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第三章 函 数


第三章

函数

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

3.1 函数的概念及其表示

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

使学生理明函数的概念及三种表示方法 教学目标 使学生理明函数的概念及三种表示方法
3.3 幂函数

3.2 函数的基本性质

使学生理明函数的概念及三种表示方法
3.4 指数函数 3.5 对数函数 教学重点 函数的概念、函数的表示方法

教学难点 函数的概念、函数模型的建立
教学方法 师生共同讨论法

3.1 函数的概念及其表示

复习回顾

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 回顾初中接触过的函数相关概念 3.2 函数的基本性质 变量 在某一问题的研究过程中,可以取不同数值的量称为变量. 3.3 幂函数 常量 在某一问题的研究过程中,保持数值不变的量称为常量. 3.4 指数函数 函数与自变量 在某个变化过程中有两个变量,设为x和y,如果在

3.5 对数函数 变量x的允许取值范围内,变量y随着x的变化而变化,它们之间存
在确定的依赖关系,那么变量y称为变量x的函数,x称为自变量. 定义域 函数的自变量允许取值的范围,称为这个函数的定义域. 正比例函数 定义域是一切实数的函数y= (k是不等于零的常数)
x k

称为正比例函数,其中常数 k 称为比例系数.

3.1 函数的概念及其表示

复习回顾

节菜单

k 3.1 函数的概念及其表示 反比例函数 定义域是不等于零的一切实数的函数y= (k是不 x 3.2 k称为比例系数 函数的基本性质 等于零的常数)称为反比例函数,其中常数 .

一次函数 定义域是一切实数的函数y=3.3 kx+b( k是不等于零的常 幂函数 数)称为一次函数. 3.4 指数函数

二次函数 定义域是一切实数的函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数, 3.5 对数函数 a≠0)称为二次函数,其中a,b,c分别是二次项系数、一次项系 数和常数项. ( 本节中,函数、定义域等概念将得到进一步深化 ).

3.1 函数的概念及其表示

实例考察

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 根据初中学过的知识,写出下列两个实例中函数解析式及定义 3.2 函数的基本性质 域面积正方形面积y是边长x的函数,可表示为 y= 它的定义域为 . 3.3 幂函数 3.4 指数函数 .

3.5 对数函数

x

3

5

10

100

… …

y

3.1 函数的概念及其表示

实例考察

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 个人所得税 按照我国税法规定,个人月收入的应纳税所得额 中,超过2000元不超过5000元的部分,需缴纳 的个人所得税.设 3.2 15% 函数的基本性质 某人月收入的应纳税所得额为x元(2000<x≤5 000),其中2000元到 3.3 幂函数 5000元部分个人缴纳的所得税为y元.这里y是x的函数,可表示为 3.4 指数函数 y= . 它的定义域为 . 3.5 对数函数

x

2100

3000

4000

5000

y

3.1 函数的概念及其表示

函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 在某一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某个实数 集合D中的每一个值,按照某个对应关系(或称对应法则) f,y都 3.2 函数的基本性质 有唯一确定的值与它相对应,那么我们就说y是x的函数(function), 3.3 幂函数 记作 3.4 指数函数 y=f(x),x∈D 其中,x称为自变量,x的取值范围(即集合 D)称为函数的定义 3.5 对数函数 域(domain),与x的值相对应的y的值称为函数值,当x取遍D中所 有值时,所得到的函数值y的集合称为函数的值域(range).

3.1 函数的概念及其表示
小 结

函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

1.函数的两大要素

?定义域 3.2 函数的基本性质 ? ?对应关系 3.3 幂函数
3.4 指数函数

2.求函数的定义域的方法

3.5 对数函数

?解析式有意义如分母不为0, 偶次根式不为负 ? ?实际背景允许

3.1 函数的概念及其表示
例题解析
例 求下列函数的定义域: (1)y = 2x2-3x+1

函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

( 2) y =

x?2 x?3

3.5 对数函数

( 3) y =

3x ? x2 ? 2

解 (1)由于x为任何实数,函数y=2x2-3x+1都有意义,所以这个函

数的定义域为(-∞,+∞).

3.1 函数的概念及其表示
例题解析
?x ? 3 ? 0 ? ? x ? 2≥0
确定.解不等式组,得 x≥2,且x≠3

函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 函数的基本性质

解 (2)函数的定义域由不等式组x-3≠03.2

3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

所以这个函数的定义域为[2,3)U(3,+∞).
(3)函数的定义域由不等式 3x-x2-2≥0

确定,解不等式,得
1 ≤x ≤2 所以这个函数的定义域为[1,2].

3.1 函数的概念及其表示
例题解析

函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

补充例题1 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数? 3.2 函数的基本性质 (1)y=( x )2 (2)y = 3 x 3 (3) y= x 2 3.3 幂函数 (1)y=( )2=x(x≥0),这个函数与函数 y=x( x∈R)虽然对应关系

x

相同,但是定义城不同,所以这两个函数不是同一个函数。 3.4 指数函数


3.5 对数函数 (2)y= x 3=x(x∈R),这个函数与函数y= x(x∈R)不仅对应

关系相同,而且定义域也相同,所以这两个函数是同一个函数。

3.1 函数的概念及其表示
例题解析
(3)y=
x
2=|x|=

函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

?x ? ?x

x≥0 x<0

3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数

这个方程与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集 R,但是当x<0 3.4 指数函数 时它的对应关系与 y=x(x∈R)不相同,所以这两个函数不是 3.5 对数函数 同一个函数. 补充例题 2 已知圆的半径为x,面积为y,写出y关于x的函数关系 式,并求出它的定义域。


由圆的面积可知 y=πx2

定义域为(0,+∞)

3.1 函数的概念及其表示
课堂练习1

函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 1.写出反比例函数和一次函数的函数关系一般形式,并确定它 3.2 函数的基本性质 们的定义域和值域。 3.3 幂函数 2.用一段长为40米的篱笆围一块矩形绿地,矩形一边长为x米, 3.4 指数函数 面积为y平方米,请写出y关于x的函数关系式,并求它的定义

域。
3.求下列函数的定义域: (1)y= 3x-1 x ?1 (2)y=
x

3.5 对数函数

k 答案 :1. 反比例函数y= x

(3)y= ( x ?1)(x ? 2)

3.1 函数的概念及其表示
课堂练习1
定义域(-∞,0)∪(0,+∞) 值 域(-∞,0)∪(0,+∞)

函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

一次函数y=kx+b
定义域(-∞,+∞) 值 域(-∞,+∞) 2. y=-x2+20x 定义域(0,20) 3.(1)(-∞,+∞) (2)(-1,0)∪(0,+∞) (3)(-∞,-1)∪(2,+∞)

3.5 对数函数

3.1 函数的概念及其表示

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

3.1 函数的概念及其表示
例题解析

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 例1 已知二次函数f(x)=x2+2x-3,求f(0),f(1) ,f( 1 ) 以及f(a-1)的 2 3.3 幂函数 值. 3.4 指数函数 解 当x=0 时,f(0)=02+2×0-3=-3. 3.5 对数函数 当x=1 时,f(1) =1 +2×1-3=0. 1 1 1 2 1 7 当x= 时, f( )=( ) +2× -3= - . 2 2 2 2 4 2 当x=a-1时,f(a-1)=(a-1) +2×(a-1)-3=a2-4.
2

3.1 函数的概念及其表示
例题解析

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例2 用计算器计算下列函数值(精确到 0.01 ): 3.2 函数的基本性质 2 ? (1)已知函数f(x)= ,求f(2.4)的值. x 3.3 幂函数 (2)已知函数f(x)= x ,求f(1.72)的值.
3 (3)已知函数f(x)=x ,求f(3.21)的值. 3.4 指数函数

解 用计算器算得:

3.5 对数函数

(1)f(2.4) = ≈-0.83 (2)f(1.72)= ≈1.31 (3)f(3.21)=3.21 ≈33.08 小结:①求x对应的函数值,只要把x的值直接代到函数解析 式中去进行计算就可以了。 ②如无特别说明,所有计算都可以用计算器计算。
3

3.1 函数的概念及其表示
例题解析
例3 用描点法作函数y=

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

1 x
2

解 函数y= 2 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 3.3 幂函数 x

1

的图像. 3.2 函数的基本性质

列表:

3.4 指数函数

x



3.5 对数函数 -4 -2 -1 -0.5 … 0.5 1 2

4



y



0.1

0.3

1

4



4

1

0.3

0.1



3.1 函数的概念及其表示
例题解析

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
(点击图例,查看动画演示) 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

图3-2 小结:描点法作图流程:确定定义域→列表→描点→连线。

3.1 函数的概念及其表示
例题解析

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例4 图3—3是气象台自动温度记录仪的描图针描绘的某一天温度 3.2 函数的基本性质 随时间变化的图像.图中,每一时刻t(单位:小时),都对应 3.3 幂函数 着唯一一个温度T(单位:℃).因此,温度T是时间t的函数, 3.4 指数函数 即T=f(t).

3.5 对数函数

图 3— 3

3.1 函数的概念及其表示
例题解析

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 (1)写出函数T=f(t)的定义域和值域. 3.3 幂函数 (2)指出下午18点整时的气温. 3.4 指数函数

3.5 对数函数 (3)指出全天有多长时间气温不低于14℃?

(4)描述全天的气温随时间增高和降低的情况.

3.1 函数的概念及其表示
例题解析


函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

由函数图像可知:

3.3 幂函数10,25]. (1)函数T=f(t)的定义域是[0,24],值域是[ (2)下午18点整时的气温约为20℃.3.4 指数函数 (3)从6点开始一直到20.5点共有14.5个小时气温不低于14℃. 3.5 对数函数 (4)0点到3点以及13点到24点内气温随时间降低,3点到13点内

气温随时间升高.
小结:用解析法、列表法和图像法表示函数各有利弊,可以根据 需要择优而用,也可以将其中几种方法结合使用。

3.1 函数的概念及其表示
课堂练习2
1.已知函数f(x)= f(a-2)(a≠0)的值.
2x ?1 x?2

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 ,求f(-3),f(1),3.2 f(0)+f(2) 以及 函数的基本性质 3.3 幂函数 指数函数

3.4 1 2.用描点法作函数y= 的图像. x 3.5

对数函数

3.作出函数y=x2-1,x∈{0,1,2,3}的图像.

3.1 函数的概念及其表示
课堂练习2

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

4.图3—4是某种品牌的自动电加热饮水机在不放水的情况下,内 3.2 函数的基本性质 胆水温实测图(室温20℃).根据图像回答: (1)水温从20℃升到多少度时,该机停止加热?这段时间多长? 3.3 幂函数 (2)该机在水温降至多少温度时,会自动加热?从最高温度降至该 温度的时间多长? 3.4 指数函数 (3)再次加热至最高温度,用了多长时间? 3.5 对数函数

答案:1. f(-3)=7

1 f(1)= 3

1 f(0)+f(2)= 4

f(a-2)=

2a ? 5 a

3.1 函数的概念及其表示
课堂练习2
2.定义域为(0,+∞) 列表 x … 0.25 0.5

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 1 2 4 3.4 指数函数 1 0.707 0.5 3.5 对数函数



y

2

1.41



3.

3.1 函数的概念及其表示
课堂练习2

函数的表示方法

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 4.(1)水温从20℃升到98℃时,该机停止加热,共 5分钟 3.3 幂函数 (2)水温降至90℃时会自动加热,从最高温度降至90℃共 3.4 指数函数 12分钟 3.5 对数函数 (3)再次加热用3分钟

3.1 函数的概念及其表示

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 数学建模:用数学方法解决问题时,常常需要把问题中的有关 3.2 函数的基本性质 变量及其关系用数学的形式(代数式、方程、表、 3.3 幂函数 图或其他方法)表示出来,这个过程称为建立数学 模型,简称建模。 3.4 指数函数

函数模型:数学模型中的一种,即两个变量之间的函数关系. 3.5 对数函数

3.1 函数的概念及其表示

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 例2 网球赛记分规则如下:每局打四个球,赢第一、二个球,每

个得15分,赢第三、四个球,每个得 10分.双方得分之和满 3.2 函数的基本性质 50
分为一局.以x表示打第几个球,y表示双方累计得分和.试用 3.3 幂函数 列表法表示y与x之间的函数关系y=f(x),并写出函数的定义域和

值域.

3.4 指数函数

解 y与x之间的函数关系y=f(x)如下表: 3.5

对数函数

x
y

1
15

2
30

3
40

4
50

所以,函数y=f(x)的定义域是{1,2,3,4},值域是{15,30, 40, 50}.

