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高中数学(人教B版)必修1课件:2.1 2.1.3 函数的单调性


2.1.3 函数的单调性 预习课本 P44~46,思考并完成以下问题 增函数、减函数的概念是什么? [新知初探] 函数的单调性 设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 M?A,如果取区间 Δx=x2-x1>0 ,则当 任意 两个值 x1,x2,改变量______________ M 中的_____ Δy=f(x2)-f(x1)>0 时, ___________________ 就称函数 y=f(x)在区间 M 上是增 Δy=f(x2)-f(x1)<0 时,就称函数 y=f(x) 函数,如图(1);当_________________ 在区间 M 上是减函数,如图(2). 如果函数 y=f(x)在某个区间 M 上是增函数或是减函 数, 就说 y=f(x)在这个区间 M 上具有_______ 单调性 (区间 M 称 为单调区间). [点睛] (1)函数单调性定义的理解 ①任意性,即“任意取 x1, x2”, 不能取两个特殊 值;② x1, x2 有大小 ,通常规定 Δx= x2- x1>0;③ x1, x2 同属于定义域的某个子区间. (2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,即 单调区间是定义域的子集. [小试身手] 1.判断.(正确的打“√”,错误的打“×” ) (1)函数 y= x2 在 R 上是增函数. (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性. ( × ) ( × ) (3)在增函数与减函数的定义中, 可以把“任意两个自变量” 改为“存在两个自变量”. ( × ) 2.函数 y=f(x)的图象如图所示,其增区间是 A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 答案:C ( ) 3. 下列函数 f(x)中, 满足对任意 x1, x2∈ (0, +∞), 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)的是 A. f(x)= x 2 ( 1 B. f(x)= x D. f(x)= 2x+ 1 ) C. f(x)= |x| 答案:B 2 4.函数 f(x)= ,x∈[ 2,4],则 f(x)的最大值为______;最 x 小值为________. 1 答案:1 2 函数单调性的判定与证明 x+1 [典例] 证明函数 f(x)= ,x∈[3,5]为增函数. 2-x [证明] 设 x1, x2 是区间[3,5]上的任意两个实数且 x1 < x2,则 Δx=x2-x1>0, Δy= f(x2)-f(x1) x2+ 1 x1+1 3? x2- x1? = - = , 2-x2 2- x1 ? 2- x2?? 2- x1? ∵ 3≤x1<x2≤ 5, ∴ x2- x1>0,2- x1< 0,2- x2< 0. ∴ Δy>0, ∴函数 f(x)在[3,5]上为增函数. 用定义法证明函数单调性的步骤 [活学活用] 4 证明:函数 f(x)=x+ 在(2,+∞)上是增函数. x 证明: 任取 x1, x2∈(2,+∞), 且 x1<x2,则 Δx= x2- x1>0, 4 4 Δy= f(x2)- f(x1)= x2+ - x1- x2 x1 4? x1- x2? = (x2- x1)+ x1x2 x1x2- 4 = (x2- x1)· . x1x2 ∵ 2<x1<x2,∴ x2- x1>0, x1x2>4, x1x2- 4>0, 4 ∴ Δy>0,∴函数 f(x)= x+ 在(2,+∞)上是增函数 . x 求函数的单调区间 [典例] 单调区间. [

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