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第二章 2.2 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 2


2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布

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预习思考
? 用样本对总体的估计常分为哪两种情况? ? 制作频率分布直方图的步骤是什么? ? 怎样制作频率分布折线图与总体密度曲线?

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2.绘制频率分布直方图的步骤

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分组

决定组距与组数

求极差

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3.频率分布折线图和总体密度曲线

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[例1]

美国历届总统中,就任时年纪最小的是罗斯

福,他于1901年就任,当时年仅42岁;就任时年纪最大 的是里根,他于1981年就任,当时69岁.下面按时间顺 序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马,共44任)给出 了历届美国总统就任时的年龄:

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57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,

54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,
52,69,64,46,54,48 (1)将数据进行适当的分组,并画出相应的频率分布直 方图和频率分布折线图. (2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的 分布情况.

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解:(1)极差:69-42=27 (2)以4为组距,分成7组: (3)列出频率分布表如下: 分组 频数 [41.5,45.5) 2 [45.5,49.5) 7 [49.5,53.5) 8 [53.5,57.5) 16 [57.5,61.5) 5 [61.5,65.5) 4 2 [65.5,69.5] 44 合计 频率 0.045 5 0.159 1 0.181 8 0.363 6 0.113 6 0.090 9 0.045 5 1.00

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(2)从频率分布表中可以看出60%左右的美国总统 就任时的年龄在50岁至60岁之间,45岁以下以及65岁 以上就任的总统所占的比例相对较小.

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根据频率分布表,求美国总统就任时年龄落在区间 [61.5,69.5)人数占总人数的比例. 解:区间[61.5,69.5)包含了[61.5,65.5),[65.5,69.5), 两个组,两小组的频率和为0.090 9+0.045 5=0.136 4, 故而所占比例为13.64%.

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1.一个农技站为了考察某种麦穗长的分布情况, 在一块试验地里抽取了100个麦穗,量得长度如 下(单位:cm):

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6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6 5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8 6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5 6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4 6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.4 6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6 5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0 5.6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7 5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0 6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3 根据上面的数据列出频率分布表、绘出频率分布直

方图,并估计长度在5.75~6.05 cm之间的麦穗在这
批麦穗中所占的百分比.

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解:步骤是: (1)计算极差:7.4- 4.0= 3.4(cm). (2)决定组距与组数 3.4 1 若取组距为 0.3 cm,由于 = 11 ,需分成 12 组,组数 0.3 3 合适.于是取定组距为 0.3 cm,组数为 12.

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(3)将数据分组
使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起点稍微 减小一点,那么所分的12个小组可以是:3.95~ 4.25,4.25~4.55,4.55~4.85,?,7.25~7.55. (4)列频率分布表

对各个小组作频数累计,然后数频数,算频率,列频率
分布表,如下表所示:

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分组 3.95~4.25 4.25~4.55 4.55~4.85 4.85~5.15 5.15~5.45 5.45~5.75 5.75~6.05 6.05~6.35 6.35~6.65 6.65~6.95 6.95~7.25 7.25~7.55 合计

频数累计

正 正正 正正正 正正正正正 正正 正正 正正

频数 1 1 2 5 11 15 28 13 11 10 2 1 100

频率 0.01 0.01 0.02 0.05 0.11 0.15 0.28 0.13 0.11 0.10 0.02 0.01 1.00

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(5)画频率分布直方图.如图所示.

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从表中看到,样本数据落在5.75~6.05之间的频率是 0.28,于是可以估计,在这块地里,长度在5.75 ~ 6.05 cm之间的麦穗约占28%.

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[例2]

某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包

装传送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其质量,分别记

下抽查记录如下(单位:千克):
甲:52 乙:60 51 65 49 40 48 35 53 25 48 65 49 60

画出茎叶图,并说明哪个车间的产品质量比较稳定.

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[自主解答]

茎叶图如图所示(茎为十位上的数字):

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2.在某电脑杂志的一篇文章中,每个句子中所含字数如下:
10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11, 21,24,27,17,29. 在某报纸的一篇文章中,每个句子中所含字数如下: 27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,

46,32,22,18,32.
(1)分别用茎叶图表示上述两组数据; (2)将这两组数据进行比较分析,你能得到什么结论?

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解:(1)茎叶图如图所示:

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(2)从茎叶图可看出:电脑杂志的文章中每个句子所含字
数集中在10~30之间;报纸的文章中每个句子所含字数集 中在20~40之间,且电脑杂志的文章中每个句子所含字的 平均个数比报纸的文章中每个句子所含字的平均个数要少, 因此电脑杂志的文章较简明.

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[例3]

在学校开展的综合实践活动中,某班进行

了小制作评比,作品上交时间为5月1日至31日,评委会
把同学们上交作品的件数按5天一组统计,绘制了频率 分布直方图(如图所示),已知从左到右各长方形的高的 比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12.