3.1 函数的概念及其表示

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 补充例题1 图内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算 3.2 函数的基本性质 1.信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超 3.3 幂函数 过20g付邮资80分,信函质量超过20g ,但不超过 40g付邮资160 分,依此类推。 3.4 指数函数

2.信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即 3.5 对数函数 信函质量超过100g,但不超过200g付邮资(A+200)分(A为
质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过 300g付邮资(A+400)分,依此类推。

3.1 函数的概念及其表示

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 补充例题2 设一封xg(0<x≤200)的信函应付的邮资为 y,试写 3.2 函数的基本性质 出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图像。 3.3 幂函数 解 这个函数的定义域是:0<x≤200,函数解析式为 3.4 指数函数 80 x∈(0,20] 160 240 x∈(20,40] x∈(40,60]

3.5 对数函数

y

320
400 600

x∈(60,80]
x∈(80,100] x∈(100,200]

3.1 函数的概念及其表示

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

如图所示

3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

3.1 函数的概念及其表示

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 例4 新世纪花园要建造一个直径为16米的圆形喷水池,计划在池的 3.2 函数的基本性质 周边靠近水面的位置安装圈喷水头,要求喷出的水柱在离池中 心3米的地方达到最高高度4米,还要在池中心的上方设计一个 3.3 幂函数 装饰物,使各方向喷来的水柱在此处汇合,问这个装饰物的高 3.4 指数函数 度应如何设计? 3.5 对数函数 解 过水池中心任取一截面如图所示,根据力学原理,可以知道喷 出的水珠轨迹为一条抛物线,抛物线上任一个点作池中心的水 平距离与其所处的高度之间是对应的,设水平距离

x与高度y之间的函数关系为y=f(x)内,由已知条件可知
y=-a(x-3)2+4(x≥0)

3.1 函数的概念及其表示
如图所示

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数
由f(8)=0 可以解得a=0.16 因此,所求抛物线在第一象限内对应的函数解析式为

y=-0.16 (x-3)2+4(0≤x≤8)
于是可求得装饰物的高度h=f(0)=2.56(米)

3.1 函数的概念及其表示
例5 已知函数f(x)=|2x-3|.
(1)把f(x)写成分段函数的形式. (2)求f(-2),f(5)的值.

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数

3.4 指数函数 解(1)函数的定义域为(-∞,+∞),函数f(x)写成分段函数的 形式为 3.5 对数函数

? 2x ? 3 ? ? f ( x) ? ? ? ?2 x ? 3 ? ?

3 x≥ 2 3 x< 2

3.1 函数的概念及其表示
课程练习3

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

1.图3—7中哪几个图像与下述三件事吻合得最好?为剩下的那个 3.2 函数的基本性质 图像写出一件事. 3.3 幂函数 (1)我骑车一路以匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽 搁了一点时间; 3.4 指数函数
(点击图例,查看动画演示)

3.5 对数函数

图3-7

3.1 函数的概念及其表示
课程练习3

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

(2)我离开宿舍不久,天下雨了,于是立刻返回宿舍取了雨衣再上路; 3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数 (点击图例,查看动画演示) 3.4 指数函数

3.5 对数函数

图3-7

3.1 函数的概念及其表示
课程练习3

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

(3)我出发以后,心情舒畅,边骑车,边欣赏四周景色,后来为 3.2 函数的基本性质 了赶路便开始加速. 3.3 幂函数 (点击图例,查看动画演示) 3.4 指数函数

3.5 对数函数

图3-7

3.1 函数的概念及其表示
课程练习3

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 2.已知一半径为r厘米的圆,若该圆的半径增加 x厘米,则面积增

加y平方厘米,试写出y关于x的函数关系式. 3.3 幂函数
3.4 指数函数 3.设

3.5 对数函数

(1)试确定函数f(x)的定义域.

(2)求f(-2),f(0),f(1.5),f(3)的值.

3.1 函数的概念及其表示
课程练习3

函数关系的建立

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

函数的基本性质 答案 :1. (1) 与b (2) 与d (3)与3.2 a

c图像表示刚开始出发骑得 较快,越来越慢 3.3 幂函数 .
2. y=π(r+x)2-πr2=2πrx+πx2 3. (1)定义域(-∞,+∞) (x≥0) 3.4 指数函数

3.5 对数函数 (2)f(-2)=-1 f(1)=1 f(1.5)=1 f(3)=2

3.1 函数的概念及其表示
函数的概念

本节小结

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 函数的三种表示方法 本节主要介绍了 函数的定义域求法 3.4 指数函数 函数模型的建立方法 3.3 幂函数

3.5 对数函数

3.1 函数的概念及其表示

课后作业

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 1. 习题册3.1 2. 预习3.2函数的基本性质 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

3.1 函数的概念及其表示

探究与实践

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 (一)在上海,大部分居民的排水费已采用阶梯式计算.这种利用 3.2 函数的基本性质 价格杠杆促进节约用水的办法是一项行之有效的措施.请你完成以 下工作: 1.调查上海市的排水价格标准. 3.3 幂函数

3.4 指数函数 2.写出一年内的排水量x立方米与费用y元之间关系的解析式,并画 3.5 对数函数 出函数曲线图.

3.1 函数的概念及其表示
探究与实践
(二)上海出租车计价问题

探究与实践

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数 1. 了解上海出租车是怎样计算应收费用的 2. 假如忽略因交通而等待的时间,建立车费与行车里程的函数解 3.4 指数函数

析式 3.5 对数函数 3. 如果目的地较远,那么乘客应如何保护自己的利益?
4. 注意到上海出租车的计费系统是以元为单位计价的,将上述函

数解析式进行修正
5. 在这个实际习题中是否有进一步的问题需要考虑?

3.1 函数的概念及其表示
习题 3.1.1 A组

习题答案

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 函数的基本性质 幂函数 指数函数

3.2 1. D 2.D 3.{-1,0,1,2},{-2,-1,0,1} 3.3 4.2,1,0,-2a+1,2a+3 3.4 5.(1)y=120x{ x| x≥0} 3.5 (2)y=- x2+25 x{ x|0<x<25} 6.(1)(-∞,+∞) (2){x|x≠ (3) [2,+∞) (5) [-2,4]
4 }3

对数函数

(4)[1,2)∪(2,+∞) (6)(-∞,-1)∪(3,+∞)

3.1 函数的概念及其表示
习题3.1.1 B组
1.A 2.D

习题答案

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.(1){x|x≠±3}
(2)(-3,3)

3.5 对数函数 (3){-1,1} (4)[-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4]
(5)[- 5,- 3 ] ∪ [- 3 , 5 ] (6)(-∞,-6)∪ (-6,-2)∪[2,4)∪(4,+∞)

3.1 函数的概念及其表示
习题3.1.2 A组 2
1.y=-

习题答案

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数

x

2.31,29,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31

3.<>>>>>

4.f(0)=1 f(2)=-1 f(a)=a2-3a+1 f( -a)指数函数 =a2+3a+1 3.4 f(a+1)= a2-a-1

3.5 对数函数

5.(1)103.81 (2)10.52 (3)1.57
6.{2,5,8,14,20} 7.(1)定义域、值域均为(-∞,+∞)

(2)定义域,值域均为(-∞,0)∪(0,+∞)

3.1 函数的概念及其表示
习题3.1.2 B组
1.0,-2,14

习题答案

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数

2. 2

3.4 指数函数 3.(1)定义域(-∞,+∞)值域[0,+∞) 3.5 对数函数 (2)定义域(-∞,+∞)值域[0,+∞)

3.1 函数的概念及其表示
习题3.1.3 A组
1.4,0,1,1

习题答案

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数

2.-2,1,4

3.4 指数函数 3.y=500x+300 x∈{1,2,3,4,5,6} 3.5 对数函数 y∈{800,1 300, 1 800,2 300,2 800,3 300} 4.y=x 1 600 ? x 2 (0<x<40)

3.1 函数的概念及其表示
习题3.1.3 B组
1.

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

2.S=πr2 r∈[4,7] S∈[16π,49π]

3.1 函数的概念及其表示
习题3.1.3 B组

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.

3.5 对数函数

3.1 函数的概念及其表示

专题阅读

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3.1 函数的概念及其表示
Excel是Microsoft Office大家族中的一员,是集文字、数据、 3.2 函数的基本性质 图形、图表以及其他媒体对象于一体的流行软件,它操作简便, 3.3 幂函数 是我们开展数学探究活动的一个得力助手。 3.4 指数函数 下面我们介绍在Excel工作表中绘制函数 f(x)=(x -1) +1 图象的方法,不妨作x∈ [-2, 2]上的图象。 3.5 对数函数

3.1 函数的概念及其表示

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3.1 函数的概念及其表示 (1)工作表的第一列输入自变量的值:在单元格A1,A2内分 3.2 函数的基本性质 别输入-2,-1.9,选中这两个单元格后,按住鼠标左键并向下方拖 3.3 幂函数 曳“填充柄”,如图2—1—8,直到单元格内出现填充值 2时为止; 3.4 指数函数

3.5 对数函数

(点击图例,查看动画演示)

图2—1—8

3.1 函数的概念及其表示

专题阅读

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3.1 函数的概念及其表示 (2)第二列产生对应的函数值:如图2—1—9,在B1内输 3.2 函数的基本性质 入“=(A1-1)^2+1”,敲回车键或在编辑栏内选中“√”; 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

(点击图例,查看动画演示)

图2—1—9

3.1 函数的概念及其表示

专题阅读

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3.1 函数的概念及其表示 (3)拖曳B1格的填充柄至所需的单元格,得到与第一列相对应 3.2 函数的基本性质 的函数值; 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

(点击图例,查看动画演示)

图2—1—10

3.1 函数的概念及其表示

专题阅读

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3.1 函数的概念及其表示 (4)光标置于数据区的任一位置,插入“图表”,选择 3.2 函数的基本性质 “XY散点图/无数据点平滑线散点图”,点击“完成”, 便得函数f(x)=(x-1)2+1在区间[-2,2]上的图象,如图2—1— 3.3 幂函数 10。 3.4 指数函数

3.5 对数函数

(点击图例,查看动画演示)

图2—1—11

3.1 函数的概念及其表示

专题阅读

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3.1 函数的概念及其表示 用Excel作图的本质是描点画图,自变量的值用“等差趋势填充” 3.2 函数的基本性质 生成,对应的函数值利用Excel的相对引用功能“拖曳”产生,至于 3.3 幂函数 取点的多寡,可根据需要灵活调整(只要改变A1和A2格两个数的 3.4 指数函数 间隔——步长)。在实际操作时,宜适度取点,这样既省时、省力, 又能使绘出的图象更清晰、美观。

3.5 对数函数 你能用上面的方法绘制函数f(x)=x3的图象吗?

3.2 函数的基本性质

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3.1 函数的概念及其表示 ?理解奇偶性的意义, 会判断简单函数的奇偶性 ? 3.2 函数的基本性质 教学目标 ?理解函数单调性的概念, 会判断简单函数的单调区间 ?会求同区间上简单函数的最大值与最小值 3.3 幂函数 ? 3.4 指数函数 ?奇函数偶函数的概念 ? 3.5 对数函数 ?函数单调性的概念

教学重点

教学难点

?函数奇偶性的判定 ? ?函数单调性的判定

教学方法

讲授法

3.2 函数的基本性质

复习回顾

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 函数的三种表示方法 (单击后显示答案) 3.3 幂函数 3.4 指数函数

解析法、列表法、图像法

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质

实例考察

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3.1 函数的概念及其表示
3.22 请你通过计算,得到 函数的基本性质 已知二次函数f(x)=x2,反比例函数 f(x)=
x

f(-x)与f(x)的关系,并通过观察它们的图像,指出函数的图像 3.3 幂函数 特征. 二次函数f(x)=x2 定义域D为_________. -∞,+∞ f(-1)= 1 , f(1)= 1, 3.4 指数函数 3.5 对数函数

得到f(-1)= 1 ;
f(-2)= 4 , f(2)= 4 , 得到f(-2)= f(2) ; 函数的图像特征: . 关于y轴对称

图3—8
(点击图例,查看动画演示)

3.2 函数的基本性质

实例考察

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3.1 函数的概念及其表示 反比例函数 f(x)=
2 x

3.2 函数的基本性质 图3—9定义域D为 .,+∞) (-∞, 0)∪(0

f(-1)= 1,f(1)= 2
得到f(-1)= -2 ;



3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

f(-2)= -f(1) ,f(2)= 1 , 得到f(-2)= -1-f(2; )

关于原点O中心对称 函数的图像特征: .

图 3— 9

3.2 函数的基本性质

函数的奇偶性

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 D 函数的基本性质 偶函数:一般地,设函数y=f(x)的定义域为 ,如果对于任意的
2为 x∈D,却有f(-x)=f(x),则称y=f( x )为偶函数,如 y = x 3.3 幂函数

偶函数。 3.4 指数函数 奇函数:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于任意的 3.5 对数函数 x∈D,都有 f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数,如y=

2 x

非奇非偶函数:如果一个函数既非奇函数,又非偶函数,则 称 为非奇非偶函数.

