹣1) ,且与 l 垂直,

直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b=﹣2. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由 l 的倾斜角求出 l 的斜率,再由 l1 经过点 A(3,2)B(a,﹣1)C,且与 l 垂直列 式求得 a 值,再由直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行列式求得 b 值得答案. 解答: 解:∵直线 l 的倾斜角为 ,∴ ,

∵l1 经过点 A(3,2) ,B(a,﹣1) ,且与 l 垂直, ∴ ,解得 a=0;

又直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行, ∴ ,解得 b=﹣2.

∴a+b=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线的平行于垂直的关系,有斜率的两直线,两直 线平行,斜率相等;两直线垂直,斜率之积等于﹣1,是基础题.

15. (5 分)设函数 关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为 3.

若 f(﹣4)=f(0) ,f(﹣2)=﹣2,则

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 利用条件先求当 x≤0 时的函数解析式,再求 x≤0 时 f(x)=x 的解的个数;最后求当 x>0 时方程 f(x)=x 的解为 2.从而得关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为 3. 2 解答: 解:当 x≤0 时 f(x)=x +bx+c, 因为 f(﹣4)=f(0) ,f(﹣2)=﹣2,

所以
2

,得:b=4,c=2,

所以当 x≤0 时 f(x)=x +4x+2, 2 方程 f(x)=x,即 x +3x+2=0,解得两根为:﹣1,﹣2. 当 x>0 时方程 f(x)=x,即 x=2. 则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为 3. 故答案为:3. 点评: 本题考查分段函数对应方程根的问题,需分段求解,用到了一元二次方程的解法. 16. (5 分)如图 1,一个底面是正三角形,侧棱与底面垂直的棱柱形容器,底面边长为 a,高 为 2a,内装水若干.将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图 2,这时水面恰好为中截面(D, D′E,E′分别是棱 CB,C′B′,CA,C′A′的中点) ,则图 1 中容器内水面 的高度为 a.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 设图 1 中水面的高度为 h,水的体积为 V,由已条条件推导出 S△ ABC=4S△ DEC,从而 容器放倒后的水体积为 V= ?S△ ABC?2a,由此能求出图 1 中容器内水面的高度 解答: 解:设图 1 中水面的高度为 h,水的体积为 V,则 V=S△ ABC?h, 因为容器放倒后,水面恰好为中截面, 所以 S△ ABC=4S△ DEC, 所以容器放倒后的水体积为 V= ?S△ ABC?2a,

所以 h=( ?S△ ABC?2a)÷S△ ABC= a. 故答案为: a. 点评: 本题考查图 1 中容器内水面的高度的求法,是中档题,解题时确定 S△ ABC=4S△ DEC 是关键. 三、解答题(本 大题共 6 小题,满分 72 分) 17. (10 分)直线 l 过点 (﹣3,﹣2)且在两坐标轴上的截距相等,求这条直线的方程. 考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 讨论直线 l 在两坐标轴上的截距为 0 以及不等于 0 时,设出直线方程,求出对应的直 线方程即可. 解答: 解:当直线 l 在两坐标轴上的截距为 0 时,设直线方程为 y=kx, ∵直线 l 过点(﹣3,﹣2) , ∴﹣3k=﹣2, 解得 k= , 直线方程为:y= x, 即 2x﹣3y=0; 当直线 l 在两坐标轴上的截距不为 0 时,设直线方程为 x+y=a, ∵直线 l 过点(﹣3,﹣2) , ∴﹣3+(﹣2)=a, 解得 a=﹣5, 直线方程为 x+y=﹣5, 即 x+y+5=0; ∴直线方程为 2x﹣3y=0 或 x+y+5=0. 点评: 本题考查了用分类讨论的方法求直线方程的应用问题,是基础题目. 18. (12 分)已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈α,BD⊥l,D 为垂足, 若 AB=2,AC=BD=1,求 D 到平面 ABC 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意通过等体积法,求出三棱锥的体积,然后求出 D 到平面 ABC 的距离 解答: 解:由题意画出图形如图: ∵直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足,

∴AC⊥β,BC?β, ∴AC⊥BC, ∵AB=2,AC=BD=1, ∴AD= = ,CD= = ,BC= =

设 D 到平面 ABC 的距离转化为三棱锥 D﹣ABC 的高为 h, 由 VB﹣ACD=VD﹣ABC 可知 × ?AC?CD?BD= × ×AC?BC?h, 所以,h= .

点评: 本题是基础题,考查点到平面的距离,考查转化思想的应用,等体积法是求解点到 平面距离的基本方法之一,考查计算能力. 19. (14 分)已知△ ABC 顶点 A(1,4) ,角 B,C 平分线方程为 l1:x+y﹣1=0 和 l2:x﹣2y=0, 求边 BC 所在的直线方程. 考点: 两直线的夹角与到角问 题. 专题: 直线与圆. 分析: 根据角平分线的性质求出点 A 关于直线的对称点,即可求出直线的方程. 解答: 解:设点 A 关于直线 x﹣2y=0 的对称点的坐标为 E(a,b) ,关于 x+y﹣1=0 的对称 点的坐标为 F(m,n) ,



,解得





,得



则E

,F(﹣3,0) ,

这两点都在直线 BC 上, 所以边 BC 所在的直线方程 4x+17y+12=0. 点评: 本题主要考查直线方程的求解,根据角平分线的性质,求出点 A 的对称点是解决本 题的关键.

