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数学文卷·2014届山东省实验中学高三第三次模拟考试(2014.05)word版


山东省实验中学 2014 届高三第三次模拟考试(打靶)数学 文试题(word 版)
【试卷综评】从总体上来讲,涉及的知识面广,开卷的起点低,试题的坡度平缓,整体 的难度适中,逐题分层把关,具有良好的区分度。试题贯彻了有利于中学数学教学与有 利于高校选拔人才相结合的原则, 贯彻了“总体保持稳定, 深化能力立意, 积极改革创新” 的指导思想。试卷保持了立足现行高中教材的一贯风格,在注重对基础知识、基本技能 和基本方法全面考查的同时,更突出了对数学思想、数学核心能力进行综合考查,重视 对考生学习潜能的考查。反映了命题者的智慧与原创精神,是一套高水平的数学试题. 第 I 卷(选择题 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. (

1 ? i 2014 ) ? 1? i
B.-1 C .l D.-i

A.i 【知识点】复数运算.

【答案解析】B 解析 :解: (

1 ? i 2014 ) ? i 2014 ? i 2 ? ?1 1? i
2

?1 ? i ? ? i 1? i 4 ? 【思路点拨】由复数的除法运算得: ,而 i ? 1 ,所以 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?
1 ? i 2014 ( ) ? i 2014 ? i 2 ? ?1 ,所以选B. 1? i
2.已知 R 是实数集,M= ? x

? 2 ? ? 1? , N ? y y ? x ? 1 ? 1 ,则 N I CRM= ? x ?
D.[1,2]

?

?

A. (1,2) B.[0,2] C. ? 【知识点】不等式的解法,函数的值域求法,集合运算. 【答案解析】D 解析 :解:由

2 ? 1 得x<0或x2,所以 CR M ? ?0,2? ,又 N ? ?1, ??) x

所以 N I CRM=[1,2],所以选 D. 【思路点拨】先化简集合M、N,再求N I CRM.

? ? ?sin x, x ? 4 3.己知函数 f(x)= ? ,则 f(5)的值为 6 ? ? f ( x ? 1), x ? 4
A.

1 2

B.

2 2

C .1

D.

3 2

【知识点】分段函数求函数值. 【答案解析】C 解析 :解:根据题意得: f(5)= f ?5 ?1? ? f ? 4? ?

? ?? ? f ? 3? ? sin ? ? 3 ? ? sin ? 1 ,所以选C. 2 ?6 ?
【思路点拨】根据题中描述的分段函数的意义逐步求得f(5)的值. 4.命题 p:若 a · b >0,则 a 与 b 的夹角为锐角;命题 q:若函数 f(x)在 ? ??, 0? 及(0, + ? )上都是减函数,则 f(x)在(- ? ,+ ? )上是减函数,下列说法中正确的是 A.“p 或 q”是真命题 B.“p 或 q”是假命题 C.非 p 为假命题 D.非 q 为假命题 【知识点】命题真假的判断,复合命题真假的判断. 【答案解析】B 解析 :解:当 a 与 b 的夹角为0时 a ? b ? 0 ,所以命题p是假命题;显然 命题q也是假命题;所以选B. 【思路点拨】先判断命题p、q的真假,再判断复合命题的真假. 5.函数 y=

r

r

r

r

r

r

x1n x x

的图象大致是

【知识点】函数的奇偶性、单调性. 【答案解析】B 解析 :解:易得函数是奇函数,故排除 A 、 C 选项,又当 x>0 时函数为

y ? ln x 时增函数,所以选B.
【思路点拨】先分析函数的奇偶性,再分析函数的单调性,从而确定结果. 6.一个几何体的三视图如下图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积 为 A.

(4 ? ? ) 3 3 (8 ? ? ) 3 3

B.

(8 ? ? ) 3 6

C.