3.2 函数的基本性质

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

思考:1.奇函数,偶函数的定义域有什么特征? 3.2 函数的基本性质 (关于原点对称) 3.3 幂函数 2.偶函数的图像一定是轴对称图形,反之成立吗? 3.4 指数函数 3.5 对数函数 3.奇函数的图像关于原点成中心对称,反之成立吗?

3.2 函数的基本性质
例题解析
(1)f(x)= ?
2 x

函数的奇偶性

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3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 例1 利用定义,判断下列函数的奇偶性:

3.3 幂函数
3.4 指数函数

(2)f(x)=x3-2x (3)f(x)=x-2 (4)f(x)=x2-2x,x∈[-2,3]

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质
例题解析
(1)函数f(x)= ? 解
2 x

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 的定义域为 3.2 函数的基本性质

D=(-∞,0)∪(0,+∞)

3.3 幂函数
3.4 指数函数

由于对于任意的x∈D,都有 2 2 f(-x)= ? = =f(x) x x 2 所以函数f(x)= ? 是偶函数.
x

3.5 对数函数

(2)函数f(x)=x3-2x的定义域D=(-∞,+∞). 由于对于任意的x∈D,都有 f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x) 所以函数f(x)=x3-2x是奇函数.

3.2 函数的基本性质
例题解析
有f(-1)=-1-2=-3,f(1)=1-2=-1

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

解 (3)函数f(x)=x-2的定义域D =(-∞,+∞)3.2 .取x函数的基本性质 =1,

3.3 幂函数

3.4 指数函数 同样,由于f(-1)≠-f(1),因此函数f(x)也不是奇 函数. 3.5 对数函数 所以函数f(x)=x-2是非奇非偶函数. (4) 函数f(x)=x2-2x,x∈[-2,3]的定义域为 D=[-2,3] 由于定义域D不关于原点对称,所以函数f(x)=x2-2x,x∈[-2,3] 是非奇非偶函数.

因此函数f(x)不是偶函数.

3.2 函数的基本性质
例题解析
函数y=f(x)的图像画完整.

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例2 如图3—10,已知奇函数y=f(x)在y 轴右边部分的图像,试把 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

3.5 对数函数 图3—10
解 因为函数y=f(x)是奇函数,所以它的图像关于原点

对称,利用对称性作出函数的另一半图像.具体作 法如下:

3.2 函数的基本性质
例题解析

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

第一步,如图3—11a所示,在y轴右边的图像上适当取几个点 3.2 函数的基本性质 O, A,B,C(一般取能够反映主要特征的点); 3.3 幂函数 第二步,画出这些点关于原点的对称点O, A′,B′,C′,用一条光滑 3.4 指数函数 曲线顺次连结这些对称点,就得到了y=f(x)的完整图像,如图3— 11b所示.

3.5 对数函数

图3—11

3.2 函数的基本性质
补充例题1
判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=|x-1|+|x+1|

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

(2)f(x)=(x-1)

1? x 1? x

解 (1)因原函数定义域为R

3.5 对数函数

f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x) 所以f(x)是偶函数 1? x (2)因 ≥0得 x∈(-1,1)函数定义域不关于原点对称 1? x 所以f(x)是非奇非偶函数。

3.2 函数的基本性质
课堂练习1
(1)f(x)=3x2-7

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

1.利用定义,判断下列函数的奇偶性:3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数 -2x

(2)f(x)=

1 x3

3.5 对数函数

(3)f(x)=-2x+3

2 (4)f(x)= x?3

3.2 函数的基本性质
课堂练习1

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

2.如图3—12,已知偶函数y=f(x)在y轴左边部分的图像,试把函数 3.2 函数的基本性质 y=f(x)的图像画完整,并比较f(1)与f(3)的大小. 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

图3—12

3.2 函数的基本性质
课堂练习1

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.如图3—13,已知奇函数y=f(x)在y轴右边部分的图像,试把函数 3.2 函数的基本性质 y=f(x)的图像画完整,并求f(-4)的值. 3.3 幂函数 3.4 指数函数

3.5 对数函数

图3—13

3.2 函数的基本性质
课堂练习1
答案
1.(1)偶函数

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 (2)奇函数

(3) (4)非奇非偶函数 3.3 幂函数
2. f (1)<f (3) 3. f (-4)=-2 3.4 指数函数

3.5 对数函数

第二题图

3.2 函数的基本性质
课堂练习1

函数的奇偶性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

3.5 对数函数

第二题图

3.2 函数的基本性质
增函数、减函数

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 一般地,设函数y=f(x)的定义域上某个区间为I:

3.3 幂函数 如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2) 3.4 指数函数

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数,简称增函数 3.2 函数的基本性质 (increasing function),其图像沿x轴的正方向上升,如图 3-15a 所示.

3.3 幂函数

如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有 3.4 指数函数 f(x1)>f(x2) 3.5 对数函数 我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数,简称减函 (decreasing function),其图像沿x轴的正方向下降,如图3-15b 所示.

3.2 函数的基本性质

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
(点击图例,查看动画演示) 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

3.5 对数函数

图3-15

3.2 函数的基本性质

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,则称区间 函数的基本性质 I为函数y=f(x)的单调区间,如函数y3.2 =x2-2在( -∞,0)上是减 函数,区间(-∞,0)为函数的单调减区间,在( 0,+∞)上是 3.3 幂函数 增函数,区间(-∞,0)为函数的单调增区间。 3.4 指数函数 思考:y=kx+b(k≠0)的单调区间是什么? 3.5 对数函数 (-∞,+∞)

3.2 函数的基本性质
例题解析

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例1 图3—16所示为函数y=f(x),x∈[-10,10]的图像,试根据图 3.2 函数的基本性质 像指出这个函数的单调区间,并说明在每个单调区间上,它是 3.3 幂函数 增函数还是减函数.
3.4 指数函数

3.5 对数函数

图3—16


函数y=f(x)的单调区间有[-10,-4],[-4,-1],[-1,2], [2,8], [8,10]. 函数y=f(x)在区间[-10,-4],[-1,2],[8,10]上是减函数,在区 间[-4,-1],[2,8]上是增函数.

3.2 函数的基本性质
例题解析
(1)f (x)=3x-6

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例2 试用函数单调性的定义讨论下列函数的单调性: 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数

(2)f (x)=-2x2+1,x∈[0,+∞)

3.4 指数函数 解(1)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则 3.5 对数函数 f (x1)=3x1-6 f (x2)=3x2-6 f (x1)-f (x2)=(3x1-6)-(3x2-6) =3(x1-x2)

因为x1-x2<0,所以3(x1-x2)<0.于是 f (x1)-f (x2)<0

3.2 函数的基本性质
例题解析


函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

整理得 f (x1)<f (x2)

3.3 幂函数

3.4 指数函数 因此,函数f (x)=3x-6在(-∞,+∞)上是增函数. 3.5 对数函数 (2)任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则 f (x1)=-2+1

f (x2)=-2 +1
f (x1)-f(x2)=(-2 +1)-(-2 +1) =2(x2+x1)(x2-x1)

3.2 函数的基本性质
例题解析


函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

因为 x2+x1>0,x2-x1>0 所以 f (x1)-f (x2)>0

3.3 幂函数
3.4 指数函数

3.5 对数函数

整理得
f (x1)>f (x2) 因此,函数f (x)=-2x2+1在[0,+∞)上是减函数.

3.2 函数的基本性质
例题解析

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

小结:根据定义讨论函数的单调性的步骤 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数 第一步,书写“任取x1,x2∈I,且x1<x2”; 3.4 指数函数
第二步,写出f(x1),f(x2);

3.5 对数函数

第三步,化简f(x1)-f(x2),并判断它的符号

第四步,写出结论

3.2 函数的基本性质
课堂练习2

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

1.画出下列函数的简图,指出函数的单调区间,并说明在每个单 3.2 函数的基本性质 调区间上,函数是增函数还是减函数. 3.3 幂函数 1 (1)f (x)= ? x+6 3 3.4 指数函数 2 (2)f (x)=x -2x+2 3.5 对数函数 2.试用函数单调性的定义讨论下列函数的单调性.

(1)f (x)= ? ,x∈(-∞,0)
x

5

(2)f (x)=2x2+1,x∈[0,+∞)

3.2 函数的基本性质
课堂练习2
答案

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质

1.(1)(-∞,-∞)单调递减

3.3 幂函数 (2)(-∞,1)单调递减,(1,+∞)单调递增 3.4 指数函数 2.(1)任取x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2,则 ?5 3.5 5 对数函数 f(x1)=- 、f(x2)=- x1 x 5 2 f(x1)-f(x2)=-5/x1+ x2 = 5( x1 ? x2 )
x1 x2

3.2 函数的基本性质
课堂练习2
答案

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 x1-x2<0

因为x1· x2>0 所以

3.3 幂函数
3.4 指数函数

f(x1)-f(x2)<0

整理得 f(x1)<f(x2) 5 3.5 对数函数 因此函数y= - 在(-∞,0)上是增函数 x2

3.2 函数的基本性质
课堂练习2
f(x1)=2x21+1

函数的单调性

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

(2)任取x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2,则 3.2 函数的基本性质 f(x2)=2x22+1 3.3 幂函数 3.4 指数函数

f(x1)-f(x2)=2x21-2x22
=2(x1+x2)(x1-x2) 因为 x1+x2>0 x1+x2<0 所以f(x1)-f(x2)<0 整理得 f(x1)<f(x2)

3.5 对数函数

因此函数f(x)=2x2+1在(0,+∞)上是增函数.

3.2 函数的基本性质

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

最大值 一般地,设函数y= f(x)的定义域为D 3.2 函数的基本性质 如果对于任意x∈D都有f(x)≤f(x0),则称f(x0) 为函 3.3 幂函数 数y= f(x)的最大值即作ymax= f(x0)
3.4 指数函数 最小值 如果对于任意的x∈D都有f(x) ≥f(x 0)则称f(x0) 为 函数y=f(x)的最小值 记作 ymin = f(x2) 如 函数y=x2-2有 ymin =f(0)=-2

3.5 对数函数

函数y=-x2-1有ymax =f(0)=1

3.2 函数的基本性质
例题解析
(1)y=-2x+1,x∈[-1,4]

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例1 不作图,求下列函数的最大值或最小值: 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

(2)y=x2-2x
(3)y=-x2-4x+1

解 (1)因为一次函数y=-2x+1在(-∞,+∞)上是减函数, 故

3.5 对数函数

函数在[-1,4]上也是减函数. 所以当x=-1时,有ymax=-2×(-1)+1=3 当x=4时,有ymin=-2×4+1=-7

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质
例题解析

函数的最大值与最小值

节菜单

(2)因为y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以当x=1时,ymin=-1. (3)因为y=-x2-4x+1=-(x+2)2+5≤5,所以当x=-2时, ymax=5.

1 解 补充例题例 1 求函数y=8+2x-x2在区间[-1, ]上的最大值和 2 最小值。 因为y=8+2x-x2=-(x-1)2+9所以当x≤1时函数f(x) 1 =8+2x-x2为增函数。因此区间[-1,2 ]是函数f(x)=8+2x-x2 的一个单调区间。
所以当x=

1 。函数取得最大值8.75当x=-1时函数取得最小值5。 2

小结:对于闭区间上的单调函数,必在区间端点处取得函数的

最小值或最大值。

3.2 函数的基本性质
例题解析

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例3 某商场将一批进价为70元的商品按每件 100元销售时,一个 3.2 函数的基本性质 月能卖出400件.商场为获得最大的利润,准备调整该商品的 3.3 幂函数 1元,销售量 销售价,经试销发现:销售价每提高(或下降) 就减少(或增加)20件.问如何调整价格,才能获得最大的利 3.4 指数函数 润?最大月利润是多少?
解 设该商品的销售价定为每件(100+x)元,即销售价提高(或下 3.5 对数函数

降)x元,则商场每月的销售量就减少(或增加)了20x件,此 时,销售量为(400-20x)件.设该商场的月销售利润为y元. 则 y =(100+x-70)(400-20x)

=-20(x2+10x-600)
=-20(x+5)2+12 500 所以当x=-5时,y有最大值,ymax=12 500,此时该商品的销售价为 95元.

3.2 函数的基本性质
例题解析

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

因此,商场应把商品的销售价定为每件 95元,才能获得最大的利 3.2 函数的基本性质 润,最大月利润是12 500元. 3.3 幂函数 小结:求解最大值或最小值应用题的步骤: 3.4 指数函数 第一步:设两个变量(未知数) 第二步:由条件例出函数解析式 第三步:求出最大值或最小值 第四步:根据实际问题的意义作正确答案

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质
例题解析

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

补充例题2. 有一铁皮零件,它的形状是由边长为 40cm的长方形 3.2 函数的基本性质 CDEF截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE,其中AF长等 3.3 幂函数 于12 cm,BF长等于10 cm,现在需要截取矩形铁皮,使得矩形 3.4 指数函数 相邻两边在CD、DE上。请问如何截取,可以使得到的矩形面积 最大?

