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高中数学必修四 1.6 三角函数模型的简单应用


1.6 三角函数模型的简单应用

1.知识目标:通过对三角函数模型的简单应用的学习,初 步学会由图象求解析式的方法;体验实际问题抽象为三角 函数模型问题的过程;体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型.(重点) 2.能力目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际

问题的数学“建模”思想,从而培养学生建模、分析问题、
数形结合、抽象概括等能力.(重点、难点)

复习思考:

(1)振幅
(2)频率:

(3)相位,初相

现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化,用 数学语言可以说这些现象具有周期性,而我们所学的三

角函数就是刻画周期变化的典型函数模型,比如下列现
象就可以用正弦型函数模型来研究,这节课我们就来探 讨三角函数模型的简单应用.

1.物理情景—— ①简谐运动 ②星体的环绕运动

正弦型函数

2.地理情景—— ①气温变化规律

y ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0)

②月圆与月缺
3.心理、生理现象—— ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③体力变化状况 4.日常生活现象—— ①涨潮与退潮

②股票变化
????

根据图象建立三角函数关系: 例1.如图,某地一天从6~14时 的温度变化曲线近似满足函数 30 20 10

T/℃

y ? Asin(?x ? ?) ? b.
(2)写出这段曲线的函数解析式.

0 (1)求这一天6时~14时的最大温差;

6 8 10 12 14

t/h

解:(1)观察图象可知,这段时间的最大温差是20? C。 (2)从图中可以看出,从6时到14时的图象是函数

y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,

2 1 2? ? ? ? 14 ? 6, 2 ?

所以 A ? 1 (30 ? 10) ? 10, b ? 1 (30 ? 10) ? 20,

2 ? ?? ? . 8

? 3? 3? ? 6 ? ? ? , 解得? ? . 2 4 8 ? x ? 3? ) ? 20,x ?[6,14]. 故所求函数解析式为 y ? 10sin( 8 4
一般地,所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时 段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.

因为点(6,10)是五点法作图中的第四点,故

方法小结:
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? , ? 2?

1 b ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? , ? 2?

2? 利用T ? ,求得?, ?
利用最低点或最高点在图象上,该点的坐标, 满足函数解析式可求得? , 注意通常 ? ? ? .

根据解析式模型建立图象模型

例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.

解:函数图象如图所示

y=|sinx|
-2?

y
? O 2 ? 2

-?

?

?

2?

x

从图中可以看出,函数 曲线.

y ? sin x 是以π为周期的波浪形

我们也可以这样进行验证:
由于 sin( x ? ? ) ? ? sin x ? sin x , 所以,函数

y ? sin x 是以π为周期的函数.

利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数 性质的认识,这是研究数学问题的常用方法.

将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型 例3.如图,设地球表面某地正午太阳高度角为?,?为此时 太阳直射纬度,?为该地的纬度值,那么这三个量之间的 关系是? =90?-|? -? |.当地夏半年? 取正值,冬半年

? 取负值.
?

? ??

?

?

太阳光

太阳高度角的定义
如图,设地球表面某地 北半球

纬度值为 ? ,正午太阳
高度角为θ,此时太阳 直射纬度为δ ,那么

???

这三个量之间的关系
是 ? ? 90o ? | ? ? ? | .当地 夏半年δ取正值,冬半 年δ取负值.

?
地心

?

太阳光

?
南半球

? ? 90? ? | ? ? ? |

太阳光直射南半球

???

?
地心

?

90 ? ? ? ? ? ? o 90 ? ? ?| ? ? ? |
o

?

太阳光

? ? 90 ? | ? ? ? |
o

如果在北京地区(纬度数约为北纬40?)的一幢高为 h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不

被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?
分析:根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为—— 南、北回归线之间的地带.画出图形如下,由画图易知

h0

M

?
A B

?
C

解:如图,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回

归线时,楼顶在地面上的投影点,要使新楼一层正午的太
阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情 况考虑,此时的太阳直射纬度为-23? 26',依题意两楼的间 距应不小于MC.

根据太阳高度角的定义,有∠C=90? -|40? -(-23? 26')|=26? 34'

h0 h0 ? ? 2.000 h 0 所以, MC ? ? tan C tan 26 34?
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于 楼高两倍的间距.

将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:
理解题意 建立三角 函数模型 求解 还原解答

例4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫

潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨
潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋, 下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表:

时刻

水深/米

时刻

水深/米

时刻

水深/米

0:00 3:00
6:00

5.0 7.5
5.0

9:00 12:00
15:00

2.5 5.0
7.5

18:00 21:00
24:00

5.0 2.5
5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函 数关系,给出整点时的水深的近似数值.(精确到0.001)

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安
全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距 离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在 2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么

该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标 系中画出散点图.

7. 50 5. 00 2. 50

0

3

6

9

12

15

18

21

24

根据图象,可以考虑用函数

y ? A sin(? x ? ? ) ? h

来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:

A=2.5,h=5,T=12,? =0; ? 由 T ? 2? ? 12 ,得 ? ? . 6 ? 所以,这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为:

6 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:
时 刻
0.00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00

y ? 2.5sin

?

x ? 5.

水 深
时 刻

5.000

6.250

7.165

7.500

7.165

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.750

12.00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

水 深

5.000

6.250

7.165

7.500

7.165

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.754

(2)货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 (米),所以 当y≥5.5时就可以进港.令

2.5sin ? x ? 5 ? 5.5, 6 化简得 sin ? x ? 0.2, 6 由计算器计算可得 ? x ? 0.201 4, 或? ? ? x ? 0.201 4 6 6

解得 xA ? 0.384 6, xB ? 5.615 4, 因为 x ? [0, 24] ,所以有函数周期性易得

xC ? 12 ? 0.384 6 ? 12.384 6, xD ? 12 ? 5.615 4 ? 17.615 4.
因此,货船可以在凌晨0时30分左右进港,早晨5时 30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时 30分左右出港,每次可以在港口停留5小时左右.

(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)
(x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看 到在6~7时之间两个函数图象有一个交点.

通过计算可得,在6时的水深约为5米,此时货船的安 全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的 安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安

全水深约为4米,因此为了安全,货船最好在6.5时之前停
止卸货,将货船驶向较深的水域.

1.(2012·菏泽高一检测)单摆从某点开始来回摆动,离开 平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为:s= 6sin(2πt+ ? ),那么单摆来回摆动一次所需的时间为( D )
6

A.2π s C.0.5 s

B.π s D.1 s

2.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(其中0≤t ≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各

时的浪高数据:
t(小时) y(米) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5

1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数
y=Acosωt+b,根据以上数据,函数的解析式为_______.

1 解析:? A+b=1.5,-A+b=0.5,? A= , b ? 1, 2 2? ? 1 ? 又 ? T=12,??= ? , 从而y ? cos t ? 1. T 6 2 6 1 ? 答案:y ? cos t ? 1 2 6

3.(2012· 潍坊高一检测)若函数f(x)=sinx+2|sinx|, x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且只有两个不同的交点,

则k的取值范围是 ______.
【解析】

? 3sin x, x ? [0, ? ] f ( x) ? ? ?? sin x, x ? [? , 2? ]
其图象如图所示,若有两个交点,则1<k<3. 答案:1<k<3

1.根据三角函数图象建立函数解析式,就是要抓住图象的
数字特征确定相关的参数值,同时要注意函数的定义域. 2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题,可以利用三

角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图,
再进行函数拟合,就可获得具体的函数模型,有了这个函 数模型就可以解决相应的实际问题.

不辞艰险出夔门,救国图强一片心;莫谓

东方皆落后,亚洲崛起有黄人。
——吴玉章



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