D. (4 ? ? ) 3

【知识点】几何体三视图的理解. 【答案解析】B 解析 :解:此几何体是底面半径为 1 的半圆锥,与底面是边长为 2 的正 方形的四棱锥构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为边长为 2 的正三角形 的高

?8 ? ? ? 3 1? ? ? 3 ,所以体积 V ? ? 2 ? 2 ? ?12 ? 3 ? 3? 2 ? 6

【思路点拨】通过观察得此几何体的结构是:底面半径为 1 的半圆锥,与底面是边长为 2 的正方形的四棱锥构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为边长为 2 的正三

角形的高 3 ,所以体积 V ?

?8 ? ? ? 3 ,所以选B. 1? ? 2? ? 2 ? 2 ? ?1 ? 3 ? 3? 2 ? 6

【典型总结】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图判断出几何 体的形状是解答本题的关键. 7.将函数 y= cos(x ? 平移

?
3

)的图象上各点的横坐标伸长到原的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左

?
6

个单位,所得函数图象的一条对称轴是

A. x ?

?
9

B. x ?

?
8

C. x ? ?

D. x ?

?
2

【知识点】三角函数的图像变换. 【答案解析】D 解析 :解:由题意得变换后的函数解析式为: y ? cos?

?? ?1 x? ? 4? ?2

经检验 x ?

?
2

时 y ? cos ?

?? ?1 x ? ? 有最大值,所以选 D. 4? ?2
?
3
)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,求出

【思路点拨】通过函数 y= cos(x ?

函数的解析式,三角函数的平移原则为左加右减上加下减,求出函数的表达式即可. 【典型总结】本题考查三角函数的图象的变换,图象的平移,考查计算能力,是基础题.

?y ? x ? 8.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为 ? x ? ?2 ?
A.10 B.8 【知识点】线性规划问题. C .6 D.4

【答案解析】B 解析 :解:画出已知约束条件下的可行域,由直线 y ?

1 x 平移得最优解 3

? ?2, 2? 代入 z ?

x ? 3 y 得z的最大值8,所以选B.

【思路点拨】根据条件画出可行域,再由直线x-3y=0平移的最优解. 9.从抛物线 y2= 4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且 PM ? 5 ,设抛物线的 焦点为 F,则△PMF 的面积为 A.5 B.10 C.20 D. 15

【知识点】抛物线的定义、焦半径公式,三角形的面积公式. 【答案解析】B 解析 :解:根据题意得点 P 的坐标为: ? 4, 4 ? 所以

S?PMF ?

1 1 y p PM ? ? 4 ? 5 ? 10 ,所以选B. 2 2

【思路点拨】由抛物线的定义、焦半径公式求得点P的坐标,从而求出△PMF的面积.

10.己知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f ?(x) ,满足 f ?(x)<f(x) ,且 f(x+2) 为偶函数, f(4)=l,则不等式 f(x)<ex 的解集为 A. (-2,+ ? ) B. (0.+ ? ) C. (1, ? ) D. (4,+ ? ) 【知识点】利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 【答案解析】B 解析 :解:∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)的图象关于x=0对称 ∴y=f(x)的图象关于x=2对称∴f(4)=f(0)又∵f(4)=1,∴f(0)=1 设g(x)=

f ( x) f ?( x)e x ? f ( x)e x f ?( x) ? f ( x) ? ( x ∈ R )则 g ( x ) ? ? ex (e x ) 2 ex

又∵f′(x)<f(x) ,∴f′(x)-f(x)<0∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调 递减 ∵f(x)<e ∴g(x)<1又
x

g (0) ?

f (0) ? 1 ∴g(x)<g(0)∴x>0故选B. e0

【思路点拨】构造函数 g(x)=

f ( x) (x∈R),研究 g(x)的单调 ex

性,结合原函数的性质和函数值,即可求解. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.执行右图所示的程序框图,则输出的结果是 。 【知识点】程序框图描述的意义. 【答案解析】9 解析 :解:依次写出每次循环的结果为: ( 1 )s=3,k=3,(2)s=9,k=5,(3)s=19,k=7,(4)s=33,k=9, 这时 s<20 不成立,所以输出结果是9. 【思路点拨】根据程序框图描述的意义依 次 写出 每次 循 环 的 结果 , 直到循环结束,得出结果 . 12.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2-a5=0 则 【知识点】等比数列的通项公式、前n项和公式.
4 S 4 a1 ?1 ? q ? ? 1 ? q2 ? 5 【答案解析】5 解析 :解:由 8a2-a5=0得公比q=2,所以 ? S 2 a1 ?1 ? q 2 ?