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质
例题解析

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

的平行线,得矩形 解 在AB上取一点P,过P作CD、DE 3.2 函数的基本性质 PNDM,延长NP、MP分别与EF、CF交于点Q、S 3.3 幂函数 设PQ=x cm(0≤x≤10)则PN=40-x 3.4 指数函数 由△APQ∽△ABF得 3.5 对数函数 AQ=1.2x

PM=EQ=EA+AQ=28+1.2x
如果矩形PNDM的面积用y cm2表示. y=PN· PM=(40-x)(28+1.2x)(0≤x≤10)

3.2 函数的基本性质
例题解析


函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3610 ? 25 ? 3610 x ? y=-1.2 ? ? + 3 ≤ 3 3.3 幂函数 3 ? ? 3610 当x取[0,10]内任何实数时,面积y的值不大于 cm2. 3 3.4 指数函数 3610 25 25 ? [0,10],所以当x= 又因为 时,ymax= 3 cm2. 3 3 3.5 对数函数 25 于是,如图所示取EM= 3 cm,过M作ED垂线交AB于P,再过点P
作边CD的垂线交CD于点N,这样截得的矩形MPND的面积 最大.

2

3.2 函数的基本性质

3.2 函数的基本性质
课堂练习3
(1)y=2x-3,x∈[-1,4]

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

1.求下列函数的最大值或最小值:3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

(2)y=x2+4x

3.5 对数函数
(3)y=-2x2+1 图3—17 2.如图3—17所示,用6米长的条形木料做一个日字形的窗框, 若不考虑条形木料的面积,问窗框的高与宽各为多少时, 窗口的透光面积最大?最大面积是多少?

3.2 函数的基本性质
课堂练习3
函数 一次函数 y=kx+b(k≠0) 反比例函数 y= (k≠0) 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠ 0) 图像 k>0 k<0 k>0 k<0 a>0 a<0

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.根据学过的知识完成下表: 3.2 函数的基本性质
定义域

3.3 幂函数
3.4 指数函数

值域

单调性

3.5 对数函数
? 4ac ? b 2 ? , ?? ? ? 4a ? ?
? 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? 4a ? ?

答案

1. (1)fmin( 1)=-5 (2)y=(x+2) 2 4 (3) fmax= 1

fmax(4)= 5 fmin= 4

3.2 函数的基本性质
课堂练习3
答案

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

2.设窗框的宽为x米透光面积为y平方米 3.3 幂函数 6 ? 3x ?x y= 2 3.4 指数函数 =3 2

x +3 x

2

3.5 对数函数

x=1时,ymax=
3 2

3 2

此时高为



3.2 函数的基本性质
课堂练习3

函数的最大值与最小值

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

答案 3.根据学过的知识完成下表:
函数 y=kx+b (k≠0)
k y= x (k≠0)

图像 k> 0

定义域 R

3.3 幂函数
值域

单调性 增函数

3.4 指数函数 R

k< 0
k> 0 K<0 a>0 a<0

R
{x| x≠0} {x| x≠0} R R

3.5 对数函数
{ y| y≠0} {y| y≠0}

R

减函数
减函数 增函数 无 无

y=ax2+kx+c (a≠0)

3.2 函数的基本性质
本节主要学习了

本节小结

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3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 1.函数奇偶性的定义及判断函数奇偶性的方法,特别要注意判断 函数奇偶性时,一定要看其定义域是否关于原点对称 . 3.3 幂函数 2.函数的单调性,单调性是对某个区间而言的,同时理解定义的 3.4 指数函数 基础上,掌握函数单调性判断的方法步骤. 3.5 对数函数 3.函数最大值和最小值的概念及简单应用.

3.2 函数的基本性质
1.习题册3.2
2.预习3.3幂函数

课后作业

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质
习题3.2.1 A组 1.(1)偶函数 (2)非奇非偶函数

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数 (3)奇函数

3.4 指数函数(4)偶函数 2.略 3.(1)奇函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数

(5)偶函数 (6)非奇非偶函数
B组 1.(1)a=1 b=0 c=1 (2)a=0 b=1 c=0 2. 0

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质
3.因为f(x)、g(x)为奇函数所以 f(-x)=-f(x) g(-x)=-g(x) 因为 φ(-x)=f(-x)· g(-x)

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

=-f(x)· [-g(x)]
=f(x)· g(x) =φ(x)

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质
所以φ(x)为偶函数. 习题3.2.2 A组 1. > > < <

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数

3.4 指数函数 2.(1)[-∞,1]增函数 [1,+∞]减函数

(2)[-3,-1.5]U[1.5,3]减函数 [-1.53.5 ,1.5] 增函数 对数函数
3.f(-2) >f(-1) 4.略

3.2 函数的基本性质

习题答案

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 5.(1)任取x,x2∈(-∞,0)且x1<x,则 3.2 函数的基本性质 3 f(x1)= x1 3.3 幂函数 3 f(x2)= ? 2 3.4 指数函数 3( x ? x ) 3 3 f(x1)-f(x2)= - = 2 1
x1
x2

x1 x2

因为x1x2>0 x2-x1>0

3.5 对数函数

所以f(x1)-f(x2) >0
f(x1) >f(x2)

3 所以f(x)= 在(-∞,0)上是减函数 x

3.2 函数的基本性质
(2)任取x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2,则 f(x1)=x12+1 f(x2)=x22+1 f(x1)-f(x2)=x12+1-(x22+1)

习题答案

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

=(x1+x2)(x1-x2)
因为x1+x2>0 x1-x2<0 所以f(x1)-f(x2) <0 f(x1) <f(x2) 所以f(x)=x2+1在[0,+∞)上是增函数

3.5 对数函数

3.2 函数的基本性质

习题答案

节菜单

B组 1.C 2.D 3.f(-3) <f(-2) <f(1) 3.1 函数的概念及其表示 习题3.2.3 3.2 函数的基本性质

A组 1.(-∞,0]增函数 [0,+∞]减函数 3.3 幂函数

ymax = 1

ymin不存在

3.4 指数函数

2.-8,-3,0,1,0,-3,-8

3.5 对数函数

最高点(1,1),即最大值
最低点(-2,-8),(4,-8),即最小值 3.(1)a =2 (2)a =±1

4.y=6(-x2+18x+63) x∈[1,10]
第9档次的产品获得利润最大

3.2 函数的基本性质
B组 1.(1)y=x2+2x-1 (2)y=-x2+2x-1 (3)y=x2+1 x∈[-1,1]

习题答案

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

(4)y=x+1
2.(1)ymax=21 ymin=-3 (2)ymax=5 ymin=-4 (3)ymax=21 ymin=-3

3.5 对数函数

3.3 幂函数
理解幂函数的概念 教学目标

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

了解简单幂函数的图像及性质

3.3 幂函数 3.4 指数函数

教学重点 幂函数的概念

3.5 对数函数

教学难点 简单幂函数的图像及性质
教学方法 学导式

3.3 幂函数

复习回顾

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

?理解幂函数的概念 正整数指数幂 ? 3.2 函数的基本性质 ?了解简单幂函数的图像及性质 3.3 幂函数 零指数幂 a0=1(a≠0) 3.4 指数函数 1 -n 负整数指数幂 a = n (a≠0) 3.5 对数函数 a
分数指数幂

a ? n a m (a>0,m,n∈N*,n>1)
a
? m n

m n

?

1
n

a

m

(a>0,m,n∈N*,n>1)

3.3 幂函数

复习回顾

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 有理数指数幂的运算法则 设a>0,b>0,p,q∈Q,则 法则1 ap· aq=ap+q 法则2 (aq)p=aqp 法则3 (ab)p=ap· bp 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数 ap÷aq=ap-q 3.4 指数函数
ap ?a? ? ? ?3.5 bp ?b?
p

对数函数

幂函数
定义:一般地,我们把形如y=xk(k为常数,k∈Q),的函数称为 幂函数.

如:y=x.

y=x2.

性质:与k的取值有关.

1 y= 等. x

3.3 幂函数
例题解析
1 2
1 2

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例1 画出函数 y ? x 的图像,结合图像讨论函数的性质. 3.2 函数的基本性质


函数 y

? x ? x , x ?[0,??3.3 )
1 2
0.7

幂函数

列表: x 0 1

3.4 指数函数

2 3.5 对数函数 3 4



y

0

1

1. 4

1.7

2



3.3 幂函数
例题解析

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
(点击图例,查看动画演示) 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数 图3-18

从图上可以看到,函数 y ? x
限向右上方无限延伸. (1)定义域:[0,+∞);

1 2 的图像从原点开始,在第一象 3.5 对数函数

(2)值域:[0,+∞).且当x=0时,ymin=0;
(3)函数 既不是奇函数,也不是偶函数; (4)函数 在定义域[0,+∞)上是增函数.

3.3 幂函数
例题解析

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

3.5 对数函数

图3-19 从图上可以看到,函数y=x-2的图像关于y轴对称,在第二象限, 图像向上无限延伸,越来越靠近y轴,但与y轴永不相交;在第一 象限,图像向右无限延伸,越来越靠近x轴,但与x轴永不相交.

3.3 幂函数
例题解析
(2)值域:(0,+∞); (3)函数y=x-2是偶函数;

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 (1)定义域:(-∞,0)∪(0,+∞);

3.3 幂函数
3.4 指数函数

(4)函数y=x-2在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数. 思考:

3.5 对数函数

1.结合y=x与y=x2及y= 图像总结y=xk(k>0)在第一象限内性质. 2.结合y=x-1及y=x-2图像总结y=xk(k<0)在第一象限内性质.

3.3 幂函数
例题解析
(2)值域: (0,+∞);
(3)函数y=x-2是偶函数;

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 (1)定义域:(-∞,0)∪(0,+∞);

3.3 幂函数
3.4 指数函数

(4)函数y=x-2在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.

3.5 对数函数

3.3 幂函数
思 考:

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 . 1.结合y=x与y=x2及y= 图像总结y=xk(k> 0)在第一象限内性质

2.结合y=x-1及y=x-2图像总结y=xk(k<0)在第一象限内性质.

?①过点(0, 0)(1, 1) 3.3 ? 幂函数 ?②在第一象限内单调递增? ? ? 3.4 指数函数

3.5 对数函数

?①过点(1, 1) ? ?②在第一象限内单调递减? ? ?

3.3 幂函数
课堂练习
1.计算下列各有理指数幂的值:
3 4 2 5 1 3

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

81

32

(0.001) ? 30

3.4 指数函数 2.用计算器计算下列各式的近似值:(精确到0.001)
4

?3.3 2 ? 3幂函数 ?( 2) ? ? ?

6

12

3 8

1 7
5

16

1.4

3.5 对数函数

3.画出函数y=x3的图像,结合图像讨论函数的性质.

3.3 幂函数
课堂练习

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3.1 函数的概念及其表示

1 函数的基本性质 4.试根据幂函数y=x,y=x2,y=x 2,y=x-1,y=3.2 x-2的图像填空:

(1)当指数k>0时,幂函数y=xk的图像特征是: 3.3 幂函数
①过点(0,0)和点 ; 3.4 指数函数 . ②在第一象限内,图像向右上方

3.5 对数函数 (2)当指数k<0时,幂函数y=xk的图像特征是:
①过点 ; ,越来越靠近 轴,但

②在第一象限内,图像向上

与这根坐标轴永不相交;图像向右
轴,但与这根坐标轴永不相交.

,越来越靠近

3.3 幂函数
课堂练习
答案: 1.27,4,1.1,4 2.6.447,0.296,48.503 3.

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

定义域(-∞,+∞) 值域(-∞,+∞) 函数为奇函数 函数y=x3在(-∞,+∞)上是增函数. 4.(1)(1,1)无限延伸 (2)(1,1)无限延伸,y,无限延伸,x

3.3 幂函数

本节小结

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3.1 函数的概念及其表示 本节主要介绍了 幂函数的概念. 简单幂函数的图像及性质. 3.4 指数函数 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数

3.5 对数函数

3.3 幂函数

课后作业

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3.1 函数的概念及其表示 1.习题册3.3 2.预习下节3.4指数函数. 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

3.5 对数函数

3.3 幂函数
习题3.3.1
A组
9 1.1,0.001, 25 22 2.8.140×10 ,1888,-2.005,1.275

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数

3.

4. B 5.m =2 6. y = x
? 1 2

x

5 7

, (a ? b) , ( p 6 g ) , x

2 3

1 4 2

?

