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港澳台侨2017届高三数学10月月考试题A卷


港澳台侨 2017 届高三数学 10 月月考试题 A 卷
满分 150 分,考试用时 120 分钟 班级 姓名 分数

一、选择题: (共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1 已知全集 U ? {1 , 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {1,3} , B ? {3, 4,5} ,则集合 CU ( A A. {3} B. {4,5} C. {1 , 2, 4, 5} D. {3, 4,5} )

B) ? ( )

2 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? ?6, S18 ? S15 ? 18, 则S18 ? ( A.36 B.18 C.72 D.9 )

3 已知命题“若 p 则 q ”为真,则下列命题中一定为真的是( A.若 ?p 则 ?q B.若 ?q 则 ?p C.若 q 则 p

D.若 ?q 则 p ).

4 等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 , 若 a 4 ? a 6 ? 24 , a 2 ? a 8 ? 10 , 则该数列的前 n 项和 Sn 的最大值为 ( A. 50 5 若函数 f(x)= B. 45 C. 40 D. 35 ) A. 1 2 2 B. 3 3 C. 4 ( D.1 ).

x x+ x-a

为奇函数,则 a=(

6 等差数列 an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 项和等于 A.160 B.180 ) C.y=4x (x∈R)
2

?

C.200

D.220

7 函数 y=2 x(x≥ 0)的反函数为 ( A.y= (x∈R) 4

x2

B.y= (x≥0) 4

x2

D.y=4x (x≥0) )

2

8 半径为 R 的球内接一个正方体,则该正方体的体积是( A. 2 2 R
3

B.

4 ? R3 3

C.

8 3R 3 9

D.
?

3 3 R 9

2 2 d 为正常数, n ? N ) 9 若数列 {an } 满足 an ,则称 {an } 为“等方差数列” . ?1 ? an ? d (

甲:数列 {an } 是等方差数列;

乙:数列 {an } 是等差数列,则(

) .

A.甲是乙的充分条件但不是 必要条件 C.甲是乙的充要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
)

10.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是(

A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n
C.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α

B. 若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n D.若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α

1

2 11.若直线 y ? kx ? 4 ? 2k 与曲线 y ? 4 ? x 有两个交点,则 k 的取值范围( ) .

A. ?1, ? ? ?

3 [?1, ? ) 4 B.

3 ( , 1] C. 4

D. (??, ? 1] ( )

12 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? c ,若 f (0) >0, f ( p ) <0,则必有 A. f ( p ? 1) >0 B. f ( p ? 1) <0 C. f ( p ? 1) ? 0

D. f ( p ? 1) 的符号不能确定

二、填空题 (共 6 小题,每小题 5 分 , 共 30 分) 13 lg 5 ? lg 20 的值是_________ 14 函数 y= 1 6-x-x
2

的定义域是_______

15 已知点 A(1, 2) 、 B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 _____ π 4 3 16. SC 为球 O 的直径,A,B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC= ,若棱锥 A-SBC 的体积为 ,则球 O 4 3 的体积为 _____ 17. 如图①, 一个圆锥形容器的高为 a , 内装一定量的水.如果将容器倒置, 这时所形成的圆锥的高恰为 (如 图②) ,则图①中的水面高度为 .

a 2

18 在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,且从上到 下所有公比相 等,则 a+b+c 的值为________.

a
a

c b
1 2 6





三、 解答题 (本 大题共 4 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19. (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1 ⊥平面 CB1D1. A1 11 D1 11 C1 B1

E A

D F B

C
2

20 某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用 12 万 元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元, 设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ;

21 已知二次函 数 f ( x) ? x ? bx ? c
2

(1)若 f (x ?1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ?1 .求 f ( x) 的解析式,并 求 f ( x) 在

区间 [0, 2] 上的最大值与最小值。 (2)若 y ? f ( x) ? 2 x 在 ? ?5, 20 ? ? 上具有单调性,求实数 b 的范围

3

22.已知圆 O: 由圆 O 外一点 P (a, b) 向圆 O 引切线 PQ, 切点为 Q, 且满足 PQ ? PA . x2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1), (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值;

(3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求半径取最小值时圆 P 的方程.

y
2

A
0 2

x P

Q

4

第 二次数学月考试卷(理) 答案 1-12 CABBA BBCDB BA 13 1 16 14(-3,2) 17 a ?
3

15 4x-2y-5=0 18 22

32 ? 3

7 a 2

19 解:(1)证明:连接 BD. 在长 方体 AC1 中,对角线 BD∥B1D1.又∵E、F 为棱 AD、AB 的中点,∴EF∥BD.∴EF∥B1D1 .又 B1D1⊥平面 CB1D1, EF?平面 CB1D1,∴EF∥平面 CB1D1. (2)∵在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1⊥平面 A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1. 又∵在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,∴B1D1⊥平面 CAA1C1. 又∵B1D1 平面 CB1D1,∴平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

20 解: (I)依题得: y ? 50 x ? ?12 x ?

? ?

x( x ? 1) ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40 x ? 98.( x ? N * ) 2 ?

(II)解不等式 ?2x2 ? 40x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 51

x ? N * ,?3 ? x ? 17, 故从第3年开始盈利。

21(1) f ?x ? ? x ? x ? 1 最大值为 f ?2? ? 3 ,最小值为 f ? ? ?
2

?1? ?2?

3 4

(2) y ? f ?x? ? 2 x ? x ? (b ? 2) x ? c
2

对称轴为 x ?

2?b 2



2?b 2?b ? 5或 ? 20 2 2

解得 b ? (??,?38) ? (?8,??)

22. 解: ( 1 )连 OP,
2 2

Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ . 又由已知 PQ ? PA ,故
2 2 2

2 2 2 2 2 PQ ? PA .即: (a ? b ) ?1 ? (a ? 2) ? (b ? 1) .

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 .
5

(2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

6 4 2 PQ ? a 2 ? b2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? 故当 a ? 6 时, PQ min ? 5. 即线段 5 5 5 5
PQ 长的最小值为
2 5. 5

(3)设圆 P 的半径为 R , 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5
3 , Rmin ? 3 5 ? 1 . 5 5

6 时, OP ? 3 5. min 5 5

此时, b ? ?2a ? 3 ?

得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5

6



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