S4 ? S2



【思路点拨】根据等比数列的通项公式求得公比q值,再利用前n项和公式求结果. 13.已知如图所示的矩形,长为 12,宽为 5,在矩形内随机地投掷 1000 颗黄豆,数得落在 阴 影 部 分 的 黄 豆 为 600 颗 , 则 可 以 估 计 阴 影 部 分 的 面 积 约 为 。 【知识点】几何概型的概率公式的应用,用频率值估计概率值. 【答案解析】36 解析 :解:可以估计阴影部分的面积约为:

600 ? 12 ? 5 ? 36 1000
【思路点拨】用落在阴影部分的黄豆频率估计概率,从而求得阴影部分的面积的估计值. 14 . 已 知 x>0 , y>0 , 且

2 1 ? =1 , 若 x+2y>m2+2m 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 x y

围 。 【知识点】均值不等式的应用,不等式恒成立问题. 【答案解析】 -4<M<2 解析 : 解: 因为 x>0, y>0, 且

?2 1? 2 1 所以x+2y= ? x ? 2 y ? ? ? ? ? =1, x y ?x y?

=4?

4y x ? ? 4 ? 4 ? 8 ,要使x+2y>m2+2m恒成立,需使m2+2m<8,解得4<M<2. x y

【思路点拨】利用均值不等式求得x+2y的最小值,根据x+2y>m2+2m恒成立的条件得m满足 的不等式. 15 .己知直线 x+ y+m=0 与圆 x2+ y2 =2 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐标原点,

| OA ? OB |? AB ,那么实数 m 的取值范围是
【知识点】直线与圆的位置关系,向量的运算. 【答案解析】 ?2, ? 2 ?



?

?

? 2, 2 ?

?

解析 :解:因为 | OA ? OB |? AB 所以
2 2

OA ? OB ? OA ? OB ,所以 OA ? OB ? OA ? OB ,化简得 OA ? OB ? 0 ,所以 OA, OB
夹角 ? ? 0 ,90 ? ? ,所以圆心到直线的距离 d ?

?

m 2

?? ?1, 2 ,(其中 ? ? 90 时d=1)解得

?

? m ? ?2, ? 2 ? ? ? 2, 2

?

?
m 2 ?? ?1, 2 ,(其中 ? ? 90 时d=1)解得

【思路点拨】利用向量运算把已知不等式化为 OA ? OB ? 0 ,从而得到 OA, OB 夹角 ? ? 0 ,90 ? ? ,所以圆心到直线的距离 d ?

?

?

? m ? ?2, ? 2 ? ? ? 2, 2 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16. (本小题满分 12 分)△ABC 中,内角 A、B.C 所对边分别为 a、 .b.c,己知 A=

?

?

?
6



c ? 3 ,b=1。,
(1)求 a 的长及 B 的大小: (2)若 0<x<B,求函数 f ( x ? 2sin x cos x ? 2 2 cos 2 x ? 3 的值域. 【知识点】余弦定理化简求值,二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和的正弦函数公式. 【答案解析】(1) a ? 1, B ?

?
6

(2)

?

3, 2 ? ?

2 2 2 解析 :解:(1)由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 2 3 cos

?
6

?1

-----2 分

? a ?1

------------4 分

?B ? A ?

?
6

--------6 分 -----7 分

(2) f ? x ? ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

------------9 分

由 (1)得 0 ? x ?

?
6

?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ?? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 3 2 3? ?

--------11 分

? 函数的值域为

?

3, 2 ? ?