2 3

3.5 对数函数

7.(1)(-∞,0) ∪(0,+∞) (2)(-∞,1)∪(1,+∞) (3)(-∞,2) ∪(2,+∞) (4)(-∞,+∞)

3.3 幂函数
8.

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.3 幂函数
3.4 指数函数 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)

3.5 对数函数

值域为(-∞,0) ∪(0,+∞)
y= 1为奇函数. y= 在(-∞,0)为单调递减函数

在(0,+∞)为单调递减函数

x1 x

3.4 指数函数

节菜单

?理解指数函数的概念 ? 3.2 函数的基本性质 教学目标 ?掌握指数函数的图像性质 ?培养沉重实际应用函数的能力 ? 3.3 幂函数
3.4 指数函数

3.1 函数的概念及其表示

教学重点

指数函数的图像及性质

3.5 对数函数

?指数函数的图像性质与底数a的关系 教学难点 ? ?指数函数的实际应用

教学方法

学导式

3.4 指数函数
正整数指数幂 零指数幂 a0=1(a≠0) 1 -n 负整数指数幂 a = n (a≠0) a 分数指数幂

复习回顾

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

a ? n a m (a>0,m,n∈N*,n>1)
a
? m n

m n

?

1
n

a

m

(a>0,m,n∈N*,n>1)

3.4 指数函数
有理数指数幂的运算法则
设a>0,b>0,p,q∈Q,则 法则1 ap· aq=ap+q

复习回顾

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 ap÷aq=ap-q 3.4 指数函数
ap ?a? ? ? ? 3.5 bp ?b?
p

法则2 (aq)p=aqp
法则3 (ab)p=ap· bp

对数函数

3.4 指数函数

实例考察

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 细胞分裂问题 某种细胞的分裂规律为:1个细胞1次分裂 3.2 函数的基本性质 成2个与它本身相同的细胞.一个这样的细胞经过 x次分裂后, 得到的细胞的个数是多少? 第1次分裂后,细胞的个数是2;

3.3 幂函数
3.4 指数函数

第2次分裂后,细胞的个数是2×2=22;
第3次分裂后,细胞的个数是 ……

3.5 ; 对数函数

设第x次分裂后,细胞的个数是y,则
y=2x 即,经过x次分裂后,得到的细胞个数是2x.

3.4 指数函数
药物剩余问题

实例考察

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3.1 函数的概念及其表示 某种药物静脉注射后,通过尿液排出体外,

每经过1天,药物在体内的剩余量就减少3.2 50%.成人单次注射这 函数的基本性质 种药物1克,经过x天后,药物在体内的剩余量是多少克? 3.3 幂函数 1天后,药物在体内的剩余量是1×50%=0.5 (克); 2天后,药物在体内的剩余量是

3天后,药物在体内的剩余量是
……

(克); 3.4 指数函数 (克); 3.5 对数函数

设x天后,药物在体内的剩余量是y(克),则

y=0.5x
即,经过x天后,药物在体内的剩余量是0.5x克. 由上述两个问题得到的函数具有相同的特点,即自变量x都 作为指数,而底数都是大于0且不等于1的常量.

3.4 指数函数
定义:

指数函数的概念

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3.1 函数的概念及其表示

一般地,我们把形如y=ax(a>0,a≠1)的函数称为指数函数 .如 3.2 函数的基本性质 y=2x,y=0.5x等. 定义域 (-∞,+∞) 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.4 指数函数
例题解析
例下列函数中,哪些是指数函数? (1) y=x3
1? (4) y=? ? ? ?3?
x

指数函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

(2) y=3x (5) y=2x2

(3) y= x

1 3

(6) y=(-2)x

解 (1)y=x3是幂函数,不是指数函数.

(2)y=3x 是指数函数.

(3)y= x 是幂函数,不是指数函数. x ?1? (4)y= ? ? 是指数函数.
?3?

1 3

(5)y=2x2是二次函数,不是指数函数.

(6)y=(-2)x中的底数是一个负数,因此,它不是指数函数.

3.4 指数函数
课堂练习
1.下列函数中不是指数函数的是(

指数函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 )
3.3 幂函数 3.4 指数函数

A.y=1.5x
C.y=1x
x ?1

B.y=0.5x
D.y= ? ? 2
?1? ? ?

x

?2? 2.函数y= ? ? 的定义域是( ?5?

) 3.5 对数函数

A. (-∞,0]

B. (0,+∞)

C. (-∞,+∞)

D. (-∞,0)∪(0,+∞)

3.“实例考察”中的“药物剩余问题”,成人单次注射这

种药物1克,经过一周后,药物在体内的剩余量还有多少克?
答案 1.C 2.C 3.y=0.57=0.007 8克

3.4 指数函数

指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
1? 在同一平面直角坐标系中用描点法作函数 y=2x和y= ? ? ? 的图像. 3.2 函数的基本性质 ?2?
x

x



-2

-1.5

-1

-0.5

3.3 幂函数 0 0.5 1 1.5 3.4 指数函数

2



y=2x y=
?1? ? ? ?2?
x

… …

0.25 0.35 0.5 0.71 4 2.83 2 1.41

1 3.5 1.41对数函数 2 2.83 1

4

… …

0.71 0.5 0.35 0.25

3.4 指数函数

指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数 图3-20
总结性质:

(点击图例,查看动画演示)

①两个图像都在x轴上方,它们的函数值y>0 ②两个图像都过点(0,1) ③y=2x 的图像沿x轴的正方向上升,在定义域内是增函数
?1? ? y=? ?2?
x

的图像沿x轴的正方向下降,在定义域内是减函数

3.4 指数函数

指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 一般地,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质如下: 3.2 函数的基本性质 y=ax(a>0,a≠1)
函数 a>1

3.3 幂函数

0<a<1

3.4 指数函数
图像

3.5 对数函数

(1)定义域是(-∞,+∞),值域是(0,+∞) (2)当x=0时,y=1 性质 (3)在(-∞,+∞)内是增函数 (4)当x>0时,y>1 当x<0时,0<y<1 (3)在(-∞,+∞)内是减函数 (4)当x>0时,0<y<1 当x<0时,y>1

3.4 指数函数
例题解析
( 1 ) 3 与3

3.6 2.8

指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 例1 利用指数函数的性质比较下列各题中两个实数的大小:
?1? ? 1 ?3.3 幂函数 ( 2) 与 ? ? ? ? 2 ? ? ?2?
2.5
3

(1)指数函数y=3x是增函数.因为 3.6> 2.8,所以 3.4 指数函数

3 >3
(2)指数函数y=

3.6

2.8

3.5 对数函数
x

? 1 ? 是减函数.因为2.5<3,所以 ? ? ?2?
3

?1? ?1? > ? ? ? ? ?2? ?2?

2.5

3.4 指数函数
例题解析

指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

例2 确定下列各式中x的正负:

(1)2.1x=1.6
解 根据性质(4),可知

(2)0.3 x =1.6 3.3 幂函数

3.4 指数函数 (1)因为a =2.1>1,y=1.6>1,所以x>0. 3.5 对数函数 (2)因为a =0.3<1,y=1.6>1,所以x<0.

3.4 指数函数
例题解析

指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 例 3 我国银行于2007年5月19日开始执行的人民币一年期整 存整取利率为3.06%,当时的利息税税率为 20%.假设上述利 3.3 幂函数 率和税率保持不变,现将人民币1000元存入银行,存取方 3.4 指数函数 式为一年期整存整取,而且办理了到期自动转存业务,那

3.5 对数函数 么x年后到期时,共可取出多少元?由此计算 5年后到期时共 可取出多少元?(精确到0.01元)


一年后到期时共可取出

1000+1000×3.06%×(1-20%)

=1000×(1+3.06%×80%)
=1000×1.02448(元)

3.4 指数函数
例题解析


指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 如果到期自动转存,两年后到期时,共可取出 3.3 幂函数 (1000×1.02448)+(1000×1.02448 )×3.06% ×(1-20%)

=1000×1.02448×(1+3.06%×80%) 3.4 指数函数 =1000×1.024482 3.5 对数函数 依此类推,x年后到期时,共可取出的钱(单位:元)用y表 示,y与x的关系是
y=1000×1.02448x 将x=5代入上式,可得5年后到期时,共可取出

1000×1.024485≈1128.54(元)

3.4 指数函数
例题解析

指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

例4 求等式中的x的值. 22x-3(2x)-4=0
解 设y=2x则原等式为y2-3y-4=0

y=-1或y=4 由2x=4

3.5 对数函数

x=2
2x≠-1 ∴x=2

3.4 指数函数
课堂练习2
减函数: (1)y=3x (3)y=πx 2.请用>,<号填空:

指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 1.指出下列指数函数在(-∞,+∞)内是增函数还是
?1? (2)y= ? 3 ? ? ? 3.4

3.3 x 幂函数 指数函数

(4)y=0.3x 3.5 对数函数

(1)45.2
(2)0.7-2

45.5
m

0.73-3
n

?2? ?2? (3)若 ? 3 ? >? 3 ? ,则m ? ? ? ?

n.

3.4 指数函数
例题解析

指数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.确定下列各式中x的正负: (1)0.2x=0.6 (2)3x=0.6

3.3 幂函数 4.经统计,2005年世界人口数量为65亿.近几年世界人口的 3.4 指数函数 平均年增长率为1.3%.若保持这个增长率,从2005年起,经 过x年后世界人口的数量是y亿.

3.5 对数函数

(1)试写出y关于x的函数解析式.
(2)计算到2020年世界人口的数量.

3.4 指数函数
例题解析
答案:

指数函数的图像和性质

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

1.(1)增 (2)减 (3)增 (4)减 2.<<< 3.(1) x>0 (2)x<0

15≈79(亿) 对数函数 4.y=65x(1+1.3%)x x=15时 y=653.5 ×1.013

3.4 指数函数

本节小结

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3.1 函数的概念及其表示 本节主要介绍了

?指数函数的概念图像及性质 3.2 函数的基本性质 ? ?指数函数的简单应用
3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.4 指数函数
1.习题册3.4 2.预习3.5对数函数

课后作业

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.4 指数函数

深究

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 对于任意的x1,x2∈R,若函数f(x)=2x,试比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 f ? x1 ? x2 ? 的大小关系. 3.3 幂函数 ? ? 2 ? 2 ? 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.4 指数函数
:

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3.1 函数的概念及其表示

指数函数的威力
3.2 函数的基本性质 美国著名的科学家,避雷针的发明人,本杰明· 富兰克 林(Benjamin Franklin,1706—1790),一生为科学工作, 3.3 幂函数 他死后留下的财产只有一千英镑.令人惊讶的是,他竟留下了 一份分配几百万英镑财产的遗嘱!这份有趣的遗嘱是这样写 3.4 指数函数 的: 3.5 对数函数

3.4 指数函数

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3.1 函数的概念及其表示 本杰明· 富兰克林“……一千英镑赠给波士顿的居民, 3.2 函数的基本性质 如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些挑 3.3 幂函数 选出来的公民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年 轻的手工业者去生息.这款子过了100年增加到 131000英镑.我 3.4 指数函数

希望,那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物,剩下的 3.5 对数函数 31000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了,这笔款
增加到4061000英镑,其中1061000英镑还是由波士顿的居民

来支配,而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.
此后,我可不敢多作主张了!”

3.4 指数函数

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3.1 函数的概念及其表示 富兰克林,留下区区的1000英镑,竟立了百万富翁般的 遗嘱,莫非昏了头脑?让我们按照富兰克林非凡的设想实际 3.2 函数的基本性质 计算一下.(结果精确到1镑) 3.3 幂函数 第一个100年:1000×(1+5%)100≈131501 指数函数 第二个100年:31501×(1+5%)100≈3.4 4142421 第三个100年:3000000×(1+5%)100 =? 对数函数 3.5 通过上面的计算,我们发现,富兰克林的遗嘱是站得住脚的. 这是一个典型的指数模型y=1.05x,我们通过指数函数的图像就 可以看出,当底数大于1时,图像随着指数呈逐渐递增的趋势, 且上升速度越来越快,所以这笔财产会越来越多.由此可见指 数函数的增大作用.