20. (12 分)如图,四边形 ABCD 是菱形,四边形 MADN 是矩形,平面 MADN⊥平面 ABCD, E,F 分别为 MA,DC 的中点,求证: (Ⅰ)EF∥平面 MNCB; (Ⅱ)平面 MAC⊥平面 BND.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 NC 的中点 G,连结 FG,MG,由已知条件推导出四边形 MEFG 是平行四 边形,由此能证明 EF∥平面 MNCB. (Ⅱ) 连结 BD、 MC, 由已知条件推导出 AC⊥平面 BDN, 由此能证明平面 MAC⊥平面 BND. 解答: 证明: (Ⅰ)取 NC 的中点 G,连结 FG,MG, ∵ME∥ND,且 ME= , ,

又∵F,G 分别为 DC、NC 的中点,FG∥ND,且 FG= ∴FG ME,∴四边形 MEFG 是平行四边形,

∴EF∥MG, 又 MG?平面 MNCB,EF 不包含于 MNCB, ∴EF∥平面 MNCB. (Ⅱ)连结 BD、MC,∵四边形 MADN 是矩形, ∴ND⊥AD,又∵平面 ABCD∩平面 MADN=AD, DN?平面 MADN,∴ND⊥AC, ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, ∵BD∩ND=D,∴AC⊥平面 BDN, 又∵AC?平面 MAC, ∴平面 MAC⊥平面 BND.

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面垂直的证明,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 21. (12 分)已知函数 f(x)=log2(1﹣x)﹣log2(1+x) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)方程 f(x)=x+1 是否有根?如果有根 x0,请求出一个长度为 的区间(a,b) ,使 x0∈ (a,b) ;如果没有,请说明理由?(注:区间(a,b)的长度=b﹣a) . 考点: 对数函数的定义域;函数奇偶性的判断;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题. 分析: (1)根据对数的定义可知负数和 0 没有对数,列出关于 x 的不等式组,求出解集即 可; (2)要判断函数的奇偶性即求出 f(﹣x) ,判断 f(﹣x)与 f(x)的关系可得; (3)把 f(x)的解析式代入到方程中利用对数的运算性质及对数的定义化简得到 g(x)=0, 然后在(﹣1,1)上取几个特殊值﹣ ,0,﹣ ,代入 g(x)求出值判断任意两个乘积的正 负即可知道之间是否有根. 解答: 解: (1)要使函数有意义,则 ,

∴﹣1<x<1,故函数的定义域为(﹣1,1) (2)∵f(﹣x)=log2(1+x)﹣log2(1﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x)为奇函数. (3)由题意知方程 f(x)=x+1?log2(1﹣x)﹣log2(1+x)=x+1,可化为(x+1)2 1=0 设 g(x)=(x+1)2 则 所以 ,故方程在
x+1 x+1

+x﹣

+x﹣1,x∈(﹣1,1) ,g(0)=2﹣1=1>0, 上必有根;

又因为 所以 所以满足题意的一个区间为 ,故方程在 . 上必有一根.



点评: 此题是一道综合题,要求学生会求对数函数的定义域,会判断函数的奇偶性,会判 断根的存在性和根的个数.在做第三问时注意会取特殊值.

22. (12 分)在三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥底面 ABC,∠ABC=90°,且 SA=AB,点 M 是 SB 的中点,AN⊥SC 且交 SC 于点 N. (1)求证:SC⊥平面 AMN; (2)当 AB=BC=1 时,求三棱锥 M﹣SAN 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)依题意,可证得 CB⊥平面 SAB,从而可证 CB⊥AM;由 SA=AB,点 M 是 SB 的中点可证得 AM⊥SB,而 CB∩SB=B,从而 AM⊥平面 SCB?AM⊥SC,进一步可证 SC⊥ 平面 AMN,利用面面垂直的判断定理即可证得结论. (2)利用(1)的结果,通过数据关系,求出 AM,MN,SN,然后求出棱锥的体积. 解答: 解: (1)证明:∵SA⊥平面 ABC, ∴SA⊥CB ∵ABC 直角三角形, ∴CB⊥AB,且 SA∩AB=A, ∴CB⊥平面 SAB, ∴CB⊥AM ∵SA=AB,M 为 SB 的中点, ∴AM⊥SB,且 CB∩SB=B, ∴AM⊥平面 SCB, ∴AM⊥SC 又∵SC⊥AN,且 AN∩AM=A, ∴SC⊥平面 AMN. (2)由(1)可知∠AMN=∠SNM=∠SNA=90°, ∵SA=AB=BC=1, ∴AM=SM=MB= SC⊥平面 AMN, ∴三棱锥 M﹣SAN 的体积: = = . ,SC= ,MN= = .SN= = .

点评: 本题重点考查了空间中直线与平面垂直,直线与直线垂直等位置关系,解题关键是 线面垂直和线线垂直的相互转化,棱锥体积的求法,属于中档题.



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