----------12 分

【思路点拨】 (1)由 b,c 及 cosA 的值,利用余弦定理即可求出 a 的值,得到 a 与 b 相等, 根据等边对等角得到 A 与 B 相等,进而得到 B 的度数; (2)由(1)求出的 B 的度数,得到 x 的范围,把所求函数解析式的第 1 项利用二倍角的 正弦函数公式化简,第 2,3 项提取 3 后,利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角 和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数, 由 x 的范围, 得出这个 角的范围,根据角度的范围求出正弦函数的值域即可得到 f(x)的值域. 17. (本小题满分 12 分)如图,茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 A 学习的 次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书馆 B 学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊. ,无 法确认,在图中以 x 表示. , 甲组 乙组 (1)如果 x=7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差; (2)如果 x=9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选 出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 的概率. 【知识点】古典概型及其概率计算公式的应用,茎叶图的应用. 【答案解析】(1)平均数为 9,方差为 解析 :解:(1) x乙 =

7 4 (2) 2 15
-------2 分 -------6 分

1 ? 7 ? 8 ? 9 ? 12 ? =9 4

1 7 2 2 2 2 S 2乙 = ?? 7-9 ? ? ?8-9 ? ? ? 9-9 ? ? ?12-9 ? ? = ? 2 4?
?=
{

(2)设学习次数大于 8 的同学共有 6 名,设为 a、b、c、d、e、f,从中任选两名,则

? a, b? , ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, e? , ? a, f ?



?b, c,? , ?b, d ??b, e? , ?b, f ?
--------9 分



? c, d ? , ?c, e? , ?c, f ? ? d , e? , ? d , f ? , ? e, f ? }共 15 种.
4 15

设 A=“两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20” 则 A={(9,12) , (11,12),(12,9)(12,12)}共 4 种. ---------11 分 所以 p ? A ? ? ----------------12 分

【思路点拨】(1)如果x=7,直接利用平均数和方差的定义求出乙组同学去图书馆学习次

数的平均数和方差. (2)求出所有的基本事件共有4×3个,满足这两名同学分别在两个图书馆学习且学习的次 数和大于20的基本事件有10个,根据古典概型概率计算公式求得结果. 18. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 足直角 梯形,AD//BC,∠BAD=90°,BC=2AD;

(1)求证:AB⊥PD; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E,使 AE∥平面 PCD,若存在,指出 E 点的位置,并 加以证明,若不存在,说明理由. 【知识点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 【答案解析】(1)略(2)E 为 PB 的中点. 解析 :解:(1)因为 PA ? 平面 ABCD,AB ? PA 平面 ABCD,所以 PA ? AB ------3 分

?BAD ? 90 ,所以 DA ? AB, AB ? 平面 PAD
PD ? 平面 PAD,所以 AB ? PD. -------------6 分

------- 5 分

E

F

(2)设 E 为 PB 的中点,则 AE PCD 取 PC 中点 F,连接 AE、EF、DF.

--------7 分

因为 E、F 为 PB、PC 中点,所以 EF BC,EF= AD BC,BC=2AD.所以 EF AD.

1 BC , 2

--------9 分

所以四边形 ADFE 为平行四边形,所以 AE DF.

---------11 分 -------12 分

AE 不在平面 PDC 中,DF 在平面 PCD 中,所以 AE 平面 PCD.

【思路点拨】(1)由 PA⊥平面 ABCD,推知 PA⊥AB.又 AB⊥AD,PA∩AD=A,从而有 AB⊥平面 PAD,证得 AB⊥PD. (2)取线段 PB 的中点 E,PC 的中点 F,连接 AE,EF,DF,则 EF 是△PBC 中位线.可 推知四边形 EFDA 是平行四边形,转化出 AE∥DF.再由线面平行的判定定理得证. 19. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的首项 al=1,公差 d>0,且第二项、第五项、第 十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项, (1)求数列 ?an ? 的通项公式:

(2)设 bn ?