3.4 指数函数
习题3.4.1 A组
1. C 2 . C 3 . C 4.(-∞,+∞),(0,+∞) 5. 6. 2 2
3 1

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数 3.4 指数函数

7.(1)(-∞,+∞) (2)(-∞,+∞) (3)(-∞,0)∪(0,+∞) (4)(-∞,0) ∪(0,+∞)

8.(1)5.54,8.28,12.38,18.52,a<b<c<d< e 3.5 对数函数 (2)1.50,1.50,1.50,1.50,a<b<c<d<e B组 1.[0.2,1] 2.(1)-3 (2) 7 (3)x1=0 x2=3 3.f(3)=
1 27

4

3.4 指数函数
习题3.4.2 A组 1. C 2 . C

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

3.(1)y=3x 0.11,0.19,0.33,0.58,1,1.73,3,5.20,9 3.3 幂函数 x 1 ? y= ? ? ? 9,5.20,3,1.73,1,0.58,0.33,0.19,0.11 ?3? 3.4 指数函数 (2) 图像都经过点(0,1)点. 4.><>>
? ? ?3? x 6.y=600(1+8%) ? 4 ? < 1< ? 3 ? 5. ? ? ?4?
?2 ?2

3.5 对数函数

600(1+8%)8=111 056(万元) 7.(1+10%)10=2.6 8.(1)y=10×0.952 7x (2)6.160

3.4 指数函数
B组 1.(2,4) 2. ?
? 2 ?3 ? ?5?
2

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
? 2 ?3 ? ?3?
2

<?

<?

? 2 ?3 ? ?3?

1

3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

?3 ? ? , ?? ? (2) (-4,+∞) ?2 ? 4.0<a2-1<1

3.(1)

(- 2,-1 ) ∪( 1 , 2 ) 5.x=1时 y1=y2 x>1时y1>y2

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示

对数运算性质 ?理解对数的基本概念掌握 3.2 函数的基本性质 教学目标 ? ?理解对数函数的基本概念掌握对数函数图像及性质
3.3 幂函数

教学重点

?对数的定义、 运算性质 3.4 指数函数 ? ?对数函数的图像和性质 3.5 对数函数

教学难点

?对数的定义 ? ?对数化简求值技巧

教学方法

启发式、学导式

3.5 对数函数
32=9 用3和2表示9

复习回顾

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3.1 函数的概念及其表示

9 =3 用9和2表示3
能否用3和9表示2呢?

3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.5 对数函数

实例考察

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3.1 函数的概念及其表示 结合上一节的细胞分裂问题,认真思考下面的问题 . 3.2 函数的基本性质 细胞分裂的次数 某种细胞的分裂规律为:1个细胞1次分裂 3.3 幂函数 成2个与它本身相同的细胞.即1个细胞经过第1次分裂成为2个; 3.4 指数函数 经过第2次分裂成为4个……那么,第几次分裂后恰好出现16 个细胞?第几次分裂后恰好出现128个细胞? 3.5 对数函数

设第6次分裂后恰好出现16个细胞,即2b=16。由于24=16,
所以b=4. 思考:第几次分裂后出现10个细胞,即2b=10求b?

3.5 对数函数

对数的运算

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3.1 函数的概念及其表示 对数的定义:一般地如果ab=N(a>0,a≠1)那么b称为 3.2 函数的基本性质 数a为底N的对数. 记作b=logaN,a 为对数的底数,N为真数 . 3.3 幂函数 小结:已知a、N 求b的运算是对数的运算,指数式与对数 3.4 指数函数 式都表示a、b、N之间的关系. 3.5 对数函数 如实例考察中 b=log210 . 1 又如 3-1=
1
3 即 -1= . log 3 3

3.5 对数函数
1.零和负数没有对数 2.log1a=0 logaa=1(a>0,a≠1) 3.alogaN=N(a>0,a≠1) 4.logaab=b(a>0,a≠1)

对数的性质

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.5 对数函数
例题解析

对数的性质

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3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 例1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)53=125 (4)log3243=5 (2)2-5=
1 32

3.3 (幂函数 3)2b=5

(5)log 16=-4 3.4 (6指数函数 )log5N=-3
1



3.5 对数函数 (1)log5125=3 (2)log2 32 =-5 (3)log25=b

(4)35=243

? 1 ? -4=16 ( 5) ? ? ?2?

(6)5-3=N

3.5 对数函数
例题解析
例2 求下列各式的值: (1)log31 (3)51-log5

3

对数的性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质
2

log ( 2)

2

7 幂函数 (3)3log3.3 3

(5)log28 (6)log2 3.4 指数函数 2

1

(1)log31=0

log ( 2)
( 4) 5

2

2 =1
=5÷5
log5 3

3.5 对数函数

(3)3log37=7
1-log5 3

= 5÷ 3 =

5 3 3

(5)log28=log223=3

(6)log2 2 =log22-2=-2

1

3.5 对数函数
课堂练习1

对数的性质

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3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 1.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)52=25 (4)log264=6 (1)log 2 1
3

(2)3-3=

1 27
3

3.3 幂函数 (3)5x=8 (6 )log 6y=-3 3.4 指数函数 3.5 1+log 58 对数函数

(5)log 1 81=-4

2.求下列各式的值:

(2)log2 2 (3)5 (5)log39

2? ( 4) ? ? ? ?3?

log

2 3 3

(6)log31

81

3.5 对数函数
课堂练习1
答案

对数的性质

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3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
1 27 =-3 3 ?4

1.(1)log525=2 (2) log
1

(4)26=64 (5) ? ? =81 (6)6-3=y 3 2.(1)0 (2) 2 (3)40 (4) 3 (5)2 (6)-4

?1? ? ?

(3)log58=x

3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.5 对数函数

对数的运算法则

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3.1 函数的概念及其表示 若a>0,a≠1,M>0,N>0,则有 3.2 函数的基本性质
· N) M N 法则1 loga(M M =loga +loga

法则2

logaN =logaM-logaN

3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

法则3 logaMn=nlogaM

3.5 对数函数
法则1和法则3的证明

对数的运算法则

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

设loga

M=p

loga

N=g

3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

M=ap N=ag MN=ap· ag=ap+g

Mn=(ap)n=anp
loga
(M· N)=log p+g=p+g=log M+log N aa a a

logaMn=logaapn=pn=nlogaM

3.5 对数函数
例题解析

对数的运算法则

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 例1 求loga3+loga (a>0,a≠1)的值.
解 法一

loga3+loga

1 1 1

3.3 幂函数 = log (3 × )=log a a1=0 3
81

1

法二 loga3+loga
法三

3.4 指数函数 =log 3+(log 1-log a a a3)=0 3 3.5 对数函数 loga3- loga3=0

loga3+loga 3 =loga3+loga3-1=

例2 已知loga2=0.2(a>0,a≠1)

求 loga29-loga116.


loga29-loga116 =loga
29 116

=loga

1 4

=loga2-2=-2loga2=-2×0.2=-0.4

3.5 对数函数
例题解析
例3 计算: (1)log2 128 (3)log3

1 1
27 4

对数的运算法则

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 (2)log2(42×26)
2 3

3.3 幂函数

+2log3

(4)log5100-2log52 3.4 指数函数 27=
1

(1)log2 128 = log2128= log2 2 2 2 2 (2)log2(42×26)=log242+log226=2log24+6log22 =2×2+6×1=10
2

3.5 7 对数函数 ?7 ?

2? ? 27 4 ? (3)log3 ? 2 log3 ? log3 ? log3 ? ? log ? ? ? log3 3 ? 1 3? ? ? 4 3 4 3 4 9? ? ? ? 27 2 27

(4)log5 100 ? 2 log5 2 ? log5 100 ? log5 22 ? log5 100 ? log5 25 ? log5 52 ? 2
4

3.5 对数函数
例题解析

对数的运算法则

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 补充例题1 计算log2
7 1 ? log2 12 ? log3.3 42 幂函数 2 48 2

解 log2

7 1 ? log2 12 ? log2 42 48 2

3.4 指数函数 3.5 对数函数

? log2

7 ?12 48 ? 42

? log2
1 ?? 2

1 2

3.5 对数函数
例题解析
(1) log

xy z a
xy z a

对数的运算法则

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

x y z 例5 用log a, log a , log a 表示下列各式 3.2 函数的基本性质

(2) loga

x2
3

y z

3.3 幂函数 3.4 指数函数

(1)log

z =log (axy ) -loga z

x = log a +log ay -log a

3.5 对数函数

(2)

loga

x2 y
3

z

? loga

? loga z 1 1 x y z ? 2 log a ? log a ? log a 2 3

x2 y

3

3.5 对数函数
例题解析

对数的运算法则

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

2 例6 已知log =a,试用a表示log 24 3 3

3 ?8 log 24 =log 3 =log +log3 3 3 3

8

=1+log

23

3

=1+3log32 =1+3a

3.5 对数函数
例题解析

对数的运算法则

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
0.5 例7已知log =a.求2log 10 + log5 的值

5

0.5 解 2log10+log5 5
5

0.5 =log10 + log 5 5

2

3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

=log 100?0.5
5 =log 2?25 5

=log 50

2 =log 5 + log 25

5

=a+2

3.5 对数函数

常用对数和自然对数

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3.1 函数的概念及其表示 常用对数:以10为底的对数称为常用对数,记log10N=lgN N 3.2 自然对数:以e为底的对数称为自然对数,记 log 函数的基本性质 =lnN
e

换底分式log a=

N

其中a>0,a≠1,N>0 ,b> 0,b≠1 3.3 幂函数
lg N lg a

N 当b=10或e时有log a =

3.4 指数函数 利用换底公式和计算器可以求任意对数值. 3.5 对数函数
ln a

N 或log a =

ln N

3.5 对数函数
例题解析
(1)log1.152


常用对数和自然对数

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例 用计算器计算下列对数的值:(精确到 0.01) 3.2 函数的基本性质 (2)log1.0361.5
lg 2

3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

(1)log1.152=

(2)log1.0361.5=

lg1.15 lg1.5

≈4.96

lg1.036

≈11.46

3.5 对数函数
例题解析
补充例2. 计算 lg + lg2· lg50

常用对数和自然对数

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

lg50=lg +lg2(lg5+ lg10) 解 lg + lg2· = lg + lg21g5+ lg2 = lg5(lg5+ lg2)+ lg2

=lg5+ lg2
= lg10=1

3.5 对数函数
例题解析
例3.求
9

常用对数和自然对数

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

9 32 log8 ? log3 的值
32

解 log8 ? log 3

lg 9 lg 32 ? ? lg 8 lg 3 ?

2 lg 3 5 lg 2 10 ? ? 3.5 对数函数 3lg 2 lg 3 3

3.5 对数函数
课堂练习2
1.计算: (1)lg2+lg5 (3)log13
117 4

常用对数和自然对数

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质
(2)log2(163÷843.3 ) 幂函数 +2log13
2 3

(4)log7147-log73 3.4 指数函数 2.用计算器计算下列对数的值:(精确到0.01) 1 log 13 .3.5 对数函数 Lg ,ln5,ln0.56,log 0.752 ,
2
5

答案. 1.(1) (2)0 (3)1 (4)2
2.-0.30,1.61,-0.58,-0.18,-3.70

1 2

3.5 对数函数
定义:
x 一般地,我们把形如y=log a

对数函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 (a>0,a≠1)的函数称为对数函 3.3 幂函数 3.4 指数函数

数.
x 如y=log 2

y=log 1 等.
2

x

定义域(0,+∞)

3.5 对数函数 对数函数与指数函数的关系,互为反函数,
x 互为反函数. 如y=2x与y=log 2

3.5 对数函数
反函数的定义:

对数函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 一般地,设函数y=fw,定义域为D,值域为 M,如果对于 M中

的每一个y匝都可以从关系式y=f(x)确定唯一的 (XED)与之 3.3 x值 幂函数
对应,这样就确定了一个以y为自变量的新函数,这个新函数就 3.4 指数函数 称为函数y=fw的反函数,记作x=f ?1 ( y) 按习惯,我们互换x=f ?1 ( y) 3.5 对数函数 中的字母x,y,把它写成y=f的形式,它的定义域为 M,值域 为 D. 互为反函数的图像关于y=x对称.

3.5 对数函数
例题解析
例1 求下列函数的定义域:

对数函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

2 (2)y=log ax 3.3 幂函数 解 (1)因为4-x>0,即x<4 3.4 指数函数 所以函数y=log2(4-x)的定义域是(-∞,4).

(1)y=log2(4-x)

(2)因为x2>0,即x≠0

3.5 对数函数

所以函数y=logax2的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).

