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安徽省野寨中学2010-2011学年高三第三次月考数学(文)试题

安 徽 省 野 寨 中 学 2010-2011 学 年 高 三 第 三 次 月 考 数学(文)试题
命题人:郭长河 ( 满分:150 分 第 I 卷(选择题 审题人:涂顺安 时间:120 分钟) 共 50 分) )

小题, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。) 选择题: 1.设 P={x||x-1|≤1,x∈R},Q={x|x∈N},则 P∩Q 等于( A.P B.Q C.{1,2} D.{0,1,2}

2.函数 y = cos(4 x + ) 的图象的两条相邻对称轴间的距离为( 3 A.

π

) D.

π
8
?0.3

B.

π
4

C.

π
2

?1? 3.若 a = ? ? ?2?

, b = log 4 3, c = log 1 5, ,则 a, b, c 的大小关系为(
2



C. c > a > b D. a > c > b A.b> a > c B. a > b> c 4.函数 y=f(x),x∈[a, b],A={(x, y)| y=f(x),x∈[a,b]},B={(x, y )| x=1},则 A∩B 中所含元 素的个数 A.0 B.1
3 2

C.0 或 1

D.0、1 或 2 )

5. 已知函数 f(x)=x -ax +1 在区间(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.a=3 B.a≥3 C.a≤3 ) D. (1, 2) D.0<a<3

6.函数 f ( x) = log 2 x + 2 x ? 1 的零点所在的区间为( 1 1 1 1 A. (0, ) B. ( , ) C. ( ,1) 2 4 2 2
x 3

7.为了得到函数 y = 2 sin( + ), x ∈ R 的图像,只需把函数 y = 2 sin x, x ∈ R 的图像上所有的点
6

π




π
6

A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移

个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
1 3

1 3

π
6

π
6

D.向右平移

π
6

8.定义在 R 上的函数 f(x)是增函数,A(0,-1) ,B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式 |f(x+1)|<1 的解集为( )

A. (-1,2) 9. 已知不等式

B.

[ 3, +∞ )

C. [ 2, +∞ )

D. ( ?∞ , ?1] ∪ (2,+∞) )

y ax + ≥ 8 ? a 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( x y

A.2 B.4 C.8 D.16 3 2 10.已知函数 f ( x) = x + ax + bx + c , x ∈ [-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的切线斜率均为-1,有以下命题: ①f(x)的解析式为: f ( x) = x 3 ? 4 x , x ∈ [-2,2] ②f(x)的极值点有且仅有一个 ③f(x)的最大值与最小值之和等于零 其中正确的命题个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

第 II 卷 (非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题。每题 5 分,共 25 分) 填空题 11.函数 y = 2 x 的值域为
x +1

12. cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 13. 若函数 y = ( 1 )|1? x| + m 存在零点,则 m 的取值范围是__________. 2 1 14. 曲线 y = 和 y = x 2 在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 . x ? 4π ? 15. 如 果 函 数 y=3 cos ( 2 x+φ ) 的 图 像 关 于 点 ? ,0 ? 中 心 对 称 , 那 么 φ 的 最 小 值 为 ? 3 ? __________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题

16.(本小题满分 12 分)已知 tan θ = ?2 ,求: (1) tan(

π
4

+θ) ; (2) cos 2θ

17. (本小题满分 12 分) 已知: ①不等式(m2-2m-3)x2―(m―3)x―1<0 对一切 x∈R 都成立, 设 m 的所有可取值的集合为 A;②不等式 x2―2mx―1>0 对一切 1≤x≤3 都成立,设 m 的所 有可取值的集合为 B。试求 A∩B。

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = sin( x +

π
6

) + sin( x ?

π
6

) + cos x + a ( a ∈ R ,为常数) .

? π π? (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期;(Ⅱ)若 f (x) 在 ?? , ? 上的最大值为,求的值. ? 2 2?

19. (本小题满分 13 分)已知函数 f (x) 满足 f ( x) = x 3 + f ' ? ? x 2 ? x + C (其中 f ' ? ? 为 f (x) 在 点x=
2 处的导数,为常数) . 3

?2? ?3?

? 2? ? 3?

(1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)若方程 f ( x) = 0 有且只有两个不等的实数根,求常数.

20.(本小题满分 13 分)某加工厂需要定期购买原材料,已知每公斤材料的价格为 1.5 元, 该厂每天需要消耗原材料 400 公斤,每次购买原材料需支付运费 600 元.每次购买的原材料 在 x 天内总的保管费用为 6x 2 - 6x 元.求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的 总费用 y 最少,并求出这个最少(小)值.