1 (n ? N * ) S n ? b1 ? b2 ? n(an ? 5)

? bn 是否存在最大的整数 t,使得对任

意的 n 均有 S n ?

t 总成立?若存在,求出 t:若不存在,请说明理由. 36

【知识点】等差数列的通项公式;裂项法求和; 【答案解析】(1) an ? 2n ?1(n ? N * ) (2)适合条件的 t 的最大值为 5. 解析 :解:(1)由题意得 ? a ? d1 ?? a1 ? 13d ? ? ? a1 ? 4d ? 整理得 2a1d ? d 2
2

----2 分

a1 ? 1, 解得 d=0(舍去),d=2.
an ? 2n ?1(n ? N * ) 。
(2) bn ?

---------4 分

----------5 分

n ? an ? 5?

1

?

1 1 ? n ? 2n ? 4 ? 2n ? n ? 2 ?

--------6 分

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? Sn ? ??1- ? ? ? - ? ? ? - ? ? 4 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ?
3 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? 8 4 ? n ?1 n ? 2 ?
? 1 6
---------10 分

? 1 1 ?? ?? ?? ? n n ? 2 ??

------8 分

---------9 分

假设存在整数 t 满足 S n ? 又

t t 1 ? ,所以 t<6. 总成立,即 36 36 6
-----------12 分
2

------11 分

t ? N *,?适合条件的 t 的最大值为 5.

【思路点拨】(1)由题意得 ? a ? d1 ?? a1 ? 13d ? ? ? a1 ? 4d ? 整理后可解得 d=2. 然后求出 通项即可. (2)由 bn ?

n ? an ? 5?

1

?

1 1 3 1? 1 1 ? ? 求出 Sn ? ? ? ? ? n ? 2n ? 4 ? 2n ?n ? 2 ? 8 4 ? n ?1 n ? 2 ?
t t 1 ? ,所以 t<6,可求得 t 的最大值为 5. 总成立,即 36 36 6

?

1 6

假设存在整数 t 满足 S n ?

20. (本小题满分 13 分)已知 a>0,函数 f ( x) ?

x2 ? 2a(a ? 1)1nx ? (3a ? 1) x 。 2

(1)若函数 f ( x) 在 x=l 处的切线与直线 y-3x=0 平行,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间:

(3)在(1)的条件下,若对任意 x∈[l,2], f ( x) ? b ? 6b ? 0 恒成立,求实数 b 的
2

取值组成的集合. 【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研 究曲线上某点切线方程. 【答案解析】 解析 :解::(1) f ? ? x ?=x ?

2a ? a ? 1? ? ? 3a ? 1?, 由已知 f () 即 ' 1 ? 3, x

3 2a 2 ? a ? 3, 2a 2 ? a ? 3 ? 0, 解得 a= 或a ? ?1 .…(2 分) 2 3 又因为 a>0,所以 a= .…(3 分) 2
(2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),…(4 分)

f ? ? x ?=x ?

2a ? a ? 1? x 2 ? ? 3a ? 1? x ? 2a ? a ? 1? ? x ? 2a ? ? ? x ? ? a ? 1?? ?, ? ? 3a ? 1? = = x x x

①当 2a>a+1,即 a>1 时, 由 f'(x)>0 得 x>2a 或 0<x<a+1, 因此函数 f(x)的单调增区间是(0,a+1)和(2a,+∞). ②当 2a<a+1,即 0<a<1 时, 由 f'(x)>0 得 x>a+1 或 0<x<2a, 因此函数 f(x)的单调增区间是(0,2a)和(a+1,+∞). ③当 2a=a+1,即 a=1 时 f'(x)≥0 恒成立(只在 x=2a 处等于 0), 所以函数在定义域(0,+∞)上是增函数.…(7 分) 综上:①当 a>1 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,a+1)和(2a,+∞); ②当 0<a<1 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,2a)和(a+1,+∞); ③当 a=1 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,+∞).…(8 分)

3 x 2 15 11x , (3)当 a = 时, f ? x ?= ? lnx ? , 2 2 2 2
由(2)知该函数在(0 ,

5 ) 上单调递增, 2

因此在区间[1,2]上 f(x)的最小值只能在 x=1 处取到.…(8 分) 又 f (1) =

1 11 ? = ? 5 ,…(10 分) 2 2

若要保证对任意 x∈[1,2],f(x)-b2-6b≥0 恒成立, 应该有-5≥b2+6b,即 b2+6b+5≤0,解得-5≤b≤-1,…(12 分) 因此实数 b 的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}.…(13 分) 【思路点拨】(1) f ? ? x ?=x ?