3.5 对数函数
例题解析
(1)y=7x

y (1)x=log 7

对数函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 例2 写出下列函数的反函数.(补充 ) (2)y=log 1
3 x

3.3 幂函数
x 7

所以函数y=7x的反函数为y=log (2)因为x=( )y
1

3.4 指数函数 (x>0) 3.5 对数函数

3 1 x 所以函数 y ? log 1 的 反函数为y=( )x(x∈R) 3 3

3.5 对数函数
例题解析
例3 求下列函数的定义域 (1)

y? 1
x log 2

对数函数的概念

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数

x (2) y ? log3

x (1)由log 2 ≠0得x≠1,又因为x>0 3.4 指数函数 1 所以函数 y ? log x 的定义域为(0,1)∪(1,+∞) 2 3.5 对数函数

?x ? 0 (2)由 ? x log ? 8 ?0
所以x≥1



?x ? 0 ? ?x ? 1

所以函数y= log x 的定义域为[1,+∞) 3

3.5 对数函数
课堂练习3
1.把函数y=5x写成对数形式. 2.把函数y=log0.2x写成指数形式. 3.求函数y=log5(x2-2x)的定义域. 4.写出下列函数的反函数: (1)y=5x (2)y=log0.2x
y x ? log 答案 1. 5

对数函数的概念

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

2. x ? 0.2 y 3.{x│x<0或x>2} 4.(1) y ? log5
x

(2) y ? 0.2

x

3.5 对数函数
x

对数函数的图像和性质

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3.1 函数的概念及其表示
x 讨论 y ? log2 及y ? log1 的图像和性质
2

3.2 函数的基本性质 (点击图例,查看动画演示) 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

图3-22 小结性质①两个图像都在y轴的右边 ②两个图像都过点(1,0)
x ③y= log2 的图像沿x轴的正方向上开,在定义域内是增函数.

y ? logx 1 的图像沿x轴的正方向下降,在定义域内是减函数.
2

3.5 对数函数
x a

对数函数的图像和性质

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3.1 函数的概念及其表示 一般地,对数函数 y ? log (a>0,a≠1)的图像和性质如下 3.2 函数的基本性质
函数 y=logax(a>0,a≠1) a>1

3.3 幂函数

0<a<1

3.4 指数函数
图像

3.5 对数函数
(1)定义域是(0,+∞),值域是(-∞,+∞) (2)当x=1时,y=0

性质

(3)在(0,+∞)内是增函数 (4)当x>1时,y>0 当0<x<1时,y<0

(3)在(0,+∞)内是减函数 (4)当x>1时,y<0 当0<x<1时,y>0

3.5 对数函数
例题解析

对数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 例1 利用对数函数的性质比较下列各题中两个对数的大小: 3.3 幂函数 (1)log34与log35 (2) 与log 1 3与1 2 3.4 指数函数 4 解 (1)对数函数y=log3x在区间(0,+∞)内是增函数,因为

<5,所以
log34<log35

3.5 对数函数

(2)对数函数y=log 1 x在区间(0,+∞)内是减函数,因为

1=log 1 ,3> ,所以
2

1

1

2

2

2

log 3<1

3.5 对数函数
例题解析
(1)log2a>log2b

对数函数的图像和性质

节菜单

3.1 函数的概念及其表示

例2 已知下列不等式,比较a与b的大小: 3.2 函数的基本性质 (2)log0.3a>log0.3b 3.3 幂函数 解 (1)对数函数y=log2x在区间(0,+∞)内是增函数,因 3.4 指数函数 为log2a>log2b,所以 a> b> 0 3.5 对数函数

(2)对数函数y=log0.3x在区间(0,+∞)内是减函数,因
为log0.3a>log0.3b,所以 0< a< b

3.5 对数函数
例题解析
M=lgA-lgA0

对数函数的图像和性质

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3.1 函数的概念及其表示

例3 地震能量是通过里氏震级M来刻画的,其计算公式为 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅 3.4 指数函数 (使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造 成的偏差). 3.5 对数函数

(1)根据对数函数的性质及上述计算公式,说明里氏震级M
与被测地震的最大振幅之间的变化关系. (2)假设测震仪记录的某次地震的最大振幅是20,此时标准

地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1).

3.5 对数函数
例题解析

对数函数的图像和性质

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3.1 函数的概念及其表示

,+∞函数的基本性质 )上,随着A的增 3.2 解 (1)根据对数函数的性质,在(0 大,lgA增大,相应地,lgA-lgA0也增大(lgA0为常数).所以, 3.3 幂函数 随着A的增大,M也增大,即被测地震的最大振幅越大,地震 3.4 指数函数 震级就越大. (2)当A=20,A0=0.001时 3.5 对数函数

M=lg20-lg0.001
=lg
20 0.001

=lg20000=lg2+lg104

≈4.3

因此,这次地震约为里氏4.3级.

3.5 对数函数
例题解析
例4 解不等式 log?x 3
? x ? 2 x ? 15 ? 0 ? 解 ?x ? 3 ? 0 ? x2 ? ?2 x ?15 ? x ? 3
2
2

对数函数的图像和性质

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3.1 函数的概念及其表示

? 2 x ?15

?? log? x?3?
3

3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数

?( x ? 3)( x ? 5) ? 0 ? ?x ? 3 ? 0 ? x 2 ? 3x ? 18 ? 0 ?

? x ? ?3或x ? 5 ? 指数函数 ?3 ? x ? 3.4 ? x ? ?3或x ? 6 ?

3.5 对数函数

所以不等式的解集为{x│x >6}

3.5 对数函数
例题解析

对数函数的图像和性质

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质

例5 求下列各等式中的x的值. (1)lgx2=4

3.3 幂函数 (2)2 lg2 x ? 3lg x ? 1 ? 0

解:(1)等式 lg x 2 ? 4 中的x的取值范围是x≠0 3.4 指数函数 所以x2=104 3.5 对数函数 所以x1=100 x2=-100 (2)等式 2 lg2 x ? 3 lg x ? 1 ? 0中的x取值范围是x>0 (2lgx-1)(lgx-1)=0 lgx= , x2 ? 1 1
2 所以 x1 ? 10 x2 ? 10

1

2

3.5 对数函数
课堂练习4
使用计算器验证.
2.请用<,>号填空: (1)log3.11.4 log3.1

对数函数的图像和性质

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3.1 函数的概念及其表示

3.2 4.2 函数的基本性质 1.利用函数的单调性比较log30.5,log31.1,log 的大小, 并 3
3.3 幂函数 指数函数 5 (2)2 log 1 log 1 7 5 2 2 对数函数 (4)log0.23 3.5 1 (2)log0.3a<log0.3b
33.4

(3)log30.4

0

3.已知下列不等式,比较a与b的大小: (1)log2.1a<log2.1b

4.上述例3中,请计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最
大振幅的多少倍(精确到1)?计算结果能说明什么问题?

3.5 对数函数
课堂练习4
答案
0.5 4.2 1. log3 ? log1.1 ? log 3 3

对数函数的图像和性质

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 (2)a>b>0

2.<,>,<,< 3.(1)0<a<b

3.4 指数函数 4.设7.6级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2 3.5 对数函数

1gA1 ? 7.6 ? lg A0 1gA1 ? 1gA2 ? 1.6
=
A1 A2

lg A2 ? 5 ? lg A。 lg A1 A2 ? 1.6

101.6=40(倍)

说明星氏震级是一个相对数据,微小的变化在实际中有很大的差
异.

3.5 对数函数
本节主要介绍了对数的概念 对数的基本运算法则 对数函数的概念

本节小节

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数

对数函数的图像及性质 3.4 指数函数 对数函数的简单应用. 3.5 对数函数

3.5 对数函数

课后作业

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3.1 函数的概念及其表示 1.习题册3.5及本章复习题 2.进行本章复习小结 3.预习第4章之间函数 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.5 对数函数

课后作业

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3.1 函数的概念及其表示 探究:对于任意的x1, x2∈(0,+∞),表函数fw=lgx, x1 ? x 2 f ( x) ? f ( x) 与 f ( ) 的大小关系 3.2 函数的基本性质 试比较 2 2 探究 2.利用Excel电子图表功能绘制函数f3.3 (x)=lg幂函数 x x∈[0.1,5]上的图像 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.5 对数函数
习题35.1 A组
1 3 a, log 27

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示
8 log 2

1.B 2.D 3.
4.1,6,36, 5.0,7,1
1 6

? 3, (1 ? a) ? 1 ?

c

,4,

1 3

1 ?2 1 ? ? , 2 3.2 ? 3 4

函数的基本性质

3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

6.2,-3,3,2,24,2
B组
12

1.(1)16乘方的 3 2 开方(3) log5 3 对数(4)±3开方(5)4对数

(6) log5 对数
2.两边取自然对数

ln2V 1 ? ln3n m ln 2 ? n ln 3

m Ln3 ? ? log 3 2 n Ln2

3.5 对数函数
习题3.5.2

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数
x y

A组
1. A 2. (1) 3log a ? 5log a

3.4 指数函数
log a
z
z

(2)

x log a ?

y 2log a

?
y

1 2

3.5 对数函数

(3) ?loga ? loga ? loga

x

(4)

1

1 y x z log a ? log a ? 2 log a 2 3

3.(1)1 (2)1 (3)1 (4)-1 (5)13 (6)

10 9

3.5 对数函数
4.-0.48,-0.25,1.08,1.79,-1.05,5.36

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

5.1.26,0.48,2.71.-4.42.0.30
6.题目有误应为lg2=0.301 0 lg5=0.699 0,lg20=1.301 0

3.5 对数函数
B组

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

1. D 2 . B
3.(1)-1.19 (2)3.39 (3)1.66 (4)2.88
45 9 5 log ? log ? log 4. 18 18 18 ? a ? b

5.(1)

x ?1 log 2 ?1 2x ? 1

x ?1 ?2 2x ? 1

x=1 将x=1代入方程,经检验x+1>0 2x-1>0 所以x=1为方程的根.

3.5 对数函数
对数的真数要大于0,以下各题同 (2)x =2 (3)x1=10 x2=0.001 (4)x1=100 x2=1 000

习题答案

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说明解含有对数的方程一定要进行检验 3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.5 对数函数
习题3.5.3

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

A组
1 x 1.B 2.C 3.y= ( ) 4.-1或3 3 5.(1)(-3,+ω)

(2)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(3)(-∞,0)∪(0,+∞) (4)(0,1) 1 6.(1)y= (x-3)(x∈R) 4 x ?1 (2)y= (x∈R且x≠1)

x ?1

3.5 对数函数
B组

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数
?( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ? 2 ?x ? 4x ? 2 ? 0
? ? x ? 1或x ? 3 ? ? ? x1 ? 2 ? 2 , x2 ? 2 ? 2

1. B 2 . B
3.(1)(-3,3)

(2)(0,1)∪(1,+ω)
(3)(2,5)∪(5,+∞)
2 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 (4) ? 2 ? ?x ? 4x ? 3 ? 1

(-∞,2- )∪(2- ,1)∪(3,2+ )∪(2+ ,+∞)

3.5 对数函数
习题3.5.4 A组

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数

1.B 2.D 3.A 4.0<α<1 5.m>n 6. x
x y=log3
x 1 3

1 9

1 3

-2 2

-1 1

3.4 指数函数 1 3 3.5 对数函数 0 1 0 -1

9 2 -2

y=log

两个函数图像共同点都经过点(1,0) 不同点 函数y=log 在(0, 3 +∞)为单调递增函数.
x

y=log 在(0,+∞)为单调递减函数.

x 1 3

3.5 对数函数
7.<,<,=,>
?7 (2)pH=-lg 10 =7符合标准.

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 8.(1)氢离子浓度[H+] 越高,酸碱度pH 值越小 . 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.5 对数函数
B组

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数

1.(2,+∞)
1 ? x ? ? 2 ? ? x ? ?1 ?x ? 2 ? ?

?2 x ? 1 ? 0 2.(1) ? x>2 ?x ? 1 ? 0 ?2 x ? 1 ? x ? 1 ?

3.4 指数函数 3.5 对数函数

即(2,+∞)

3.5 对数函数
(2)将题目改为log2(x2-2x-2)>2
2 ? ?x ? 2x ? 3 ? 0 ? 2 ? ?x ? 2x ? 3 ? 4

习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 说明 解 含有对数的不等式,对数的真数一定要大于 0. 3.2 函数的基本性质

?( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ? 2 ?x ? 2x ? 7 ? 0

? x ? ?1或x ? 3 ? 3.3 幂函数 ? x ? 1 ? 2 2或x ? 1 ? 2 2

3.4 指数函数 所以定义域为(-∞,1-2 2 )∪(1+2 2,+∞) 3.5 3.(1)(-1,1) (2)奇函数 (3)(0, 1) 对数函数

3.5 对数函数
A组
一、填空题

复习题答案

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3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 1.自变量的表示减去1,再求算术平方根. 3.3 幂函数 2.f(x),y轴,-f(x),坐标原点 3.y=xa (1,1) 4.(-∞,+∞) (0,+ ∞),(0,1),a>1,0<a<1 6 .(-2,3),(1,+∞) 二、选择题 1. B 2 . D 3 . C 4 . D 5 . B 6 . C 7 . D 3.4 指数函数

3.5 对数函数 5.(0,+∞),(-∞,+∞),(1,0),增函数,减函数.

