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江苏省苏州市第五中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (3)

【题文】

如图,已知正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 2, 点 M , N 分别在 PA, BD 上,且

PM

?

BN

?

1
.

PA BD 3

(1)求异面直线 MN 与 PC 所成角的大小;

(2)求二面角 N ? PC ? B 的余弦值.

【答案】 【解析】
证明:(1)设 AC , BD 交于点 O ,在正四棱锥 P ? ABCD中, OP ? 平面 ABCD .

PA ? AB ? 2 ,所以 OP ? 2 . 以 O 为坐标原点, DA , AB 方向

分别是 x 轴、 y 轴正方向,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,

如图:

……2 分

则 A(1, ?1,0) , B(1,1,0) , C(?1,1,0) , D(?1, ?1,0) , P(0,0, 2).

故 OM ? OA ? AM ? OA ? 2 AP ? (1 ,? 1 , 2 2 ) ,

3

333

ON ? 1 OB ? (1 , 1 ,0) ,

3

33

所以 MN ? (0, 2 , ? 2 2 ) , PC ? (?1,1, ? 2) , 33
cos ? MN, PC ?? MN ? PC ? 3 , MN PC 2

所以 MN 与 PC 所成角的大小为 π . 6

……8 分

(2) PC ? (?1,1, ? 2) , CB ? (2,0,0) , NC ? (? 4 , 2 ,0) . 33

设 m ? (x, y, z) 是平面 PCB 的一个法向量,则 m ? PC ? 0 , m ? CB ? 0 ,

可得

?? ?

x

?

y

?

2z ? 0, 令 x ? 0 , y ?

2 , z ? 1 ,即 m ? (0, 2,1) ,

?x ? 0,

……10 分

设 n ? (x1, y1, z1) 是平面 PCN 的一个法向量,则 n ? PC ? 0 , n ? CN ? 0 ,

可得

? ?

?

x1

?

y1

?

2z1 ? 0,

??2x1 ? y1 ? 0,

令 x1 ? 2 , y1 ? 4 , z1 ?

2 ,即 n ? (2, 4, 2) , …12 分

cos ? m, n ?? m ? n ? 5 2 ? 5 33 , m n 3 ? 22 33
则二面角 N ? PC ? B 的余弦值为 5 33 .……16 分
33 【标题】江苏省苏州市第五中学 2018-2019 学年高二下学期期中考试数学(理)试题 【结束】



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