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(1)本次活动中一共有多少件作品参评?

(2)上交作品数量最多的一组有多少件?
(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件,2件

作品获奖,这两组获奖率较高的是第几组?

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[自主解答 ]

在频率分布直方图中各小长方形的面积=

频率 组距× =频率,即各小长方形的面积等于相应各组的频 组距 率,且它们的面积和等于 1. 4 1 (1) 依题意知第三组的频率为 = .又 2+ 3+ 4+ 6+ 4+ 1 5 1 因为第三组的频数为 12, 所以本次活动的参评作品数为 12÷ 5 = 60(件 ).

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(2)根据频率分布直方图,可以看出第四组上交的作品数量 6 最多,共有:60× = 18(件 ). 2+ 3+ 4+ 6+ 4+ 1 10 5 (3)第四组的获奖率是 = ; 18 9 1 第六组上交的作品数量为 60× = 3(件), 2+ 3+ 4+ 6+ 4+ 1 2 6 5 所以第六组的获奖率是 = > ,故第六组的获奖率较高. 3 9 9

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频率分布直方图的性质

频率 (1)因为小矩形的面积=组距× =频率 组距

形面积表示相应各组的频率, 这样, 频率分布直

的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
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(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之

3.(2012· 济宁高一检测)为了了解高一学生的体能情况,
某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所 得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图 中从左到右各小长方形面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.

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(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该校全

体高一学生的达标率是多少?

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解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在 各个小组内的频率大小,因此第二小组的频率为 4 = 0.08. 2+ 4+ 17+ 15+ 9+ 3 第二小组频数 又因为第二小组频率= , 样本容量 第二小组频数 12 所以样本容量= = = 150. 第二小组频率 0.08 故第二小组的频率是 0.08,样本容量是 150.

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(2)由图可估计该校高一学生的达标率约为 17+ 15+ 9+ 3 × 100%= 88%. 2+ 4+ 17+ 15+ 9+ 3 故高一学生达标率是 88%.

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某校为了了解高三学生的身体状况,抽取了100名 女生的体重.将所得的数据整理后,画出了如图的频 率分布直方图,则所抽取的女生中体重在40~45 kg的 人数是 ( )

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A.10 C.5

B.2 D.15

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[错解] 0.02×100=2人.选B.

[错因] 误认为纵轴表示频率.
频率 [正解 ] 由图可知频率= ×组距, 组距 知频率= 0.02× 5= 0.1. ∴ 0.1× 100= 10 人.

[答案] A

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课时练习
? P35

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课时小结: 两种估计:频率分布直方图;数字特征 频率分布直方图的画法;茎叶图的画法

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作业
? 作业十

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[读教材·填要点] 1.用样本估计总体的两种情况 (1)用样本的 频率分布 估计总体的分布. (2)用样本的 数字特征 估计总体的数字特征.

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4.茎叶图的制作步骤 (1)将数据分为 茎 和叶 两部分; (2)将最大茎和最小茎之间数据按 大小次序 排成一列; “叶” (3)将各个数据的 按大小次序写在茎右(左)侧.

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[小问题·大思维]

1.频率分布直方图直观形象地表示了频率分布表,在频率
分布直方图中是用哪些量来表示各组频率的?
提示:在频率分布直方图中用每个矩形的面积表示相应 频率 组的频率,即 ×组距=频率,各组频率的和等于 1, 组距 因此各小矩形的面积的和等于 1.

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2.从甲、乙两个班级中各随机选出15名同学进行测试, 成绩的茎叶图如图,你能说出甲、乙两班的最高成 绩,以及哪个班的平均成绩较高吗? 甲 6 8 9 4 1 4 5 6 7 2 5 9 乙

8 7

5

4 2 7 4

1 4 6

7 8 9

2 5 1 4 2

7 4

8 7

9 9

提示:甲、乙两班的最高成绩各是96,92,从 图中看,乙班的平均成绩较高.

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1.在列频率分布表时, 极差、 组距、 组数有如下关系: 极差 极差 (1)若 为整数,则 =组数. 组距 组距 极差 极差 (2)若 不为整数,则 的整数部分+1=组数. 组距 组距

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2.组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组 时,组数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出

来,组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况,若样
本容量不超过100,按照数据的多少常分为5~12组,一般

样本容量越大,所分组数越多.

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由图可以看出甲车间的产品质量较集中,而乙车间
的产品质量较分散,所以甲车间的产品质量比较稳定.

画茎叶图时,用中间的数表示数据的十位和百位数,
两边的数分别表示两组数据的个位数.要先确定中间的数 取数据的哪几位,填写数据时边读边填.比较数据时从数 据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较.

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绘制茎叶图的关键是分清茎和叶,一般地说数据是两 位数时,十位数字为“茎”,个位数字为“叶”;如果是 小数的, 通常把整数部分作为“茎”,小数部分作为“叶”,

解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.

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