3.5 对数函数
三、
1.(1)

复习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

(2)定义域[-1,8) 值域(-4,2) (3)增压间[-1,4) 减压间[4,8)

3.5 对数函数
2.f(3 4 ) ? f ( ?2)

复习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

f (-2)=f(2) 3 f (? ) ? f ( ?2) 4 3.(1)设x 年后世界必将达到120亿 60(1+1.84%)x=120 x=38 即2038年 (2)1.73×1015÷0.09=1.9×1016 60(1+1.84%)x=1.9×1016 x=2 084 即4 084年

3.5 对数函数
B组 1.[-2,2] [-3,-2]和[2,3],2, -3 2. A 3. B 4 . C 5 . C 6.f(-2)=-a×27-b×25-c×23-8=6 a×27+b×25+c×23=-14

复习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数

∴f(2)=a×27+b×25+c×23-8=-14-8=-22 3.5 对数函数 7.a2-1>1 (-∞, 8. a>
2 3

)∪ ( 2 ,+∞) 2

3.5 对数函数

复习题答案

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3.1 函数的概念及其表示 9.(1)图略(2)在(0,+∞)f(x),g(x)为增函数, h(x)为减函数 3.2 函数的基本性质 (2)若f(x)为增函数,则- f(x)一定为减函数 3.3 幂函数 10.15.72 36.76 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 利用计算机作函数的图像 3.2 函数的基本性质 在学习和工作中,能否准确地作出函数的图像至关重要。我 3.3 幂函数 们所学的“描点法”作图,是最基本的作图方法,但这种方法操 3.4 指数函数 作起来比较麻烦,而且不够精确。如果利用计算机软件平台绘制 3.5 对数函数 函数图像,则能收到很好的效果,可用于数学绘图的计算机软件 有很多,其中较常用的一个是美国Key Curriculum Press 公司制作

的《几何画板》,人民教育出版社引入其3.05版,并将其汉化。

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 《几何画板》既适合于平面几何学习、又适合于代数、立体几何、 3.2 函数的基本性质 解析几何学习,它具有强大的绘图功能,可在定义域内准确地作 出以解析式表示的几乎一切函数的图像,而且还可根据需要动态 3.3 幂函数 地改变图像。

例 绘制下列函数的图像:
(1)y=3x-1 (2)y ? (3)y ?
1 x2 ? 1
1 2 x ? 2 x, 2

3.4 指数函数 3.5 对数函数 x∈[0,5]

3.5 对数函数
1.作函数y=3x-1的图像

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3.1 函数的概念及其表示

3.2 函数的基本性质 (1)打开几何画板软件,并将软件窗口最大化(图 3—23)。 3.3 幂函数
(点击图例,查看动画演示)

3.4 指数函数 3.5 对数函数

图3—23

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 (2)把鼠标移至菜单栏,点击“图表”,出现下拉菜单,再点击 3.2 函数的基本性质 下拉菜单中的“绘制新函数”,弹出“新建函数”对话框,(图 3—24)。 3.3 幂函数 (点击图例,查看动画演示) 3.4 指数函数 3.5 对数函数

图3—24

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 (3)在“新建函数”对话框中输入“3*x-1”(图3—25),再点 3.2 函数的基本性质 击对话框中的“确定”按钮,在屏幕上即出现函数y=3x-1的图像 (图3—26)。 3.3 幂函数
(点击图例,查看动画演示)

3.4 指数函数 3.5 对数函数

图3—25

图3—26

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 (4)点击工具栏中的文本工具 按钮,在适当位置标记坐标原点O 3.2 函数的基本性质 和单位坐标1(图3—27)。
(点击图例,查看动画演示)

3.3 幂函数

3.4 指数函数 3.5 对数函数

图3—27

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示

(5)用鼠标拖动左上角的函数名“f(x)=3x-1”到直线的边上即 3.2 函数的基本性质 可(图3—28)。 (点击图例,查看动画演示) 3.3 幂函数
3.4 指数函数 3.5 对数函数

图3—28

3.5 对数函数
2

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2.作函数 y ? 1 x 2 ? 2 x ,x∈[0,5]的图像 3.1 函数的概念及其表示 (1)创建空白页:把鼠标移至菜单栏,点击“文件”,出现下拉 3.2 函数的基本性质 菜单,再点击下拉菜单中的“文档选项”,弹出“文档选项”对 3.3 幂函数 话框,点击其中的“增加页”,在其下拉菜单中再点击“空白页 3.4 指数函数 面”,再点击“确定”,显示空白页,同时空白页下面的滚动条 左侧出现记页栏数字1,2,表明空白页已经创建成功,可以开始 3.5 对数函数 绘制新的函数图像。

(点击图例,查看动画演示)

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 (2)与绘制函数y=3x-1图像的操作相同,函数输入格式为“1/2 x2-2x”。 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

(点击图例,查看动画演示)

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 (3)在函数曲线上点击鼠标右键,选择“属性”选项。在弹出的对话 框中选择“图像”标签,在范围一栏中填入函数的定义域(图3—29)。 3.2 函数的基本性质 点击“确定”按钮,即可得到所求函数的曲线(图 3—30)。 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

(点击图例,查看动画演示)

图3—29

图3—30

3.5 对数函数
3.作函数
y? 1 x2 ? 1

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的图像

3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数

绘图方法与上两例类似,函数输入格式为
“1/(x2+1)”。

3.5 对数函数

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对数的发明 3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事 3.3 幂函数 的发展,改进数字计算方法成了当务之急。苏格兰数学家纳皮尔 3.4 指数函数 (J.Napier,1550年~1617年)正是在研究天文学的过程中,为了 简化其中的计算而发明了对数,对数的发明是数学史上的重大事 3.5 对数函数 件,天文学界更是以近乎狂喜的心情来迎接这一发明。恩格斯曾 经把对数的发明与解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪 数学的三大成就,伽利略也说过:“给我空间、时间及对数,我 就可以创造一个宇宙。”

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 对数发明之前,人们对三角运算中将三角函数的积化为三角 3.2 函数的基本性质 函数的和或差的方法已很熟悉,而且德国数学家斯蒂弗尔 (M.Stifel,约1487年~1567年)在《综合算术》(1544)中阐述的 3.3 幂函数 1,r,r2,r3,… 0,1,2,3,… 3.4 指数函数 (1)与 3.5 对数函数

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 之间的对应关系(r n→n)及运算性质(即上面一行数字的乘、 除、乘方、开方对应于下面一行数字的加、减、乘、除)也已广 3.2 函数的基本性质 为人知.经过对运算体系的多年研究,纳皮尔在 1614 年出版了 3.3 幂函数 《奇妙的对数定律说明书》,书中借助运动学,用几何术语阐述 3.4 指数函数 了对数方法: 3.5 对数函数

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 如图,假定两点P、Q 以相同的初速度运动.点 Q沿直线CD作 匀速运动,CQ=x;点P沿线段AB(长度为107单位)运动,它在任 3.2 函数的基本性质 何一点的速度等于它尚未经过的距离(PB=y),令P与Q同时分别 3.3 幂函数 从A、C出发,那么,定义x为y的对数。 3.4 指数函数 3.5 对数函数

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 纳皮尔认为,(1)中的两个数的间隔应当尽量小。为此,他 3.2 函数的基本性质 -7 选择了r=1-10 =0.999 999 9,为了避开小数点的麻烦,他又把每个
7 7单位。这样,用现 3.3 10 幂函数 幂都乘上10 。于是,就有了线段AB的长度为

在的数学符号来叙述。纳皮尔的对数中, x与y的对应关系就是: 3.4 指数函数 1 y=107 ? ?107。 e 3.5 对数函数

3.5 对数函数
每隔1′的八位三角函数表。

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3.1 函数的概念及其表示 其中,e为自然对数的底。利用对数,纳皮尔制作了 0°—90° 3.2 函数的基本性质 将对数加以改造使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯 3.3 幂函数 (H.Briggs,1561年~1631年)。他通过研究《奇妙的对数定律说 3.4 指数函数 明书》,感到其中的对数用起来很不方便,于是与纳皮尔商定, 使1的对数为0,10的对数为1,这样就得到了现在所用的以10为底 3.5 对数函数 的常用对数。由于我们的数系是十进制,因此它在数值计算上具 有优越性。1624年,布里格斯出版了《对数算术》,公布了以10 为底包含1至20 000及90 000至100 000的14位常用对数表。

3.5 对数函数

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根据对数运算原理,人们还发明了对数计算尺。 300多年来, 3.1 函数的概念及其表示

对数计算尺一直是科学工作者,特别是工程技术人员必备的计算 3.2 函数的基本性质 工具,直到20世纪70年代才让位给电子计算器,尽管作为一种计 3.3 幂函数 算工具,对数计算尺、对数表都不再重要了,但是,对数的思想 方法却仍然具有生命力。
3.4 指数函数

从对数发明的过程我们可以发现,纳皮尔在讨论对数概时,并 3.5 对数函数 没有使用指数与对数的互逆关系。造成这种状况的主要原因是当

时还没有明确的指数概念,就连指数符号也是在20多年后的1637
年才由法国数学家笛卡儿(R.Descartes,1596年~1650年)开始使 用。

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉( L.Euler ,1707年~1783年) 发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中,欧 3.2 函数的基本性质 拉首先使用y=ax来定义x=logay。他指出,“对数源出于指数”, 3.3 幂函数 对数的发明先于指数,成为数学史上的珍闻。 3.4 指数函数 从对数的发明过程可以看到,社会生产、科学技术的需要是数 学发展的主要动力。建立对数与指数之间联系的过程表明,使用 3.5 对数函数 较好的符号体系对于数学的发展是至关重要的。实际上,好的数 学符号能够大大地节省人的思维负担,数学家们对数学符号体系 的发展与完善作出了长期而艰苦的努力。

3.5 对数函数
h(t)=

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3.1 函数的概念及其表示 自由落体运动的数学模型

数学模型方法(mathematical modelling method),是把实际问题加以 3.3 幂函数 抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题 的一般数学方法。 3.4 指数函数

1 2 gt 2 3.2 函数的基本性质

什么叫数学模型呢?简单地说,数学模型就是把实际问题用数学 3.5 对数函数 语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时, 所得出的关于实际问题的数学描述。数学模型的形式是多样的, 它们可以是几何图形,也可以是方程式,函数解析式等等,实际 问题越复杂,相应的数学模型也就越复杂。

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 怎样用数学模型方法研究实际问题呢?让我们回顾一下意大 3.2 函数的基本性质 利科学家伽利略(Galileo Galilei,1564年~1642年,意大利物理学 3.3 幂函数 家、天文学家)研究自由落体的过程。 16世纪80年代,比萨大学的青年数学教授伽利略对自由落体运动 3.4 指数函数

非常感兴趣。他通过对实际问题的反复观察实验,发现自由落体 3.5 对数函数 运动与物体的轻重无关。据传他曾从比萨斜塔上让两个重量不同
的球同时下落,人们惊奇地发现它们同时着地,这样就推翻了已

经被人们信奉了两千年之久的亚里士多德的旧落体定律,物体下
落的速度与它的重量成正比。

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质 否定了旧的落体定律之后,伽利略进一步研究自由落体的运 3.3 幂函数 动规律。他从理论和实验两个方面入手,发现下落的距离 h、下落 的速度v都随下落的时间t变化。用现代的数学语言说,这说是函 3.4 指数函数 1 2 数关系式h(t)= 2 gt ,这里g是物体重力加速度, g这个常数正是 3.5 对数函数 1 h与t2的正比例系数。正是h(t)=

2 1 2 gt 这个数学模型反映了自由落体运动这个实际问题的本质规律。 2

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 伽利略利用这一模型又进一步计算出:自由落体从开始下 3.2 函数的基本性质 落起,连续相等时间间隔内下落的距离之比为1∶3∶5∶7……, 3.3 幂函数 我们可以把这一计算过程表示如下: h(1)= 1 g,
2

3.4 指数函数 对数函数

1 h(2)- h(1)= 2 g(4-1)=3 h(1), 3.5 1 h(3)- h(2)= g(9-4)=5 h(1), 2 h(4)- h(3)= 1 g(16-9)=7 h(1), 2

……

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示

从理论上得出上述结论后,伽利略又用实验方法验证它们是否 3.2 函数的基本性质 符合实际现象。为了克服自由落体速度快而不易观测的困难,他 3.3 幂函数 利用小球在斜面下降的实验,观察、记录数据、分析实验结果, 然后再把所得结论推广到斜面倾角为90°的情形。实验结果证实 3.4 指数函数
了他建立的数学模型客观地反映了实际问题的本身规律。这样人 3.5 对数函数 们对自由落体运动有了正确的认识,并且获得解决有关问题的方 法。

3.5 对数函数

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3.1 函数的概念及其表示 伽利略是近代科学史上使用数学模型方法的先驱,从他为自 1 2 3.2 函数的基本性质 由落体运动建立数学模型h(t)= gt 的过程,可以反映出数学模 2 型方法解决问题的基本步骤。这些步骤用框图表示如下: 3.3 幂函数 3.4 指数函数 3.5 对数函数



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