2a ? a ? 1? ? ? 3a ? 1?, 由已知 f'(1)=3,能求出 a 的值. x

(2)由 f ? ? x ?=x ?

2a ? a ? 1? ? ? 3a ? 1? x

x 2 ? ? 3a ? 1? x ? 2a ? a ? 1? ? x ? 2a ? ? ? x ? ? a ? 1?? ? ,根据 a 的取值范围进行分类讨论, = = x x
能求出函数 f(x)的单调递增区间. (3)当 a =

3 x 2 15 11x , 时, f ? x ?= ? lnx ? , 2 2 2 2

由该函数在(0 ,

5 ) 上单调递增,知在区间[1,2]上 f(x)的最小值只能在 x=1 处取到,由 2

此能求出实数 b 的取值组成的集合. 21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 一个顶点恰好是抛物线 x2 =8 3 y 的焦点. (I)求椭圆 C 的方程; (II) P(2,3) ,Q(2,-3)是椭圆上两点,A、B 是椭圆位于直线 PQ 两侧的两动点, (i)若直线 AB 的斜率为

1 ,它的 2

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值: 2

(ii)当 A、B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明 理由。 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的共同特征. 【答案解析】解析 :解::(Ⅰ)设 C 方程为 由 = , a 2 = c 2 + b 2 ,得 a=4

x2 y 2 ? =1 ( a > b > 0) ,则 b = 2 3 . a 2 b2

c a

1 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? = 1 .…(4 分) 16 12
1 x+t, 2

(Ⅱ)①解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y =

代入

x2 y 2 ? = 1 ,得 x2+tx+t2-12=0 16 12

由△>0,解得-4<t<4…(6 分) 由韦达定理得 x1+x2=-t,x1x2=t2-12. ∴ | x1 ? x2 | = ( x1 ? x2 ) ? 4x1 x2 ? t ? 4(t ? 12) ?
2 2 2

48 ? 3t 2.

由此可得:四边形 APBQ 的面积 S = ∴当 t=0,S m a x = 12 3 .…(8 分)

1 ? 6? | x1 ? x2 | =3 48 ? 3t 2 2

②解:当∠APQ=∠BPQ,则 PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k

则 PB 的斜率为-k,直线 PA 的直线方程为 y-3=k(x-2)

? y ? 3 ? k(x ? 2) ?1? ? 由 ? x2 y 2 1 ? 2? ? ? = ?16 12

(1)代入(2)整理得(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0 ∴x 1 +2 =

8 ? 2k ? 3? k …(10 分) 3 ? 4k 2 ?8k ? ?2k ? 3? 8k ? 2k ? 3? = 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

同理直线 PB 的直线方程为 y-3=-k(x-2),可得 x 2 +2 =

∴x 1 + x 2 =

?48k 16k 2 ? 12 , x1?x2= …(12 分) 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

kAB=

y1 ? y2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x2 ) ? 4k 1 = = = x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 2
1 .…(14 分) 2

所以 AB 的斜率为定值

【思路点拨】(Ⅰ)根据椭圆 C 的一个顶点恰好是抛物线 x 2 = 8 3 y 的焦点,离心率等于

1 .由此列式解出出 a,b 的值,即可得到椭圆 C 的方程. 2
(Ⅱ)①设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y =

1 x + t ,将直线的方程代入 2

椭圆的方程, 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 再结合根系数的关系利用弦长公式即可求 得四边形 APBQ 的面积,从而解决问题. ②设直线 PA 的斜率为 k,则 PB 的斜率为-k,PA 的直线方程为 y-3=k(x-2)将直线的方程 代入椭圆的方程, 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 再结合根系数的关系利用弦长公式即 可求得 x1+2,同理 PB 的直线方程为 y-3=-k(x-2),可得 x2+2,从而得出 AB 的斜率为定 值

1 . 2


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