21. (本小题满分 13 分)设 f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,f(x)与 g(x)的图象关于 x-1=0 对称,且当 x∈[2,3]时,g(x)=a(x-2)-2(x-2)3 ,(a 为常数)。 (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在[0, 1]上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 a∈(-6,6),问能否使 f(x)的最大值为 4。

参考答案 一、DBBCB CCABC 12、 ?
1 2

二、11、 { y y ≠ 2 }
1 三、16、 (1) 3

13、 [? 1,0)

14、

3 4

15、

π
6

1 (2) 5

17、解:要使(m2-2m-3)x2―(m―3)x―1<0 对一切 x∈R 都成立, ? m 2 ? 2m ? 3 = 0 ? m 2 ? 2m ? 3 < 0 则? 或? ? 2 2 ? ? = ( m ? 3) + 4( m ? 2m ? 3) < 0 ?m ? 3 = 0 ?
1 解得:m=-3 或 ? < m < 3 。∴A={m| ? 1 < m ≤ 3 } 5 5 由不等式 x2―2mx―1>0 对一切 1≤x≤3 都成立,可得 2xm<x2-1 x 1 x 1 ∴m < ? 对一切 1≤x≤3 都成立,又当 x=1 时, ? 取最小值 0。 2 2x 2 2x

∴m<0。即 B={m|m<0}。∴A∩B={m| ? < m < 0 }。 18、 (1)T= 2π (2) a = ?1
?2? ?3?
2

1 5

19、解: 解 (1)由 f ( x) = x 3 + f ' ? ? x 2 ? x + C ,得 f ' ( x) = 3x 2 + 2 f ' ? ? x ? 1 .
2 ? 2? ? 2? ?2? ? 2? ? 2? 取 x = ,得 f ' ? ? = 3 × ? ? + 2 f ' ? ? × ? ? ? 1 ,解之,得 f ' ? ? = ?1 , 3 ? 3? ? 3? ?3? ? 3? ? 3?

?2? ?3?

∴ f ( x) = x 3 ? x 2 ? x + C . 从而 f ' ( x) = 3x 2 ? 2 x ? 1 = 3? x + ?(x ? 1) ,列表如下:
? 1 3 1 (? , 1) 3
1? ? 3? ? 1 (?∞ , ? ) 3

1 0 有极小值

(1 , + ∞)

f ' ( x) f ( x)

+ ↗

0 有极大值
1 3

- ↘

+ ↗
1 3

∴ f ( x) 的单调递增区间是 (?∞ , ? ) 和 (1 , + ∞) ; f ( x) 的单调递减区间是 (? , 1) . (2)由(1)知, [ f ( x)]极大值
5 ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? = f ?? ? = ?? ? ??? ? ??? ? + C = +C ; 27 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
3 2

[ f ( x)]极小值 = f (1) = 13 ? 12 ? 1 + C = ?1 + C .

∴方程 f ( x) = 0 有且只有两个不等的实数根,等价于 [ f ( x)]极大值 = 0 或 [ f ( x)]极小值 = 0 . ∴常数 C = ?
5 或C =1. 27

20、解:可知每天购买一次原材料的总的费用为 所以购买一次原材料平均每天支付的总费用



.

,即 时,取等号. 当且仅当 ∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用 y 最少,为 714 元. 21、解:(1)∵f(x)与 g(x)图象关于直线 x-1=0 对称 ∴f(x)=g(2-x) ∴当 x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3] ∴f(x)=g(2-x)=-ax+2x3 又∵f(x)是偶函数 ∴x∈[0,1]时,-x∈[-1,0] 3 ∴f(x)=f(-x)=ax-2x
? ? ax + 2 x 3 , x ∈ [ ?1,0] ? ∴f(x)= ? 3 ? ax ? 2 x , x ∈ (0,1] ?

(2)f′(x)=a-6x2 ∵f(x)为[0,1]上的增函数 f′(x)=a-6x2≥0 ∴a≥6x2 在 x∈[0,1]上恒成立。∵x∈[0,1]时 6x2≤6 ∴a≥6 即 a∈ [ 6, +∞ ) (3)∵f(x)为偶函数
6

∴只需考虑 x∈[0,1],由 f′(x)=0,∴ x =

a 6

由 f ( a ) = 4 ∴a=6 此时 x=1∴当 a∈(-6,6)时 f(x)最大值不可能为 4。



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